广东省五校（华附，省实，深中，广雅，六中）2022-2023学年高二上学期期末联考数学试题

（北京）股份有限公司 2022 学年上学期高二期末限时训练试卷 数学 命题学校：广东实验中学 命题人：翁文 张淑华 本试卷分选择题和非选择题两部分，共4 页，满分150 分，考试用时120 分钟。 注意事项： 1．开考前，考生务必用黑色字迹的钢笔或签字笔将自已的校名、姓名、班级、考号等相关信息填写在答题卡 指定区域内。 2．选择题每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后， 再选涂其它答案；不能答在试卷上。 3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内的相应位置上；如 需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答的答案无效。 4．考生必须保持答题卡的整洁。 第一部分 选择题（共60 分） 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题 目要求的） 1．集合 ， ，则 （ ） A． B． C． D． 2．某地天气预报中说起来三天中该地下雪的概率均为0.6，为了用随机模拟的方法估计未来三天中恰有两天 下雪的概率，用计算机产生1～5 之间的随机整数，当出现随机数1，2 或3 时，表示该天下雪，其概率为 0.6，每3 个随机数一组，表示一次模拟的结果，共产生了如下的20 组随机数． 522 553 135 354 313 531 423 521 541 142 125 323 345 131 332 515 324 132 255 325 则据此估计该地未来三天中恰有两天下雪的概率为（ ） A． B． C． D． 3．设复数 满足 ，则 在复平面上对应的图形是（ ） A．两条直线 B．粗圆 C．圆 D．双曲线 4．在 中，已知 ， ， ，满足此条件的三角形只有一个，则 满足（ ） A． B． （北京）股份有限公司 C． D． （北京）股份有限公司 5．圆内接四边形 中， ， ， 是圆的直径，则 （ ） A．12 B．20 C． D． 6．已知数列 为等差数列，若 ， ，且数列 的前 项和有最大值，那么 取 得最小正值时 为（ ） A．11 B．12 C．7 D．6 7．已知过椭圆 （ ）的左焦点 的直线交粗圆于不同的两点 ， ，与 轴交 于 点，若 ， 为线段 的三等分点，则该椭圆的标准方程为（ ） A． B． C． D． 8．定义在 的函数 满足：对 ， ，且 ， 成立， 且 ，则不等式 的解集为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题 目要求的，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分） 9．已知双曲线 （ ， ）的右焦点为 ，在线段 上存在一点 ，使得 到 渐近线的距离为 ，则双曲线离心率的值可以为（ ） A． B．2 C． D． 10．已知正实数 ， 满足 ，下列说法正确的是（ ） A． 的最大值为2 B． 的最小值为4 （北京）股份有限公司 C． 的最小值为 D． 的最小值为 11．已知正方体 的边长为2， 为正方体内（包括边界）上的一点，且满足 ，则下列说正确的有（ ） （北京）股份有限公司 A．若 为面 内一点，则 点的轨迹长度为 B．过 作面 使得 ，若 ，则 的轨迹为椭圆的一部分 C．若 ， 分别为 ， 的中点， 与面 ，则 的轨迹为双曲线的一部分 D．若 ， 分别为 ， 的中点， 与面 所成角为 ，则 的范围为 12．已知函数 ， ，则（ ） A．函数 为偶函数 B．函数 为奇函数 C．函数 为奇函数 D． 为函数函数 图象的对称轴 第二部分 非选择题（共90 分） 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分） 13．已知首项为2 的数列 对 满足 ，则数列 的通项公式 ______． 14．已知直线的方向向量为 ，点 在直线上，则点 到直线的距离为______． 15．函数 （ ， ）的部分图象如图所示，直线 （ ）与 这部分图象相交于三个点，横坐标从左到右分别为 ， ， ，则 ______． （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 16．已知实数 ， 满足 ，则 的取值范围是______． 四、解答题（本题共6 小题，共70 分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 17．（本题10 分）已知函数 ． （1）求函数 的单调增区间； （2）求 的值． 18．（本题12 分）已知等比数列 对任意的 满足 ． （1）求数列 的通项公式； （2）若数列 的前 项和为 ，定义 为 ， 中较小的数， ，求数 列 的前 项和 ． 19．（本题12 分）已知平面内一动点 到定点 的距离比它到 轴的距离多1． （1）求 点的轨迹方程 ； （2）过点 作直线与曲线 交于 ， （ 点在 点左侧），求 的最小值． 20．（本题12 分）已知正项数列 满足 ，且 ，设 ． （1）求证：数列 为等比数列并求 的通项公式； （2）设数列 的前 项和为 ，求数列 的前 项和 ． 21．（本题12 分）已知四棱锥 中， ， ， ， ， ，面 面 ， ． （北京）股份有限公司 （1）求证： ； （2）求面 与面 所成的锐二面角的余弦值． 22．（本题12 分）换元法在数学中应用较为广泛，其目的在于把不容易解决的问题转化为数学情景．例如， 已知 ， ， ，求 的最小值．其求解过程可以是： 设 ， ，其中 ， 则 当 时 取得最小值16，这种换元方法称为“对称换元”．已知平面内一动点 到两个定点 ， 的距离之和为4． （1）请利用上述方法，求 点的轨迹方程 ； （2）过轨迹 与 轴负半轴交点 作斜率为 的直线交轨迹 于另一点 ，连接 并延长交 于点 ， 若 ，求 的值．