豫西名校2021-2022学年上学期第一次联考高二数学参考答案

高二数学参考答案第1 页（共8 页） 豫西名校2021—2022 学年上期第一次联考 高二数学参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 D A C D C B D A A C B B 1．D【解析】通项公式为 2 +2 n n a = ， 4 4 2 +2 18 a = = ． 2． A【解析】 在△ABC 中， 因 8, 6 a b = = ， 由正弦定理sin sin a b A B = 得：sin 4 sin 3 A a B b = = ， 所以sin sin A B 的值是4 3 ． 3．C 【解析】因为 10 b = ， 2 3 a = ， 3 B π = ， 所以顶点C到AB 的距离 sin 2 3sin 3 3 d a B π = = = ， 因为 10 b = ， 10 d a < < ，所以此三角形有两解． 4． D 【解析】已知cos cos a B b A a + = ， 由正弦定理可得sin cos sin cos sin A B B A A + = 即sin( ) sin B A A + = ，sin sin C A = ,因为在△ABC 内，所以C A = ，△ABC 为等腰三角 形． 5．C【解析】因为 2 1 2 +1 n n n a a a + + = + 且 1 2 1 2 a a = = ， ， 则 3 2 1 2 1=6 a a a = + + ， 4 3 2 2 1=15 a a a = + + ， 5 4 3 2 1=37 a a a = + + ． 6．B【解析】因为{ } { } n n a b ， 为等差数列， 故 2 8 5 5 5 =2 2 a a a a a + = + = ，即 5 1 a = ，同理可得： 5 4 b = ，所以 1 9 9 5 1 9 9 5 9 1 2 4 9 2 a a S a b b T b + × = = = + × ． 7．D【解析】因为 : : 2: 4:5 a b c = ，不妨设 2 , 4 , 5 ( 0) a k b k c k k = = = > ， 则 2 2 2 2 2 2 2 4 16 25 5 cos 2 16 16 a b c k k k C ab k + − + − = = = − ， 高二数学参考答案第2 页（共8 页） 所以sin cos 1 5 5 ( ) si 6 n 2 32 1 A C B = ⋅− = − 8．A【解析】设等差数列{ } n a 的公差为d ．由已知条件，得 2 5 a a + = 3 2( 1) a − ， 即 ( ) ( ) 1 1 1 4 2 2 1 a a d d d a + + = + − + ，解得 2 d = −． 9．A【解析】如图所示，AB ⊥平面BCD，其中 45 , 30 , 70 , 50 ACB ADB BCE DCE ∠ = ∠ = ∠ = ∠ = � � � �， 设塔高AB x = m ， , 3 , BC x BD x = = 在 BCD △ 中，由余弦定理得 2 2 2 ( 3 280 2 280cos120 ) x x x = + − ⋅ ° ， 整理得： 2 140 140 280 0 x x − − × = ，由求根公式可得 280 x = ，或x=-140（舍去） 10．C【解析】 2 = n S n ∵ ， 1=1 a ∴ ， 当 2 n ≥ 时， 2 2 1= ( 1) =2 1 n n n n a n n S S − − − − − = 综上，数列{ } n a 的通项公式为 2 1. n a n = − 1 2 1 12 = 1 10 11 2 11 2 n n a n a n n + + = − − − − ．记 ( ) 12 = 1 11 2 f x x − − ， ( ) f x 在( ) ,5.5 −∞ 与( ) 5.5,+∞上都是增函数， 对数列 1 10 n n a a +     −   ，当0 5 n < �时， 1 10 n n a a +     −   递增且都大于1 −， 当 6 n�时， 1 10 n n a a +     −   递增且都小于1 −，数列 1 10 n n a a +     −   的最小项是第6 项，值为13 − ． 11．B【解析】因为 ( ) * 1 1 ( 1)( 2) n n n n a a n n n N a a + + + + = ∈ − ，所以 ( ) * 1 1 1 ( 1)( 2) n n n n a a n N a a n n + + − = ∈ + + ， 高二数学参考答案第3 页（共8 页） 所以 ( ) 1 1 ( 1) 2 1 2 1 1 1 n n n n a a a a n n n n + + − = = − + + + + ，即 1 1 1 1 1 1 2 n n a a n n + − = − + + ， 当 2 n ≥ 时， 1 1 2 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n n a a a a a a a a − − −       = − + − +…+ − +             1 1 2 3 1 1 1 1 1 1 1 1 n n n n       = − + − +…+ − +             + − 1 1 3 1 1 ( 2) 2 1 2 2 n n n n + = − + = ≥ + + ， 当 1 n = 时，上式成立，故 2 2 3 1 n n a n + = + ，故 10 20 2 22 = 30 1 31 a + = + ． 12． B 【解析】 过点D 作 // DE AB , 2 BD DC = ��� � ���� ， 所以 1 3 DE AB = ,且 2 3 AE AC = 在△ADE 中， 2 = 3 AED π ∠ ， = 7 AD , 1 DE = ，则由余弦定理可得， 2 2 2 2 cos AD DE AE DE AE AED = + − ⋅ ∠ 得 2 1 7 1 2 ( ) 2 AE AE = + − − ， 解得 2 AE = （负值舍去）, 2 3 AE AC = ,所以 3 AC = ． B C A D E 二、填空题 13．2 【解析】由正弦定理可得 2 4 2 1 sin 2 AB R C = = = ,所以△ABC 的外接圆的半径是2． 14．58 【解析】因为 2 4 a a ， 是方程 2 14 40 0 x x − + = 的两个根，所以 2 4 4 10 a a =   =  ，或 2 4 10 4 a a =   =  ， 又因数列{ } n a 为递增数列， 所以 2 4 4 10 a a =   =  ， 故 4 2 2 6 d a a = − = ， 1 3, 1 d a = = ， 故 =3 -2 n a n ，20=58 a ． 15．6 高二数学参考答案第4 页（共8 页） 【解析】设在A 处两船相遇，则由题意得 120 ACB ∠ = °， 30 B ∠ = ° ， 则△ABC 是等腰三角形，所以AC BC = ，则 4 3 AC = ， 由余弦定理 2 2 2 2 cos AB AC BC AC BC ACB = + − ⋅ ∠ ， 即 ( ) ( ) 2 2 2 1 4 3 4 3 2 4 3 4 3 144 2 AB   = + −× × × − =     ，所以 12 AB = ， 小船需2 分钟到A 处，则救生艇2 分钟至少航行12米，速度至少为6 米/分钟． 16．42 【解析】因为等差数列{ } n a 的前n项和 n S 有最小值， 所以等差数列{ } n a 的公差 0 d > ，又因为 21 22 1 0 a a −< < ， 所以 21 22 21 22 0, 0, 0 a a a a < > + > ，所以 ( ) ( ) 1 42 21 22 42 42 42 0 2 2 a a a a S + + = = > ， ( ) 1 41 21 41 21 41 41 2 41 0 2 2 a a a S a + × = = = < ，所以使得 0 n S > 成立的n的最小值是42． 三、解答题 17． 【解析】 （1） 5 3 12 4 A π π π π = − − = ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 由正弦定理可得 3 sin sin 4 3 b π π = ，解得 2 6 3 b = ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 （2）根据大边对大角，可得最大角为A ， ⋯⋯⋯⋯6 分 又 2 2 2 2 2 2 4 2 (2 7) 1 cos 2 2 4 2 2 b c a A bc + − + − = = = − × × ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分 ∵0 180 A < < ° °． ∴ 120 A = ° ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分 18． 【解析】 （1）由 3 1 a = −， 8 14 a = 可得： 1+2 1 a d = −， 1+7 14 a d = ，⋯⋯⋯⋯2 分 可得： 1 7 a = −， 3 d = ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯4 分 故 7 3( 1) 3 10 n a n n = −+ − = − ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 高二数学参考答案第5 页（共8 页） （2）由（1）知： 3 10 n a n = − ，故 1 = 2 n n a a S n + ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 分 7 3 10 (3 17) 2 2 n n n n −+ − − = = ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯9 分 当 3 n = 时，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分 n S 的最小值为(3 3 17)3 = 12 2 × − − ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分 19． 【解析】 （1）令 1 n = ，则 1 1 1+2=3 a S = = ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 当 2 n ≥ 时， 2 2 1 ( 2 ) [( 1) 2( 1)] 2 1 n n n a S S n n n n n − = − = + − − + − = + ，⋯⋯⋯⋯4 分 当n=1 时，a1=3 也符合上式， 即数列{ } n a 的通项公式为 2 +1 n a n = ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 （2）由（1）得 =2 +1 n a n ， 则 1 1 1 1 ( ) (2 1)(2 3) 2 2 1 2 3 n b n n n n = = − + + + + ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分 所以 1 2 1 1 1 1 1 1 1 1 1 ( ) ( ) ( ) 2 3 5 2 5 7 2 2 1 2 3 n n T b b b n n = + + + = − + − + + − + + ⋯ ⋯ 1 1 1 ( ) 2 3 2 3 6 9 n n n = − = + + ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分 故 1 7 n T < 可化为： 1 6 9 7 n n < + ，故 9 n < ， 故不等式 1 7 n T < 的解集为{1,2,3,4,5,6,7,8}．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分 20． 【解析】 （1）因为sin 3 cos 0 b C c B c + ⋅ + = ， 由正弦定理可得sin sin 3 sin cos sin 0 B C C B C + ⋅ + = ， ⋯⋯⋯⋯2 分 sin 0 C ≠ ∵ ，则sin 3 cos 1 0 B B + + = ，即sin 3 cos 1 B B + = −， 即2sin 3 1 B π  = −     + ，所以，sin 3 1 2 B π  = −     + ， ⋯⋯⋯⋯4 分 因为0 B π < < ，则 4 3 3 3 B π π π < + < ，所以 3 7 6 B π π + = ，解得 5 6 B π = ．⋯⋯6 分 高二数学参考答案第6 页（共8 页） （2）由正弦定理知： 4 sin sin sin a b c A B C = = = ， ⋯⋯⋯⋯8 分 ( ) 3 2 4 3sin 2sin 4 3sin 2sin 6 c a C A A A π     + = + = − +         1 3 3 1 4 3 cos sin 2sin 4 cos sin 4sin 2 2 2 2 3 A A A A A A π         = − + = + = +                       ， ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分 因为0 6 A π < < ,所以3 3 2 A π π π < + < ， 所以2 3 4sin 4 3 A π   < + <     , ( ) 3 2 2 3,4 c a + ∈ ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分 21． 【解析】 （1）由 1 4 7 6 a a a + + = −得 4 2 a = −，则 1 7 2 6 2 6 4 12 a a a a a a + = + = −   ⋅ = −  ， 又 0 d > ，∴ 2 6 6 2 a a = −   =  ，则 1 8 2 a d = −   =  ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯3 分 ∴ 2 10 n a n = − ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 （2）因为 2 10 n a n = − ，故 10 2 ,1 5 | | |2 10|= 2 10, 6 n n n a n n n − ≤ ≤  = −  − ≥  ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯7 分 所以当1 5 n ≤ ≤ 时， 2 1 2 8 (2 10) 9 2 n n n S a a a n n n −+ − = − − − − = − × = − + ⋯ ，⋯⋯⋯8 分 当 6 n ≥ 时， 1 2 5 6 | | | | | | (| | | |) n n S a a a a a = + + + + + + ⋯ ⋯ 1 2 5 6 1 2 5 6 =( ) ( )= ( + + + ) ( ) n n a a a a a a a a a a − − − − + + + − + + + ⋯ ⋯ ⋯ ⋯ 1 2 1 2 5 ( + ) 2( + + + ) n a a a a a a = + + − ⋯ ⋯ 2 ( 8 2 10) 40 9 40 2 n n n n −+ − = × + = − + ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯11 分 ∴ 2 2 9 ,1 5 9 40, 6 n n n n S n n n − + ≤ ≤ =  − + ≥  （n N ∗ ∈ ） ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分 高二数学参考答案第7 页（共8 页） 22． 【解析】 （1）由题 5 AC = 米， 5 3 BC = 米，AC BC ⊥ ， ∴ 3 tan 3 AC B BC = = ，∴ 30 B = ° ，∴ 60 A = °，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯2 分 在 ACM △ 中， 由余弦定理可得 2 2 2 2 cos CM AC AM AC AM A = + − ⋅ ⋅ 1 25 16 2 5 4 21 2 = + −× × × = ，则 21 CM = ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯5 分 由余弦定理得 21 cos 14 AMC ∠ = ， 180 CMA CMN ° ∠ + ∠ = ， 21 cos 14 CMN ∠ = − ， 5 7 sin , 14 CMN ∠ = 在 CMN △ 中， 21 sin sin( 30 ) , 7 CNM CMN ° ∠ = ∠ + = 由正弦定理得，sin sin30 CM NM CNM ° = ∠ ， 7 2 NM = ， sin sin CM CN CNM CMN = ∠ ∠ 得 5 7 2 CN = ， △MNC 的周长为： 7 5 7 21 2 CM NM CN + + + = + ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯6 分 （2）在 CAN △ 中，由 ( ) 5 sin60 sin 90 cos CN CA θ θ = = ° °− ，得 5 3 2cos CN θ = ，⋯⋯8 分 又在 ACM △ 中，由 ( ) sin60 sin 60 CM CA θ = ° ° + ，得 ( ) 5 3 2sin 60 CM θ = + ° ， 所以 ( ) 2 1 75 75 1 sin30 2 16sin 60 cos 16 1 3 sin cos cos 2 2 CMN S CM CN θ θ θ θ θ = ⋅ ⋅ ° = = ⋅ + ° + △ ( ) 75 1 75 8 sin 2 3 cos 2 3 8sin 2 60 4 3 2 2 2 θ θ θ = ⋅ = + ° + + + ，⋯⋯⋯⋯⋯⋯10 分 高二数学参考答案第8 页（共8 页） 所以当且仅当2 60 90 θ + ° = °， 即 15 θ = ° 时， CMN △ 的面积取最小值为 ( ) 2 75 2 3 m 4 − ．⋯⋯⋯⋯⋯⋯12 分