吉林省长春市十一高中2021-2022学年高一下学期第一学程考试数学试题（解析版）

长春市十一高中22021-2022 学年度高一下学期第一学程考试 数学试题 一､单选题：本题共8 小题，每小题5 分，共共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个 选项是符合题目要求的. 1. 在复平面内，若复数 对应的点的坐标为 ，则实数 （ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数和坐标系中的点的对应关系得到结果即可. 【详解】复数 对应的点的坐标为 由题干得到 故选：D. 2. 某工厂为了对40 个零件进行抽样调查，将其编号为00，01，…，38，39.现要从中选出5 个，利用下面 的随机数表，从第一行第3 列开始，由左至右依次读取，则选出来的第1 个零件编号是（ ） A. 36 B. 16 C. 11 D. 14 【答案】A 【解析】 【分析】根据随机数表的规则读取编号． 【详解】从题中给的随机数表第一行第3 列开始从左往右开始读取，重复的数字只读一次，读到的小于40 的编号分别为36，33，26，16，11．所以出来的第1 个零件编号是36． 故选：A 3. 已知 ， ， ，则（ ） A. A，B，C 三点共线 B. A，B，D 三点共线 C. A，C，D 三点共线 D. B，C，D 三点共线 【答案】B 【解析】 【分析】根据向量的线性运算得到 ，从而可以获得答案. 【详解】 ，又∵ 与 有公共点B，∴A，B，D 三点共线． 故选：B. 4. 的三个内角 ､ ､ 满足 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用余弦定理即得. 【详解】因为 ， 可设 ， 由余弦定理可得 . 故选：B. 5. 若z 是复数，且 ，则 的最大值是（ ） A. 12 B. 8 C. 6 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】利用复数模的几何意义求解即可. 【详解】由已知得 表示复平面内z 对应的点的轨迹是以原点为圆心，半径为2 的圆， 而 表示的是复平面内 对应的点 到复数 对应的点（6，－8）之间的距离，其最大值 为 ， 故选：A. 6. 已知向量 ， 满足 ， ， ，则 与 的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用数量积运算律化简 即得解. 【详解】解：因为 ， 所以 ， 所以 . 故选：D 7. 如图所示，为测一树的高度，在地面上选取A、B 两点，从A、B 两点分别测得树尖的仰角为30°，45°且 A、B 两点之间的距离为60m，则树的高度为（ ） A. （ ）m B. （ ）m C. （ ）m D. （ ）m 【答案】A 【解析】 【分析】先由正弦定理求出PB，然后根据三角函数定义可得. 【详解】在 中， ， 所以 ， 由正弦定理得： ， 所以，树的高度为 . 故选：A 8. 在菱形ABCD 中，∠BAD＝60°，AB＝2，E 是BC 的中点，F 是AB 上一点，且 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】选定 为基底表示目标向量 ，根据已知条件确定 点的位置，再用基底表示 ，即可利用向量的数量积求得结果. 【详解】设 ，则 ， ． 所以 解得 ． 故 故选： 二､多选题（本大题共4 小题，共20 分，在每小题的四个选项中，有多项符合要求，全部选 对的得5 分，部分选对的得2 分，选错的得0 分） 9. 已知为虚数单位，复数 ， ，则下列结论正确的是（ ） A. 的模为 B. 的虚部为 C. 对应的点位于复平面第一象限 D. 的共轭复数为 【答案】ABC 【解析】 【分析】根据复数的相关概念依次讨论各选项即可得答案. 【详解】解：对于A 选项， 的模为 ，故正确； 对于B 选项， 的虚部为 ，故正确； 对于C 选项， ，对应的点的坐标为 ，在第一象限，故正确； 对于D 选项， 的共轭复数为 ，故错误. 故选：ABC 10. 下列命题正确的是（ ） A. B. 相反向量 ， ，满足 C. 向量 ， 能作为所在平面内的一组基底 D. 对于向量 ， ，有 不一定成立 【答案】BC 【解析】 【分析】对于A：利用向量的减法直接求解；对于B：由 直接判断；对于C：根据基底的定义直 接判断；对于D：由 计算可得. 【详解】对于A： .故A 错误； 对于B：因为 ，相反向量 ， ，满足 .故B 正确； 对于C：对于向量 ， ，因为向量 与 不平行，所以能作为所在平面内的一组基底. 故C 正确； 对于D：对于向量 ， ，有 ，所以 . 所以 恒成立，故D 错误. 故选：BC 11. 有下列说法，其中错误的说法为（ ） A. ､ 为实数，若 ，则 与 共线 B. 若 ､ ，则 C. 两个非零向量 ､ ，若 ，则 与 垂直 D. 已知向量 ， ，若 在 上的投影向量为 （ 为与向量 同向的单位向量），则 【答案】ABD 【解析】 【分析】由向量共线的性质可判断A；由零与任何向量共线，即可判断B；；根据平面向量数量积的运算 律判断C；利用投影向量的概念可判断D． 【详解】对于A 选项，当 时， 与 可以为任意向量，满足 ，但 与 不一定共线， 故A 错误， 对于B 选项，如果 、 都是非零向量， ，满足已知条件，但是结论不成立，故B 错误， 对于C 选项，若 ，所以 ，即 ，即 ，所以 ，∴ 与 垂直，故C 正确， 对于D 选项，由向量 ， ， 在 上的投影向量为 ， ∴ ，即 ，故D 错误. 故选：ABD. 12. 在 中，角 ， ， 所对的对边分别为 ， ， ，下列命题中正确的是（ ） A. 若 ，则 B. 若 ， ， ，则满足条件的 有且仅有一个 C. 若 ，则 是直角三角形 D. 若 为锐角三角形，且 .若 ，则 外接圆面积的最小值 为 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用大角对大边以及正弦定理可判断A，利用正弦定理可判断B，利用余弦定理化角为边可判断 C，利用条件可得 ，然后利用余弦定理及基本不等式可判断D. 【 详解】对于A，若 ，则 ， 由正弦定理可得 ，则 ，故A 正确； 对于B ，若 ， 则 , , 因此满足条件的 有两个，故B 错误； 对于C， ,则 ， 整理得 ，故 为直角三角形，故 C 正确； 对于D，由 ，可得 ， ∴ ，又 ， ∴ ，又 为锐角三角形， ∴ ， ∴ ， 当且仅当 时，取等号， ∴ ， 由正弦定理可得， ，（R 为外接圆半径） 可得 , ∴ 外接圆面积的最小值为 ，故D 正确. 故选：ACD. 三､填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共共20 分. 13. 计算： ___________. 【答案】 ## 【解析】 【分析】利用复数的除法化简可得结果. 【详解】 . 故答案为： . 14. 在 中，角 ， ， 所对的边分别为 ， ， 若 ， ， ，则 ____ _________． 【答案】 【解析】 【分析】由已知利用三角形内角和定理可求 ，根据正弦定理即可求 的值． 【详解】在 中， ， ， ， 则 ， 由正弦定理可得： ． 故答案为： ． 15. 某高中针对学生发展要求，开设了富有地方特色的 “泥塑”与“剪纸”两个社团，已知报名参加这两个社团 的学生共有800 人，按照要求每人只能参加一个社团，各年级参加社团的人数情况如下表： 高一年级 高二年级 高三年级 泥塑 a b c 剪纸 x y z 其中x∶y∶z＝5∶3∶2，且“泥塑”社团的人数占两个社团总人数的 ，为了了解学生对两个社团活动的满意 程度，从中抽取一个50 人的样本进行调查，则从高二年级“剪纸”社团的学生中应抽取________人． 【答案】6 【解析】 【分析】先按分层抽样求出高二年级人数，再按样本占总体的比例得解. 【详解】因为“泥塑”社团的人数占总人数的 ，故“剪纸”社团的人数占总人数的 ，所以“剪纸” 社团的人数为 .因为“剪纸”社团中高二年级人数比例为 ，所以“剪 纸”社团中高二年级人数为 .由题意知，抽样比为 ，所以从高二年级“剪纸”社团中 抽取的人数为 . 故答案为:6 16. 已知在边长为 的正三角形 中， 、 分别为边 、 上的动点，且 ，则 的最大值为_________． 【答案】 ## 【解析】 【分析】如图建立直角坐标系，设 （ ），则 （ ），然后表示出 可求得其最大值 【详解】如图建系，则 、 、 ， 则 ，，设 （ ）， 则 （ ），则 ， ， ∴ ， ∴ ， 当 时， 取最大值 ． 故答案为： 四､解答题：本题共4 小题，每小题题10 分 17. 设 、 、 、 为平面内的四点，且 ， ， . （1）若 ，求 点的坐标； （2）设向量 ， ，若 与 平行，求实数 的值. 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】 （1）设点 ，利用 结合平面向量的坐标运算可得出关于 、 的方程组，由此可求得点 的坐标； （2）求出向量 与 的坐标，利用共线向量的坐标表示可得出关于实数 的方程，由此可求得实 数 的值. 【详解】（1）设 ， ，即 ，则 ，解得 ， 因此，点 的坐标为 ； （2） ， ， ， ， 与 平行， ，解得 . 【点睛】本题考查利用向量相等求点的坐标，同时也考查了利用平面向量共线求参数，考查计算能力，属 于基础题. 18. 已知函数 . （1）求函数 的单调递减区间； （2）若 ，求函数 的最小值. 【答案】（1） ； （2）0. 【解析】 【分析】(1)利用三角恒等变换化简函数解析式，然后利用正弦函数的性质即得； (2)根据正弦函数的性质即得. 【小问1 详解】 ∵ ， 由 ， ， 解得 ， ， 所以函数的单调递减区间为 ， ； 【 小问2 详解】 由 ，则 ， 所以 ， 所以 ， 所以当 时，函数 有最小值为0． 19. 西昌市邛泸旅游风景区在邛海举行搜救演练，如图， 、 是邛海水面上位于东西方向相距 公 里的两个观测点，现位于 点北偏东 、 点西北方向的 点有一艘渔船发出求救信号，位于 点南偏 西 且与 点相距 公里的 点的救援船立即前往营救，其航行速度为 公里/小时.求： （1）观测点 与 点处的渔船间的距离； （2） 点的救援船到达 点需要多长时间？ 【答案】（1） 公里 （2） 小时 【解析】 【分析】（1）求出 的三个内角，利用正弦定理可求得 的长； （2）利用余弦定理求出 ，结合救援船行驶的速度可求得所需时间. 【小问1 详解】 解：在 中， ， ，则 ， 所以， ， 由正弦定理 ，所以， （公里）. 【小问2 详解】 解：在 中， ， ， ， 由余弦定理可得 ， 因此，救援船所需时间为 （小时）. 20. 如图：某公园改建一个三角形池塘， ， 百米， 百米，现准备养一批观赏鱼供 游客观赏. （1）若在 内部取一点 ，建造 连廊供游客观赏，如图①，使得点 是等腰三角形 的顶 点，且 ，求连廊 的长（单位为百米）； （2）若分别在 ， ， 上取点 ， ， ，并连建造连廊，使得 变成池中池，放养更名 贵的鱼类供游客观赏，如图②，使得 为正三角形，或者如图③，使得 平行 ，且 垂直 ，则两种方案的 的面积分别设为 ， ，则 和 哪一个更小？ 【答案】（1） 百米 （2）答案见解析. 【解析】 【分析】（1）先由 中的余弦定理求出 ，再由 中的余弦定理求出 即可求得连廊 的长； （2）分别表示出方案②和方案③的面积，利用三角函数求最值以及二次函数求最值即可. 【小问1 详解】 解： 点 是等腰三角形 的顶点，且 ， 且由余弦定理可得： 解得： 又 在 中， ， 在 中，由余弦定理得 解得， 连廊的长为 百米. 【小问2 详解】 解：设图②中的正三角形 的边长为 ， ，（ ） 则 ， ， 设 ，可得 在 中，由正弦定理得： ，即 即 化简得： （其中， 为锐角，且 ） 图③中，设 ， 平行 ，且 垂直 ， ， ， ， 当 时， 取得最大值 ，无最小值， 即 即方案②面积的最小值小于方案③面积的最大值，即 大小不确定. 【点睛】思路点睛：在实际应用中求面积最值，我们一般将面积表示为函数形式，转化为求函数的最值， 然后利用三角函数求最值、二次函数求最值、基本不等式求最值以及导数求最值.