2021学年上学期高二年级期末考试数学参考答案

数学答案（第1页共7页） E1 E D B C D1 B1 A1 C1 F A 2021 学年上学期高二年级期末考试试卷 数 学 参考答案 一、单项选择题(本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分. 在每小题给出的四个选项中， 只有一项是符合题目要求的. ) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D B B B C C A 二、多项选择题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有多 项符合题目要求.全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错得0 分.) 题号 9 10 11 12 答案 ACD BC BD BD 第12 题详解：由空间向量基本定理可知，点P 在平面 1 1 BCCB 上. 1 1 APxABxAByACyABABxBByBCAB = − + − + = + + ， 1 BPxBByBC  = + . 对于A， , x y = 所以点P 在 1 BC 上，而DE // 1 BC ，可以发现当P 运动到 1 C 时， 135 DEP  = .故A 错. 对于B，如图，延长 1 BB 到F 使 1 2 BFBB = ， 1 / / FCBD 1 BPxBByBC = + ( ) 111 122 yBByBCBByBByBC = − + = − + ， 1 BPyFC  = . 所以点P 在 1 B D 上. AD ⊥平面 1 1 BCCB ，BE 平面 1 1 BCCB ， ADBE  ⊥ . 1 1 , BE B D AD B D D ⊥ = ， BE  ⊥平面 1 ABD . AP 平面 1 ABD ，AP BE ⊥ .故B 对. 对于C， 1 BPxBByBC = + ， 当 1 , 2 y = 1 1 , BPxBBBDDPxBB  = +  = ， 取 1 1 B C 的中点 1 D ， 所以 点P 在 1 DD 上，当P 在 1 D 和D 时，易知 1 APBP ⊥ .故C 错. 对于D， 1111 1 1 2 2 BPxBByBCyBByBCBByBByBC   = + = + + = + +     ，取 1 BB 的中点 1 E ，故有 ( ) 111 EPyBBBCyBC = + = .所以P 在 1 1 D E 上. 1 1 D E // DE , DE 平面ADE ， 1 1 D E 平面ADE ， 1 1 D E  //平面ADE 同理可证 1 1 A D //平面ADE . 11111 ADDED  = ，所以平面 111 ADE //平面ADE . 1 A P 平面 111 ADE ， 1 A P  //平面ADE .故D 对. 正确答案：BD 另法：设正棱柱各棱长为2，取 1 1 B C 中点F ，建立如图所示空间直角坐标系Dxyz − ： 则( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 1 3,0,0,0,1,2,0,1,0,0,1,0,0,1,1 ABCBE − − ， ( ) ( ) ( ) 1 3,1,2 , 3, 1,0 , 3,1,0 AB AC AB = − = − − = − ， ( ) 1 1 APxAByACxyAB = + + − − ( ) 3,12,2 APyx  = − − ， A. 当x y = 时， ( ) 0,2 2 ,2 1 EP AP AE y x = − = − − ， ( ) ( ) 0,1, 1 , 3 2 ED ED EP x y = −  = − + ，正负不定，故A 错； B. 当 2 1 x y + = 时， ( ) 0,2,1 BE = − , 4 2 2 0 AP BE y x  = −+ = ， APBE  ⊥ ，故B 正确； C. 当 1 2 y = 时， 1 1 ( 3,0,2 2) A P AP AA x = − = − − ， (0, 1,2 ) BP AP AB x = − = − ， 1 2 (2 2) 0 A P BP x x  = − = 有两解 1 2 0, 1 x x = = ，有两个点P ，使得 1 A P BP ⊥ ，故C 错误； F 数学答案（第2页共7页） D. 当 1 2 x y − = 时， ( ) 1 1 3,12,22 APAPAAyx = − = − − − ，设平面ADE 的一个法向量为 ( ) , , nabc = ， 则 0 0 DAn EDn   =    =   ，即 3 0 0 a b c  =  − =   ，令 1 b = ，则 ( ) 0,1,1 n = ， 所以 ( ) 1 210 APnxy  = − −= ，又 1 A P 平面ADE ，所以 1 / / A P 平面ADE ，故D 正确； 故选：BD 三、填空题(本题共4 小题，每小题5 分，共20 分) 题号 13 14 15 16 答案 4 5 6 1 0 x y + −= 3 3 3 − 4a 2022 0, 5       16. 第一空2 分，第二空3 分 详解： （1）由题意，得图1 中的线段为a ， 1 b a = ， 图2 中的正六边形边长为 2 a ， 211 423 2 b b a b a a = +  = + = ； 图3 中的最小正六边形的边长为 4 a ， 322 4 4 4 a b b b a a = +  = + = 由此类推， 1 3 (2) 2 n n n b a b n − − − =  ， （2）因为 ( ) ( ) ( 121321 ) nnn bbbbbbbb − = + − + − ++ − 3 2 2 2n a a aaa − = + + + ++ 1 1 2 1 2 1 1 2 n a a −   −     = + − 3 1 5(2) 2n a n −   = −      ， 当 1 n = 时， 1 b a = 上式也成立， ( ) 3 * 1 5 2 n n a n b −    −      = N 3 1 52022 2 n n b a −   = −      对 * n N 恒成立， 3 1 1 5 5 2n−  −  ， 3 1 5 2022 2n a −   − 对 * n N 恒成立 2022 0 5 a    四、解答题(本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 17． （1）由频率分布直方图得 周跑量为10~25 公里的频率为( ) 0.02 0.024 0.024 5 0.34 + + = ， 周跑量为10~30 公里的频率为( ) 0.020.0240.0240.03650.52 + + + = ， ………… 2 分 设样本的中位数为x ，则0.34 ( 25) 0.036 0.5 x + −  = ，解得 29.4 x  . 样本的中位数约为29.4. ………… 5 分 （2）依题意知休闲跑者共有：( ) 0 0.02 0.024 5 2000 44 +  =  人， 核心跑者共有：(0.024 0.036 0.044 0.032) 5 2000 1360 + + +  = 人， 数学答案（第3页共7页） 精英跑者共有：20004401360200 − − = 人， ………… 8 分 1 (4402500136040002004500)3720 2000  +  +  = (元) . 估计该市每位跑步爱好者购买装备，平均需要花费3720 元. ………… 10 分 18. （1）由 1 2 3 n n S a + + = 得 1 23(2) n n San −+ =  ， 两式相减得 1 1 2() nnnn SSaa − + − = − ， 又 1 n n n S S a − − = ，所以 1 3 ( 2) n n a a n + =  ， ………… 2 分 当 1 n = 时， 211 23239 aSa = + = + = ，满足 2 1 3 a a = ………… 3 分 所以 * 1 3() n n aan + = N ， 0 n a  ， 1 3 n n a a + = ，即数列{ } n a 是首项为3、公比为3 的等比数列， ………… 5 分 所以 1 3 3 3 n n n a − =  = . ………… 6 分 （2）设数列{ } n b 的公差为d，则有 1 1 7 2 1 3, 9 6 b a b a b d = = = = = + ， 1 d  = 1 (1)2 n bbndn  = + − = + ………… 8分 1 1 n n n c b b + = 111 2)(3)23 nnnn = = − + + + + （ ………… 9分 123 11111111 ()()()() 344556+23 1 1 . 3339 n n Tcccc n n n n n = + + + = − + − + − + + − + = − = + + ………… 12 分 19. （1）法一：ABD  中，由正弦定理得sinsin BDAB BADADB =   ， 即 sin sin BDBAD ABADB  =  同理，在ACD  中， sin sin DCCAD ACADC  =  ………… 1 分 AD 平分 BAC  sin sin BAD CAD   =  ADBADC   +  = sin sin ADB ADC   =  ………… 2 分 BDDC ABAC  = BD AB DC AC  = ………… 3 分 法二：设ABC  边BC 上的高为h 则 1 1 sin 2 2 ABD SBDhABADBAD  =  =    1 1 sin 2 2 ACD SDChACADCAD  =  =    ………… 1 分 sin sin ABD ACD S BDABBAD DCSACCAD     = =  AD 平分 BAC  sin sin BAD CAD   =  ………… 2 分 BD AB DC AC  = ………… 3 分 （2）在ACD  中，由余弦定理得 数学答案（第4页共7页） 222 9 4 1 1 2 cos 22218 ACCDAD C ACCD + − + − = = =   ………… 5 分 (0,) C   2 2 137 sin1cos1 8 8 C C    = − = − =     …………6 分 设 ( 0) BD x x =  ，由（1）得 2 AC AB BD x DC =  = 在ABC  中，由 222 2cos ABACBCACBCC = + −  得 2 230 x x − − = 解得 3 2 x = （ 1 x = −舍去） 5 2 BCBDDC  = + = ………… 8 分 设 ABC △ 的周长为l ，内切圆半径为r ，则 515 3 2 2 2 lABBCCA = + + = + + = 又 1 1 sin 2 2 ABC SACBCClr  =   = 537 2 sin7 2 8 15 4 2 ACBCC r l     = = = …………11 分 所以 ABC △ 的内切圆面积为 2 7 16 S r   = = . …………12 分 20. （1）∵ ( ) 2 (1) fxaxba = − + − ( 0 a  )，  ( ) f x 在( ) 0,1 上为减函数，在( ) 1,3 上为增函数， …………1 分 ( ) f x 在  0,3 上有最大值16，最小值0 ∴ (1)0 fba = − = ， (3)316 fab = + = ， …………2 分 解得 4 a b = = …………3 分 ∴ ( ) 2 2 484=41) fxxxx= − + − （ ， 2(1) ()221) x x hxx − = −  （ …………4 分 设2(2) x m m =  ，则 222 4(2)4 ()1 444 mmmm hxm − − − = − = = −， ( ) h x 的值域为[1,) −+ …………6 分 （2）( ) 1 4 8 g x x x   = + −     ( 0) x  …………7 分 ∵( ) 2 2 loglog0 gxkx −  ∴ 2 2 2 1 4log8log log xkx x   + −      ， …………8 分 由   4,16 x ，则   2 log2,4 x ， ∴ 2 2 222 181 4()44(1) logloglog k xxx  − + = − ，设 2 1 log t x = ， 1 1 , 4 2 t       ， …………10 分 ∴( ) 2 4( 1) h t t = − 在1 1 , 4 2       上为减函数，当 1 4 t = 时，( ) h t 最大值为9 4 ， ∴ 9 4 k  ，即实数k 的取值范围为 9 , 4   −     . …………12 分 数学答案（第5页共7页） 21. （1）在等边三角形SAD 中，P 为AD 的中点，于是SPAD ⊥ . 又平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD 平面ABCDAD = ，SP 平面SAD ， 所以SP ⊥平面ABCD ，所以SP 是四棱锥SABCD − 的高. …………1 分 设ADm = ，则 3 2 SPm = ， ABCD S m = 矩形 ， 所以 11323 3323 SABCD ABCD VSSPmm − =  =  = 矩形 ， 所以 2 m = . …………2 分 法一：取EP 中点G ，连接AG . E P 、是等边三角形SAD 的中位线， AG EP  ⊥ . 平面SAD ⊥平面ABCD ，平面SAD 平面ABCDAD = ， 四边形ABCD 是矩形， AB ⊥平面SAD . AG 平面SAD ，AB ⊥AG . EF // AB ，EF ⊥AG . EFEPE = ，AG ⊥平面PEF . …………4 分 AD // BC ，直线BC 与平面PEF 所成角为 APG  . …………5 分 又 60 APGAPEADS  =  =  = . 所以直线BC 与平面PEF 所成的角大小为60. …………6 分 法二：如图，以点P 为坐标原点，PA 所在直线为x 轴，过点P 且与AB 平行的直线为y 轴， PS 所在直线为z 轴，建立空间直角坐标系. 则 ( ) 13113 (0,0,0),(1,0,0),1,1,0,(0,0,3),(,0,),(,,) ,(1,1,0) 22222 PABSEFC − . 所以 ( ) 13113 (,0,),(,,),2,0,0 22222 PEPFBC = = = − . …………3 分