专题19.1 函数基础知识【九大题型】（解析版）

专题191 函数基础知识【九大题型】 【人版】 【题型1 常量与变量的确定】.................................................................................................................................1 【题型2 函数的概念】............................................................................................................................................. 3 【题型3 用描点法画函数的图像】.........................................................................................................................5 【题型4 自变量取值范围的确定】.......................................................................................................................11 【题型5 函数的解析式的确定】...........................................................................................................................12 【题型7 函数图像的识别】...................................................................................................................................16 【题型8 从函数的图像获取信息】.......................................................................................................................18 【题型9 动点问题的函数图象】...........................................................................................................................21 【知识点1 函数的概念】 一般地，在某一变化过程中有两个变量x 与y，如果给定一个x 值，相应地就确定了一 个y 值，那么我们称y 是x 的函数，其中x 是自变量，y 是因变量。 注意：要判断一个关系式是不是函数，首先看这个变化过程中是否只有两个变量，其 次看每一个x 的值是否对应唯一确定的y 值． 【知识点2 求函数的值】 (1)当已知函数解析式时，求函数值就是求代数式的值；函数值是唯一的，而对应的自 变量可以是多个．(2)函数表达式中只有两个变量，给定一个变量的值，将其代入函数表达 式即可求另一个变量的值，即给自变量的值可求函数值，给函数值可求自变量的值． 【题型1 常量与变量的确定】 【例1】（2022 春•娄星区期末）下列说法不正确的是（ ） ．正方形面积公式S＝2中有两个变量：S， B．圆的面积公式S＝πr2中的π 是常量 ．在一个关系式中，用字母表示的量可能不是变量 D．如果＝b，那么，b 都是常量 【分析】根据自变量与常量、因变量的定义解答． 【解答】解：、正方形面积公式S＝2中有两个变量：S，，正确； B、圆的面积公式S＝πr2中的π 是常量，正确； 、在一个关系式中，字母表示的量可能不是变量，正确； 1 D、如果＝b，那么，b 都是变量，故错误． 故选：D． 【变式1-1】（2022 春•鄠邑区期末）大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自 变量是 冰层的厚度 ，因变量是 冰层所承受的压力 ． 【分析】根据常量与变量，即可解答． 【解答】解：大家知道，冰层越厚，所承受的压力越大，这其中自变量是冰层的厚度， 因变量是冰层所承受的压力； 故答为：冰层的厚度，冰层所承受的压力． 【变式1-2】（2022 春•砚山县校级期中）某水果店卖出的香蕉数量（千克）与售价（元） 之间的关系如表： 数量（千克） 05 1 15 2 25 3 35 … 售价（元） 15 3 45 6 75 9 105 … 上表反映了 两 个变量之间的关系，其中，自变量是 香蕉数量 ；因变量是 售 价 ． 【分析】首先根据表格，可得上表反映了两个变量（香蕉数量和售价）之间的关系；然 后根据自变量、因变量的含义，判断出自变量、因变量各是哪个即可． 【解答】解：∵香蕉的售价随着香蕉数量的变化而变化， ∴上表反映了两个变量之间的关系，其中，自变量是香蕉数量；因变量是售价． 故答为：两、香蕉数量、售价． 【变式1-3】（2022•莘县校级月考）某电信公司提供了一种移动通讯服务的收费标准，如 下表： 项目 月基本服务费 月免费通话时间 超出后每分收费 标准 40 元 150 分 06 元 则每月话费y（元）与每月通话时间x（分）之间有关系式y¿{ 40(0≤x ≤150) 0.6 x−50( x＞150)，在 这个关系式中，常量是什么？变量是什么？ 【分析】根据在一个变化的过程中，数值发生变化的量称为变量；数值始终不变的量称 为常量，即可答题． 【解答】解：在0≤x≤150 中，y，40 是常量，x 是变量；在x＞150 时，06，﹣50 是常量， x，y 是变量． 【变式1-4】变量x，y 之间的对应关系如下表所示： X 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 3 y 10 5 2 1 2 5 10 1 请你判断y 是x 的函数吗？x 是y 的函数吗？说说你的理由． 【分析】直接利用函数的定义判断得出即可． 【解答】解：由图表中数据可得出：x 每取一个值y 有唯一值与其对应，故y 是x 的函数； 当y 取一个值2，x 有两个值﹣1，1 与其对应用，故x 不是y 的函数． 【题型2 函数的概念】 【例2】（2022 春•莆田期末）下列曲线中不能表示y 是x 的函数的是（ ） ． B． ． D． 【分析】设在一个变化过程中有两个变量x 与y，对于x 的每一个确定的值，y 都有唯一 的值与其对应，那么就说y 是x 的函数，x 是自变量．由此即可得出结论． 【解答】解：当x 取一个值时，y 有唯一的值与其对应，就说y 是x 的函数，x 是自变量． 选项中的曲线，当x 取一个值时，y 的值可能有2 个，不满足对于自变量的每一个确定 的值，函数值有且只有一个值与之对应． 故中曲线不能表示y 是x 的函数， 故选：． 【变式2-1】（2022 春•红谷滩区校级期末）下面每个选项中给出了某个变化过程中的两个 变量x 和y，其中y 不是x 的函数的选项是（ ） ．y：正方形的面积，x：这个正方形的周长 B．y：某班学生的身高，x：这个班学生的学号 ．y：圆的面积，x：这个圆的直径 D．y：一个正数的平方根，x：这个正数 【分析】根据题意对各选项分析列出表达式，然后根据函数的定义分别判断即可得解． 【解答】解：、y＝（1 4 x）2¿ 1 16x2，y 是x 的函数，故选项错误； B、每一个学生对应一个身高，y 是x 的函数，故B 选项错误； 1 、y＝π（1 2x）2¿ 1 4 πx2，y 是x 的函数，故选项错误； D、y＝±❑ √x，每一个x 的值对应两个y 值，y 不是x 的函数，故D 选项正确． 故选：D． 【变式2-2】（2022•长安区期末）老师让同学们举一个y 是x 的函数的例子，同学们分别 用表格、图象、函数表达式列举了如下4 个x、y 之间的关系：（其中k，b 为常量） ① 气温x 1 2 0 1 日期y 1 2 3 4 ② ③ y＝kx+b ④ y＝|x| 其中y 一定是x 的函数的是 ④ ．（填写所有正确的序号） 【分析】根据函数的定义判断即可． 【解答】解：一般的，在一个变化过程中，有两个变量x、y，对于x 的每一个值，y 都 有唯一的值和它对应，x 是自变量，y 是x 的函数， ①②③不符合定义，④符合定义， 故答为④． 【变式2-3】（2022 春•汉阴县期末）变量x，y 有如下关系：①x+y＝10，②|y|＝x，③y＝| x 3| ﹣，④y2＝8x．其中y 是x 的函数有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据函数的定义可知，满足对于x 的每一个取值，y 都有唯一确定的值与之对 应的关系，据此即可确定函数的个数． 【解答】解：y 是x 函数的是：①x+y＝10；③y＝|x 3| ﹣； ②当x＝1 时，在|y|＝x 中，y＝±1，则y 不是x 的函数； ④当x＝1 时，在y2＝8x 中，y＝±❑ √8，则y 不是x 的函数； 故选：B． 【知识点3 函数的图象】 把一个函数的自变量x 的值与对应的函数y 的值分别作为点的横坐标和纵坐标，在直 角坐标系内描出它的对应点，所有这些点组成的图形叫做这个函数的图像，用图像表示的 函数关系，更为直观和形象． 1 【题型3 用描点法画函数的图像】 【例3】（2022 春•镇平县月考）某班数学兴趣小组对函数y¿ 1 x−1 + x+1 2 的图象与性质进 行了探究，探究过程如下，请补充完整． （1）函数y¿ 1 x−1 + x+1 2 的自变量x 的取值范围是 x ≠1 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值． x … 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ 0 1 2 y … −5 4 −5 6 −1 2 −1 2 −5 4 x 3 2 2 3 4 5 … y 13 4 5 2 5 2 m 13 4 … 则表格中的m＝ 17 6 ； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表格中各组对应值为坐标的点，请根据 描出的点，画出该函数的图象，试写出该函数的一条性质． 【分析】（1）分式中分母不为零，计算即可． （2）将x＝4 代入函数解析式即可得出m 的值． （3）将所描出的点用平滑的曲线连接得出图像，再观察图像写出函数的一条性质． 【解答】（1）∵x 1≠0 ﹣ ，可得x≠1， 故答为：x≠1； 1 （2）将x＝4 代入1 x−1 + x+1 2 得， m¿ 1 3 + 5 2=17 6 ； 故答为：17 6 ． （3）画出该函数图象如图所示： 通过观察图象可得： 函数图象关于点（1，1）中心对称（答不唯一）． 【变式3-1】（2022 春•广饶县期末）某造纸厂每小时造纸15 吨，2 小时、3 小时……各造 纸多少吨？ （1）把下表填写完整，在①②③处填写相应数值． 造纸时间/时 1 2 3 4 …… 造纸吨数/吨 15 ① 3 ② 45 ③ 6 …… （2）根据表中的数据，在图中描出造纸时间和造纸吨数对应的点，再把它们连起来． （3）根据图象判断，5 小时造纸多少吨？ 【分析】（1）根据每小时造纸15 吨解答即可； （2）根据（1）的数据解答即可； （3）根据图象解答即可． 【解答】解：（1）造纸时间为2 小时，则造纸吨数为15×2＝3（吨）； 1 造纸时间为3 小时，则造纸吨数为15×3＝45（吨）； 造纸时间为4 小时，则造纸吨数为15×4＝6（吨）； 故答为：3；45；6； （2）如图所示： （3）由图象可知，5 小时造纸为75 吨． 【变式3-2】（2022 春•梁平区期末）小奥根据学习函数的经验，对函数y¿ x 2 + 2 x 的图象进 行了探究．下面是小奥的探究过程，请补充完整： （1）函数y¿ x 2 + 2 x 的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ； （2）下表是y 与x 的几组对应值，则m 的值为 ﹣ 4 ，的值为 13 6 ； x … 5 ﹣ m 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ −1 2 1 2 1 2 3 4 5 … y … −29 10 −5 2 −13 6 2 ﹣ −5 2 −17 4 17 4 5 2 2 5 2 29 10 … （3）描点、连线 在下面的格点图中，建立适当的平面直角坐标系xy，描出上表中各对对应值为坐标的点 （其中x 为横坐标，y 为纵坐标），并根据描出的点画出该函数的图象． 1 【分析】（ 1 ）根据图象，可以写出x 的取值范围； （2）将y¿−5 2代入函数解析式中，求出x 的值，再根据表格即可得到m 的值，将x＝3 代入函数解析式，求出y 的值，即可得到的值，本题得以解决； （3 ）建立平面直角坐标系，并在坐标系中描点，用平滑的曲线连接起来，即可解答本 题． 【解答】解：（1）由题意可得，函数y¿ x 2 + 2 x 的自变量x 的取值范围是x≠0． 故答为：x≠0； （2）当y¿−5 2时，代入函数解析式中，可得−5 2 = x 2 + 2 x ， 解得x＝﹣4 或x＝﹣1， 由表格可得m＝﹣4； 当x＝3 时，y¿ 3 2 + 2 3=13 6 ． 故答为：﹣4，13 6 ； （3）函数图象如下： 1 【变式3-3】（2022•襄州区模拟）数学活动： 问题情境：有这样一个问题：探究函数y¿ 1 x +¿1 的图象与性质．小明根据学习函数的经 验，对函数y¿ 1 x +¿1 的图象与性质进行了探究． 问题解决：下面是小明的探究过程，请补充完整： （1）函数y¿ 1 x +¿1 的自变量x 的取值范围是 x ≠0 ； （2）表是y 与x 的几组对应值． x … 4 ﹣ 3 ﹣ 2 ﹣ 1 ﹣ ﹣m m 1 2 3 4 … y … 3 4 2 3 1 2 0 1 ﹣ 3 2 3 2 4 3 5 4 … 求m 的值； （3）如图，在平面直角坐标系中，描出了以上表中各对对应值为坐标的点，根据描出 的点，画出该函数的图象． （4）结合函数的图象，写出该函数的性质（两条即可）． 1 【分析】（1）根据分式中分母不能为0 求出自变量x 的取值范围即可， （2）根据图表可知当y＝3 时x＝m，把y＝3 代入解析式即可求得， （3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点即可， （4）答不唯一，可参考以下的角度： ①该函数没有最大值或 该函数没有最小值； ②该函数在值不等于1； ③增减性． 【解答】解：（1）根据题意得：x≠0， 即函数y¿ 1 x +¿1 的自变量x 的取值范围x≠0， 故答为：x≠0； （2）令1 m +1=3，解得m=1 2， ∴m¿ 1 2． （3）用平滑的曲线依次连接图中所描的点，如下图所示： （4）观察函数图象，发现该函数没有最大值，也没有最小值，图象不经过原点， 1 即该函数的两条性质：没有最大值，也没有最小值；图象不经过原点． 【题型4 自变量取值范围的确定】 【例4】（2022 春•扶沟县期末）函数y¿ ❑ √ 1 x+3 中自变量x 的取值范围是（ ） ．x＞﹣3 B．x≥ 3 ﹣ ．x＜﹣3 D．x≠ 3 ﹣ 【分析】根据算术平方根定义得出被开方数是非负数、分母不为0 列出不等式，解不等 式得到答． 【解答】解：由题意得：x+3＞0， 解得：x＞﹣3， 故选：． 【变式4-1】（2022 春•昌平区期末）函数y= 2 x x−1中，自变量x 的取值范围是（ ） ．x＜1 B．x＞1 ．x≠1 D．x≠0 【分析】根据分式有意义的条件列出不等式，解不等式得到答． 【解答】解：由题意得：x 1≠0 ﹣ ， 解得：x≠1， 故选：． 【变式4-2】（2022•渠县一模）函数y¿ ❑ √x x 自变量的取值范围是 x ＞ 0 ． 【分析】根据分式有意义的条件和算术平方根定义列出不等式组，求解即可． 【解答】解：∵x≥0 且x≠0， ∴x＞0， 故答为x＞0． 【变式4-3】（2022•杭州模拟）已知p（x，y）在函数y=−1 x 2 −❑ √−x的图象上，那么点P 应在平面直角坐标系中的（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【分析】由函数的解析式可得x≠0 且﹣x≥0，从而得出x 的取值范围，再求得点P 横、纵 坐标的符号即可判断． 【解答】解：∵p（x，y）在函数y=−1 x 2 −❑ √−x的图象上， ∴x≠0 且﹣x≥0， 解得x＜0， 则y＜0， ∴点P 在第三象限， 1 故选：． 【题型5 函数的解析式的确定】 【例5】（2022•金牛区校级期中）一根长度为30m 的弹簧，一端固定．如果另一端挂上物 体，在正常的弹性限度内，所挂物体质量每增加1kg 时，弹簧长度增加2m，完成下列 问题： ①当挂物体重3kg 时，弹簧总长度为 36 m； ②在正常的弹性限度内，如果用x 表示所挂物体质量（单位kg），那么弹簧的总长度是 多少厘米？ ③在正常的弹性限度内，若弹簧的总长度为40m，那么它挂的物体质量是多少千克？ 【分析】（1）根据弹簧的长度加弹簧挂重物伸长的长度，可得答； （2）根据弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度，可得函数解析式； （3）根据函数值，可得相应自变量的值． 【解答】解：①30+2×3＝36； 故答为：36； ②弹簧的总长度等于弹簧挂重物伸长的长度加弹簧的长度， 设弹簧的总长度为y，则y＝2x+30， ③当y＝40 时，2x+30＝40， 解得x＝5， 答：所挂重物的质量是5 千克． 【变式5-1】（2022 春•文山州期末）某种洗衣机在洗涤衣服时，经历了进水、清洗、排水、 脱水四个连续的过程，其中进水、清洗、排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x（分 钟）之间的关系如折线图所示．根据图象解答下列问题： （1）在这个变化过程中，自变量和因变量分别是什么？ （2）洗衣机的进水时间是多少分钟？清洗时洗衣机中水量为多少升？ （3）已知洗衣机的排水速度为每分钟18 升，求排水时洗衣机中的水量y（升）与时间x （分钟）之间的关系式． 【分析】（1）根据函数自变量与因变量的定义解决此题． 1 （2）根据题意解决此题． （3）根据题意，列出函数关系式． 【解答】解：（1）自变量是时间x，因变量是洗衣机中的水量y． （2）由图可知，洗衣机进水时间是4 分钟，清洗时洗衣机中的水量为40 升． （3）由题意得，y＝40 18 ﹣ x（0≤x＜15）． 【变式5-2】（2022•莘县校级月考）为了加强公民节水意识，合理利用水资源