2021—2022学年下期期中高二理数试卷

高二 数学 第 页 （共4 页） 1 河南省实验中学2021——2022 学年下期期中试卷 高二 理科数学 命题人郭来鹏 审题人刘春城 （时间：120 分钟，满分：150 分） 一、选择题：本大题共12 小题，每小题5 分，满分60 分，在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. 1．已知复数z 满足 2 z i i    ，i 为虚数单位，则z 的虚部是（ ） A．2i  B．2i C．2  D．2 2．已知函数  f x 的导函数为  f x  ，且  1 5 f   ，则    0 1 2 1 lim x f x f x      （ ） A．2 B．5 2 C．5 D．10 3．下列说法错误 ．． 的是（ ） A．由函数 1 y x x   的性质猜想函数 1 y x x    的性质是类比推理 B．由ln1 0  ，ln 2 1 ，ln3 2  …猜想   ln 1 N* n n n    是归纳推理 C．由锐角x 满足sin x x  及0 12 2     ，推出sin 12 12    是合情推理 D．“因为   cos cos x x   恒成立，所以函数 cos y x  是偶函数”是省略大前提的三段论 4．下列结论正确的个数为（ ） ①若 ln2 y  ，则 1 2 y ； ②若 2 1 ( ) f x x  ，则 2 (3) 27 f   ； ③若 2x y  ，则 1 2x y x   ； ④若 2 log y x  ，则 1 ln 2 y x  ． A．1 B．2 C．3 D．4 5．函数 2 1 y x  的图象如图所示，则阴影部分的面积是（ ） A． 1 2 0 ( 1)d x x   B． 2 2 0 ( 1)d x x   C． 0 2 2 1d x x   D． 1 2 2 2 0 1 ( 1)d 1 d ( ) x x x x      高二 数学 第 页 （共4 页） 2 6．设 ( ) f x  是函数 ( ) f x 的导函数， ( ) y f x  的图象如图所示， 则 ( ) 0 x f x    的解集是（ ） A．( , 1) (0,1)   B．( 1,0) (1,3)   C．( ,0) (0,2)   D．(0,1) (3, )   7．设 1 z ， 2 z 是复数，则下列命题中为假命题的是（ ） A．若 1 2 | | | | z z  ，则 2 2 1 2 z z  B．若 1 2 z z  ，则 1 2 z z  C．若 1 2 | | | | z z  ，则 1 1 2 2 z z z z    D．若 1 2 | | 0 z z   ，则 1 2 z z  8．已知函数   2 2 3 2 3ln f x f x x x     ，则  1 f ＝（ ） A．21 B．20 C．16 D．11 9．已知函数  f x 的定义域为  0,   ，其导函数为  f x  ，若   2 xf x f x   ，则下列式 子一定成立的是（ ） A． (4) 2 (2) f f  B． (4) 4 (2) f f  C． 2 (4) (2) f e f  D． 4 (4) (2) f e f  10．已知函数  , 0 1 , 0 x xe x f x x x      ，若函数( ) ( ) g x f x k   有三个零点，则实数k 的取 值范围为（ ） A．( ,1) e  B． 1 ( ,1) e  C．( ,0) e  D． 1 ( ,0) e  11． 由数字1、 2、 3 组成六位数， 每个数字最多出现三次， 则这样的六位数的个数是 （ ） A．420 B．450 C．510 D．520 12. 已知函数 2 ( ) ( 2) 1 x f x e x a x      在区间上(0,1) 有最小值，则实数a 的取值范 围是（ ） A．( ,1) e  B．(1 ,1) e  C．( , ) e   D．(0, ) e 二、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，满分20 分． 13．   3 2 3 sin 9 x x dx      ______. 14．“干支纪年法”是我国历法的一种传统纪年法，甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、 壬、癸被称为“十天干”；子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥叫做“十二 地支”. “天干”以“甲”字开始，“地支”以“子”字开始，两者按干支顺序相配，组成了干支纪 高二 数学 第 页 （共4 页） 3 年法，其相配顺序为甲子、乙丑、丙寅、…、癸酉；甲戌、乙亥、丙子、…、癸未；甲 申、乙寅、丙戌、…、癸已；…；共得到60 个组合，称为六十甲子，周而复始，无穷无 尽.干支纪年在我国历史学中广泛使用，特别是近代史中很多重要历史事件的年代常用干 支纪年表示.例如甲午战争､戊戌变法､辛亥革命等等.1911 年的辛亥革命推翻了统治中国 两千多年的封建君主专制制度，建立了中国历史上第一个资产阶级共和政府，使民主共 和的观念开始深入人心； 1949 年中华人民共和国的成立开辟了中国历史的新纪元， 从此， 中国结束了一百多年来被侵略被奴役的屈辱历史，真正成为独立自主的国家，中国人民 从此站起来了，成为国家的主人. 1911 年是“干支纪年法”中的辛亥年，1949 年是“干 支纪年法”中的己丑年，那么2072 年是“干支纪年法”中的______年. 15.定义在R 的函数  f x 满足  (2 ) 2022 f x f x    ，  f x 的导函数为  f x  ，则     2020 2022 f f      . 16． 已知函数  1 ln x f x x   ， 若对   1 2 , 1, x x   ，1 2 x x  ， 都有     1 2 1 2 ln ln f x f x k x x    ， 则k 的取值范围是______． 三.解答题:共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （本小题满分10 分） 已知复数 1 ( z mi i  是虚数单位， ) m R  ，且 (3 ) z i   为纯虚数(z 是z 的共轭复数） ． （Ⅰ）设复数 1 2 1 m i z i    ，求 1 | | z ； （Ⅱ）设复数 2022 2 a i z z   ，且复数 2 z 所对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围． 18． （本小题满分12 分） 如图，在半径为6 m 的1 4 圆形( O 为圆心)铝皮上截取一块矩形材料 OABC， 其中点B 在圆弧上， 点A， C 在两半径上， 现将此矩形铝皮OABC 卷成一个以AB 为母线的圆柱形罐子的侧面( 不计剪裁和拼接损耗) ， 设 矩形的边长|AB| x m，圆柱的体积为V m3. （Ⅰ）求体积V 关于x 的函数关系式 ( ) V x ，并指出定义域； （Ⅱ）当x 为何值时，才能使做出的圆柱形罐子的体积V 最大? 最大体积是多少? 高二 数学 第 页 （共4 页） 4 19． （本小题满分12 分） 已知一班有3名选手，二班有5名选手，现从两个班中选派4 人参加4×100 米接力赛， 分别跑1、2、3、4 棒，求在下列情形中各有多少种选派方法： （Ⅰ）选取一班选手2 名，二班选手2 名； （Ⅱ）二班的选手甲必须被选，且他不能跑第一棒. 20． （本小题满分12 分） 证明下列命题： （Ⅰ）已知, a b 是不相等的正数，求证： 3 3 2 2 a b a b ab    ； （Ⅱ）用数学归纳法证明：1 3 5 ( 1) (2 1) ( 1) n n n n      （ * n N  ）. 21． （本小题满分12 分） 已知  ln ln f x a x x x   ，  f x  为  f x 的导函数. （Ⅰ）设( ) ( ) h x f x   ，讨论( ) h x 在定义域内的单调性； （Ⅱ）若  f x 在  0,   内单调递减，求实数a 的取值范围. 22.（本小题满分12 分） 已知函数      2 e 2 R x f x x a a      . （Ⅰ）若函数  f x 在 0 x  处的切线与直线 1 0 x y   平行，求实数a的值； （Ⅱ）若函数  f x 的极大值不小于3a ，求实数a的取值范围.