2019年高考数学试卷（文）（北京）（解析卷）

1/15 2019 年北京市高考数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题列出的四个选项中，选出符合题目 要求的一项。 1．（5 分）已知集合A＝{x| 1 ﹣＜x＜2}，B＝{x|x＞1}，则A∪B＝（ ） A．（﹣1，1） B．（1，2） C．（﹣1，+∞） D．（1，+∞） 【分析】直接由并集运算得答案． 【解答】解：∵A＝{x| 1 ﹣＜x＜2}，B＝{x|x＞1}， ∴A∪B ＝{x| 1 ﹣ ＜x ＜2} { ∪x|x ＞1} ＝（﹣ 1，+∞）． 故选：C． 【点评】本题考查并集及其运算，是基础的计算题． 2．（5 分）已知复数z＝2+i，则z• ＝（ ） A． B． C．3 D．5 【分析】直接由 求解． 【解答】解：∵z＝2+i， ∴z• ＝ ． 故选：D． 【点评】本题考查复数及其运算性质，是基础的计算题． 3．（5 分）下列函数中，在区间（0，+∞）上单调递增的是（ ） A．y＝x B．y＝2﹣x C．y＝log x D．y＝ 【分析】判断每个函数在（0，+∞）上的单调性即可． 1/15 【解答】解： 在（0 ，+∞）上单调递增， 和 在 （0，+∞）上都是减函数． 故选：A．【点评】考查幂函数、指数函数、对数函数和反比例函数的单调性． 2/15 4．（5 分）执行如图所示的程序框图，输出的s 值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【分析】由已知中的程序语句可知：该程序的功能是利用循环结构计算并输出变量s 的 值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案． 【解答】解：模拟程序的运行，可得 k＝1，s＝1 s＝2 不满足条件k≥3，执行循环体，k＝2，s＝2 不满足条件k≥3，执行循环体，k＝3，s＝2 此时，满足条件k≥3，退出循环，输出s 的值为2． 故选：B． 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应模拟程序框图的运行过程，以便得 出正确的结论，是基础题． 5．（5 分）已知双曲线 ﹣y2＝1（a＞0）的离心率是 ，则a＝（ ） A． B．4 C．2 D． 【分析】由双曲线方程求得b2，再由双曲线的离心率及隐含条件a2+b2＝c2 联立求得a 值． 【解答】解：由双曲线 ﹣y2＝1（a＞0），得b2＝1，又e＝ ，得 ，即 2/15 ， 3/15 解得 ，a＝ ． 故选：D． 【点评】本题考查双曲线的简单性质，考查计算能力，是基础题． 6．（5 分）设函数f（x）＝cosx+bsinx（b 为常数），则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的（ ） A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 【分析】“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”，“f（x）为偶函数”⇒“b＝0”，由此能求出结 果． 【解答】解：设函数f（x）＝cosx+bsinx（b 为常数）， 则“b＝0”⇒“f（x）为偶函数”， “f（x）为偶函数”⇒“b＝0”， ∴函数f（x）＝cosx+bsinx（b 为常数）， 则“b＝0”是“f（x）为偶函数”的充分必要条件． 故选：C． 【点评】本题考查命题真假的判断，考查函数的奇偶性等基础知识，考查推理能力与计 算能力，属于基础题． 7．（5 分）在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述．两颗星的星等与亮度 满足m2﹣m1＝ lg ，其中星等为mk 的星的亮度为Ek（k＝1，2）．已知太阳的星等 是﹣26.7，天狼星的星等是﹣1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为（ ） A．1010.1 B．10.1 C．lg10.1 D．10 10.1 ﹣ 【分析】把已知熟记代入m2﹣m1＝ lg ，化简后利用对数的运算性质求解． 【解答】解：设太阳的星等是m1＝﹣26.7，天狼星的星等是m2＝﹣1.45， 由题意可得： ，∴ ，则 ． 故选：A． 3/15 【点评】本题考查对数的运算性质，是基础的计算题． 8．（5 分）如图，A，B 是半径为2 的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，∠APB 4/15 是锐角，大小为β，图中阴影区域的面积的最大值为（ ） A．4β+4cosβ B．4β+4sinβ C．2β+2cosβ D．2β+2sinβ 【分析】由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β，要求阴影区域的面积的最大值，即为直线 QO⊥AB，运用扇形面积公式和三角形的面积公式，计算可得所求最大值． 【解答】解：由题意可得∠AOB＝2∠APB＝2β， 要求阴影区域的面积的最大值，即为直线QO⊥AB， 即有QO＝2，Q 到线段AB 的距离为2+2cosβ， AB＝2•2sinβ＝4sinβ， 扇形AOB 的面积为 •2β•4＝4β， △ABQ 的面积为 （2+2cosβ）•4sinβ＝4sinβ+4sinβcosβ＝4sinβ+2sin2β， S△AOQ+S△BOQ＝4sinβ+2sin2β﹣ •2•2sin2β＝4sinβ， 即有阴影区域的面积的最大值为4β+4sinβ． 故选：B． 【点评】本题考查圆的扇形面积公式和三角函数的恒等变换， 考查化简运算能力，属于中档题． 二、填空题共6 小题，每小题5 分，共30 分。 9．（5 分）已知向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥，则m＝ 8 ． 4/15 【分析】⊥则 ，代入，，解方程即可． 5/15 【解答】解：由向量＝（﹣4，3），＝（6，m），且⊥， 得 ， ∴m＝8． 故答案为：8． 【点评】本题考查了平面向量的数量积与垂直的关系，属基础题． 10．（5 分）若x，y 满足 则y﹣x 的最小值为 ﹣ 3 ，最大值为 1 ． 【分析】由约束条件作出可行域，令z＝y﹣x，作出直线y＝x，平移直线得答案． 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， A（2，﹣1），B（2，3）， 令z＝y﹣x，作出直线y＝x，由图可知， 平移直线y＝x，当直线z＝y﹣x 过A 时，z 有最小值为﹣3，过B 时，z 有最大值1． 故答案为：﹣3，1． 【点评】本题考查简单的线性规划，考查数形结合的解题思想方法，是中档题．11．（5 分）设抛物线y2＝4x 的焦点为F，准线为l，则以F 为圆心，且与l 相切的圆的方程为 （ x 1 ﹣ ） 2 + y 2 ＝ 4 ． 【分析】由题意画出图形，求得圆的半径，则圆的方程可求． 【解答】解：如图， 6/15 抛物线y2＝4x 的焦点为F（1，0）， ∵所求圆的圆心F，且与准线x＝﹣1 相切，∴圆的半径为2． 则所求圆的方程为（x 1 ﹣）2+y2＝4． 故答案为：（x 1 ﹣）2+y2＝4． 【点评】本题考查抛物线的简单性质，考查直线与圆位置关系的应用，考查数形结合的 解题思想方法，是基础题． 12．（5 分）某几何体是由一个正方体去掉一个四棱柱所得，其三视图如图所示．如果网 格纸上小正方形的边长为1，那么该几何体的体积为 40 ． 【分析】由三视图还原原几何体，然后利用一个长方 体与一个棱柱的体积作和求解． 7/15 【解答】解：由三视图还原原几何体如图， 该几何体是把棱长为4 的正方体去掉一个四棱柱， 则该几何体的体积V＝ ． 故答案为：40． 【点评】本题考查由三视图求面积、体积，关键是由三视图还原原几何体，是中档题． 13．（5 分）已知l，m 是平面α 外的两条不同直线．给出下列三个论断： ①l⊥m；②m∥α；③l⊥α． 以其中的两个论断作为条件，余下的一个论断作为结论，写出一个正确的命题： 若 l ⊥ α ， l ⊥ m ，则 m ∥ α ． 【分析】由l，m 是平面α 外的两条不同直线，利用线面平行的判定定理得若l⊥α， l⊥m，则m∥α． 【解答】解：由l，m 是平面α 外的两条不同直线，知： 由线面平行的判定定理得： 若l⊥α，l⊥m，则m∥α． 故答案为：若l⊥α，l⊥m，则m∥α． 【点评】本题考查满足条件的真命题的判断，考查空间中线线、线面、面面间的位置关 系等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 14．（5 分）李明自主创业，在网上经营一家水果店，销售的水果中有草莓、京白梨、西 瓜、桃，价格依次为60 元/盒、65 元/盒、80 元/盒、90 元/盒．为增加销量，李明对这四 种水果进行促销：一次购买水果的总价达到120 元，顾客就少付x 元．每笔订单顾客网 上支付成功后，李明会得到支付款的80%． ①当x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，需要支付 130 元； ②在促销活动中，为保证李明每笔订单得到的金额均不低于促销前总价的七折，则x 的 7/15 最大值为 15 ．【分析】①由题意可得顾客一次购买的总金额，减去x，可得所求值； 8/15 ②在促销活动中，设订单总金额为m 元，可得（m﹣x）×80%≥m×70%，解不等式，结 合恒成立思想，可得x 的最大值． 【解答】解：①当x＝10 时，顾客一次购买草莓和西瓜各1 盒，可得60+80＝140（元）， 即有顾客需要支付140 10 ﹣ ＝130（元）； ②在促销活动中，设订单总金额为m 元， 可得（m﹣x）×80%≥m×70%， 即有x≤ ， 由题意可得m≥120， 可得x≤ ＝15， 则x 的最大值为15 元． 故答案为：130，15 【点评】本题考查不等式在实际问题的应用，考查化简运算能力，属于中档题． 三、解答题共6 小题，共80 分。解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。 15．（13 分）在△ABC 中，a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ． （Ⅰ）求b，c 的值； （Ⅱ）求sin（B+C）的值． 【分析】（1）利用余弦定理可得b2＝a2+c2 2 ﹣accosB，代入已知条件即可得到关于b 的 方程，解方程即可； （2）sin（B+C）＝sin（ ﹣A）＝sinA，根据正弦定理可求出sinA． 【解答】解：（1）∵a＝3，b﹣c＝2，cosB＝﹣ ． ∴由余弦定理，得b2＝a2+c2 2 ﹣accosB ＝ ， ∴b＝7，∴c＝b 2 ﹣＝5； （2）在△ABC 中，∵cosB＝﹣ ，∴sinB＝ ， 由正弦定理有： ，∴sinA＝ ＝ ， 8/15 sin ∴ （B+C）＝sin（ ﹣A）＝sinA＝ ． 9/15 【点评】本题考查了正弦定理余弦定理，属基础题． 16．（13 分）设{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列． （Ⅰ）求{an}的通项公式； （Ⅱ）记{an}的前n 项和为Sn，求Sn的最小值． 【分析】（Ⅰ）利用等差数列通项公式和等比数列的性质，列出方程求出d＝2，由此能 求出{an}的通项公式． （Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得Sn＝﹣10n+ ＝n2 11 ﹣ n＝（n﹣ ）2﹣ ，由此能求出Sn的最小值． 【解答】解：（Ⅰ）∵{an}是等差数列，a1＝﹣10，且a2+10，a3+8，a4+6 成等比数列． ∴（a3+8）2＝（a2+10）（a4+6）， ∴（﹣2+2d）2＝d（﹣4+3d）， 解得d＝2， ∴an＝a1+（n 1 ﹣）d＝﹣10+2n 2 ﹣＝2n 12 ﹣ ． （Ⅱ）由a1＝﹣10，d＝2，得： Sn＝﹣10n+ ＝n2 11 ﹣ n＝（n﹣ ）2﹣ ， ∴n＝5 或n＝6 时，Sn取最小值﹣30． 【点评】本题考查数列的通项公式、前n 项和的最小值的求法，考查等差数列、等比数 列的性质等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于基础题． 17．（12 分）改革开放以来，人们的支付方式发生了巨大转变．近年来，移动支付已成为 主要支付方式之一．为了解某校学生上个月A，B 两种移动支付方式的使用情况，从全 校所有的1000 名学生中随机抽取了100 人，发现样本中A，B 两种支付方式都不使用的 有5 人，样本中仅使用A 和仅使用B 的学生的支付金额分布情况如下： 不大于2000 元 大于2000 元 仅使用A 27 人 3 人 仅使用B 24 人 1 人 （Ⅰ）估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数； 9/15 （Ⅱ）从样本仅使用B 10/15 的学生中随机抽取1 人，求该学生上个月支付金额大于2000 元的概率； （Ⅲ）已知上个月样本学生的支付方式在本月没有变化．现从样本仅使用B 的学生中随 机抽查1 人，发现他本月的支付金额大于2000 元．结合（Ⅱ）的结果，能否认为样本 仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化？说明理由． 【分析】（Ⅰ）从全校所有的1000 名学生中随机抽取的100 人中，A，B 两种支付方式 都不使用的有5 人，仅使用A 的有30 人，仅使用B 的有25 人，求出A，B 两种支付方 式都使用的人数有40 人，由此能估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人 数． （Ⅱ）从样本仅使用B 的学生有25 人，其中不大于2000 元的有24 人，大于2000 元的 有1 人，从中随机抽取1 人，基本事件总数n＝25，该学生上个月支付金额大于2000 元 包含的基本事件个数m＝1，由此能求出该学生上个月支付金额大于2000 元的概率． （Ⅲ）从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人，发现他本月的支付金额大于2000 元的 概率为 ，虽然概率较小，但发生的可能性为 ．不能认为样本仅使用B 的学生中本 月支付金额大于2000 元的人数有变化． 【解答】解：（Ⅰ）由题意得： 从全校所有的1000 名学生中随机抽取的100 人中， A，B 两种支付方式都不使用的有5 人， 仅使用A 的有30 人，仅使用B 的有25 人， ∴A，B 两种支付方式都使用的人数有：100 5 30 25 ﹣﹣ ﹣ ＝40， ∴估计该校学生中上个月A，B 两种支付方式都使用的人数为：1000× ＝400 人． （Ⅱ）从样本仅使用B 的学生有25 人，其中不大于2000 元的有24 人，大于2000 元的 有1 人， 从中随机抽取1 人，基本事件总数n＝25， 该学生上个月支付金额大于2000 元包含的基本事件个数m＝1， ∴该学生上个月支付金额大于2000 元的概率p＝ ＝ ．（Ⅲ）不能认为样本仅使用 B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化， 理由如下： 10/15 上个月样本学生的支付方式在本月没有变化． 现从样本仅使用B 的学生中随机抽查1 人， 11/15 发现他本月的支付金额大于2000 元的概率为 ， 虽然概率较小，但发生的可能性为 ． 故不能认为样本仅使用B 的学生中本月支付金额大于2000 元的人数有变化． 【点评】本题考查频数、概率的求法，考查频数分布表、概率等基础知识，考查推理能 力与计算能力，属于基础题． 18．（14 分）如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为菱形，E 为 CD 的中点． （Ⅰ）求证：BD⊥平面PAC； （Ⅱ）若∠ABC＝60°，求证：平面PAB⊥平面PAE； （Ⅲ）棱PB 上是否存在点F，使得CF∥平面PAE？说明理由． 【分析】（Ⅰ）推导出BD⊥PA，BD⊥AC，由此能证 明BD⊥平面PAC． （Ⅱ）推导出AB⊥AE，PA⊥AE，从而AE⊥平面PAB，由此能证明平面PAB⊥平面 PAE． （Ⅲ）棱PB 上是存在中点F，取AB 中点G，连结GF，CG，推导出CG∥AE，FG∥PA， 从而平面CFG∥平面PAE，进而CF∥平面PAE． 【解答】证明：（Ⅰ）∵四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为菱形， ∴BD⊥PA，BD⊥AC， ∵PA∩AC＝A，∴BD⊥平面PAC． （Ⅱ）∵在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点， ∠ABC＝60°， ∴AB⊥AE，PA⊥AE， ∵PA∩AB＝A，∴AE⊥平面PAB， 11/15 ∵AE⊂平面PAE，∴平面PAB⊥平面PAE． 12/15 解：（Ⅲ）棱PB 上是存在中点F，使得CF∥平面PAE． 理由如下：取AB 中点G，连结GF，CG， ∵在四棱锥P﹣ABCD 中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD 为菱形，E 为CD 的中点， ∴CG∥AE，FG∥PA， ∵CG∩FG＝G，AE∩PA＝A， ∴平面CFG∥平面PAE， ∵CF⊂平面CFG，∴CF∥平面PAE． 【点评】本题考查线面垂直、面面垂直的证明，考查 满足线面平行的眯是否存在的判断与求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系 等基础知识，考查推理能力与计算能力，属于中档题． 19．（14 分）已知椭圆C： + ＝1 的右焦点为（1，0），且经过点A（0，1）． （Ⅰ）求椭圆C 的方程； （Ⅱ）设O 为原点，直线l：y＝kx+t（t≠±1）与椭圆C 交于两个不同点P、Q，直线AP 与x 轴交于点M，直线AQ 与x 轴交于点N．若|OM|•|ON|＝2，求证：直线l 经过定点． 【分析】（Ⅰ）由题意可得b＝c＝1，由a，b，c 的关系，可得a，进而得到所求椭圆方 程； （Ⅱ）y＝kx+t 与椭圆方程x2+2y2＝2 联立，运用韦达定理，化简整理，结合直线恒过定 点的求法，计算可得结论．【解答】解：（Ⅰ）椭圆C： + ＝1 的右焦点为（1， 0），且经过点A（0，1）． 可得b＝c＝1，a＝ ＝ ， 12/15 则椭圆方程为 +y2＝1； （Ⅱ）证明：y＝kx+t 与椭圆方程x2+2y2＝2 联立，可得（1+2k2）x2+4ktx+2t2 2 ﹣＝0， 13/15 设P（x1，y1），Q（x2，y2）， △＝16k2t2 4 ﹣（1+2k2）（2t2 2 ﹣）＞0，x1+x2＝﹣ ，x1x2＝ ， AP 的方程为y＝ x+1，令y＝0，可得y＝ ，即M（ ，0）； AQ 的方程为y＝ x+1，令y＝0，可得y＝ ．即N（ ，0）． （1﹣y1）（1﹣y2）＝1+y1y2﹣（y1+y2）＝1+（kx1+t）（kx2+t）﹣（kx1+kx2+2t） ＝（1+t2 2 ﹣t）+k2• +（kt﹣k）•（﹣ ）＝ ， |OM|•|ON|＝2，即为| • |＝2， 即有|t2 1| ﹣＝（t 1 ﹣）2，由t≠±1，解得t＝0，满足△＞0， 即有直线l 方程为y＝kx，恒过原点（0，0）． 【点评】本题考查椭圆的方程和运用，考查联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理， 考查直线恒过定点的求法，考查化简整理的运算能力，属于中档题． 20．（14 分）已知函数f（x）＝ x3﹣x2+x． （Ⅰ）求曲线y＝f（x）的斜率为1 的切线方程； （Ⅱ）当x∈[ 2 ﹣，4]时，求证：x 6≤ ﹣ f（x）≤x； （Ⅲ）设F（x）＝|f（x）﹣（x+a）|（a∈R），记F（x）在区间[ 2 ﹣，4]上的最大值为