吉林省长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第一学程考试数学试题

长春市十一高中2021-2022学年高二上学期第一学程考试 数学试题 第Ⅰ卷（共 60分） 一、选择题（本题共10 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的.） 1．直线 的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．与圆 同圆心，且面积为 面积的一半的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 3．圆C： 被直线 截得的最短弦长为（ ） A． B． C． D． 4．若椭圆 上一点A 到焦点F1的距离为2，B 为AF1的中点，O 是坐标原点，则| OB|的值为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 5．已知 为实数，直线 与直线 垂直，则 （ ） A．0 或3 B．3 C．0 D．无解 6．过点 引直线，使 ， 两点到直线的距离相等，则这条直线的方程是 （ ） A． B． C． 或 D． 或 7．在三棱锥 中， 平面 ， ， ， ， 分别是棱 ， ， 的中点， ， ，则直线 与平面 所成角的正弦值为（ ） A． B． C． D． 8．一座圆拱桥，当水面在如图所示位置时，拱顶离水面3 米，水面宽12 米，当水面下降1 米后，水面宽度为（ ） A． 米 B． 米 C． 米 D． 米 9．如图所示，椭圆 的离心率 ，左焦点为F，A、B、C 分别为左 顶点、上顶点和下顶点，直线 与 交于点 ，则 的值为（ ） A． B． C． D． 10．已知点 是直线： ( )上的动点，过点 作圆 ： 的 切线 ， 为切点，若 最小为时，圆 ： 与圆 外切，且与直线 相切，则 的值为（ ） A． B． C． D． 二、选择题（本题共2 小题，每小题5 分，共10 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。） 11．如图，在正方体 中，点E 是线段 上的动点，则下列判断正确的是 （ ） A．当点E 与点 重合时， B．当点E 与线段 的中点重合时， 与 异面 C．无论点E 在线段 的什么位置，都有 D．若异面直线 与 所成的角为θ，则 的最大值为 12．已知椭圆 的左右焦点分别为 、 ，长轴长为4，点 在椭圆内部，点 在椭圆上，则以下说法正确的是（ ） A．离心率的取值范围为 B．当离心率为 时， 的最大值为 C．存在点 使得 D． 的最小值为1 第Ⅱ卷（共 90分） 三、填空题：本题共4 小题,每小题5 分,共20 分. 13．已知圆 与圆 外切，则 ______． 14．已知直线与直线 在 轴上有相同的截距，且的斜率与的斜率互为倒数， 则直线的方程为______． 15．曲线 与直线 恰有个公共点，则的取值范围为_________． 16．已知椭圆 的左右焦点为 、 ，点 为椭圆上任意一点，过 作 的外角平分线的垂线，垂足为点 ，过点 作 轴的垂线，垂足为 ，线段 的中点为 ，则点 的轨迹方程为___________. 四、解答题：本题共6 小题,第17 题10 分，第18-22 题每题12 分，共70 分. 17．在 中， 边上的高所在的直线的方程为 ， 的平分线所在直线 的方程为 ，若点 的坐标为 . （1）求点 的坐标. （2）求直线 的方程. 18．已知圆 与 轴相切，圆心点 在直线 上，且直线 被圆 所截得的线 段长为 . （1）求圆 的方程； （2）若圆 与 轴正半轴相切，从 点发出的光线经过直线 反射，反射 光线刚好通过圆 的圆心，求反射光线所在直线的方程. 19．已知椭圆 ，离心率为 ，且点 在椭圆 上． （1）求椭圆 的方程； （2）若椭圆 上的任意一点 （除短轴的端点外）与短轴的两个端点 ， 的连线分别 与轴交于P , Q 两点，求证 为定值. 20．如图，某海面上有O ,A ,B 三个小岛（面积大小忽略不计），A 岛在O 岛的北偏东 方向距O 岛 千米处，B 岛在O 岛的正东方向距O 岛20 千米处.以O 为坐标原点，O 的正东方向为轴的正方向，1 千米为单位长度，建立平面直角坐标系.圆C 经过O ,A ,B 三 点. （1）求圆C 的方程； （2）若圆C 区域内有未知暗礁，现有一船D 在O 岛的南偏西30°方向距O 岛40 千米处， 正沿着北偏东 行驶，若不改变方向，试问该船有没有 触礁的危险 21．如图，在四棱锥 中，底面 为平行四边形， ， 平面 ， ． （1）证明： 平面 ； （2）若 ，PB 与平面 所成角的正弦值为 ，求二面角 的余弦值． 22．在平面直角坐标系 中，过点 且互相垂直的两条直线分别与圆 交于点 ，与圆 交于点 ． （1）若直线 斜率为2，求弦长 ； （2）若 的中点为E，求 面积的取值范围． 第Ⅰ卷（共 60分） 一、选择题（本题共10 小题，每小题5 分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项 是符合题目要求的.） 1．D 【详解】由 可得 ， 所以直线 的斜率为 ， 设直线的倾斜角为 ，则 ， 因为 ，所以 ，故选：D. 2．D 【详解】由题得圆 ，所以圆 的圆心为 ，半径为6. 设所求的圆的半径为，所以 . 所以所求的圆的方程为 .故选：D 3．B 【详解】直线 过定点 ，圆心 ，当直线 与弦垂直时，弦长最短， ，所以最短弦长为 ，故选：B． 4．B 【详解】因为椭圆 ，所以 ，设椭圆的另一个焦点为 ，则 ，而 是 的中位线，所以 ．故选：B． 5．A 【详解】若直线 与直线 垂直， 则 ，即 ，解得 或 ，故选：A. 6．D 【详解】若过 的直线与 平行，因为 ， 故直线的方程为： 即 . 若过 的直线过 的中点，因为 的中点为 ，此时 ， 故直线的方程为： 即 .故选：D. 7．B 【详解】因为 ，所以 ，因为 平面 ， 平面 ， 所以 ，以 为空间直角坐标系的原点，以 所在的直线为 轴，建立如下图所示的空间直角坐标系， ， ， ， ， 设平面 的法向量为 ， 所以有 ， 设直线 与平面 所成角为 ， 所以 ，故选：B 8．C 【详解】如图建立平面直角坐标系，则圆心在y 轴上，设圆的半径为r， 则圆的方程为 ， ∵ 拱顶离水面3 米，水面宽12 米，∴ 圆过点 , ∴ ，∴ ∴ 圆的方程为 ， 当水面下降1 米后，可设水面的端点坐标为 ，则 ， ∴ ， ∴ 当水面下降1 米后，水面宽度为 。故选：C. 9．A 【详解】 ， ， ． 由题图可知， ， ， ， ．故选：A． 10．B 【详解】圆 的圆心为 ，半径为， 当 与垂直时， 的值最小，此时点 到直线的距离为 ， 由勾股定理得 ，又 ，解得 ， 圆 的圆心为 ，半径为 ， ∵圆 与圆 外切，∴ ，∴ ， ∵圆 与直线相切，∴ ，解得 ，故选:B 二、选择题（本题共2 小题，每小题5 分，共10 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求，全部选对得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。） 11．ACD 【详解】当点E 与点 重合时， ，∵ ，∴ ∴A 正确； 当点E 与线段 的中点重合时， 是 的中点， 与 都在平面 内， 与 相交，∴B 错误. 建立如图所示的直角坐标系，设正方体棱长为1，则 ， ， . 设 ， 则 ， ，∵ ， ∴ ，∴C 正确. ∵ ，异面直线 与 ，所成的角为 ，则 .当 时， 有 最大值 ，此时点 是线段 的中点，∴D 正确. 故选：ACD 12．BD 【详解】由题意可得 ，所以 ， 由点 在椭圆内部可得： ， 可得 ，即 ，所以 ， 对A， ，所以 ，故A 错误； 对B，当 时， ， , ，故B 正确； 对C，由A 知 ，当 时，当 在短轴端点时， 最大，此时 ，此时 ， 由 ，故可得 在椭圆在最扁时的最大值都小于 ， 所以不存在点 使得 ，即C 错误； 对D， ，故D 正确； 故选：BD. 第Ⅱ卷（共 90分） 三、填空题：本题共4 小题,每小题5 分,共20 分. 13．4 【详解】因为 ， ，圆 的半径为1，圆 的半径为，所以 ， 因为两圆外切所以 ，得 ．故答案为：4 14． 【详解】由题意知，直线 在 轴上的截距为6，其斜率为 ， 所以直线在 轴上的截距为6，其斜率为 ，所以直线的方程为 ． 故答案为： 15． 【详解】由 ，可得 ，即 ， 所以，曲线 表示圆 的上半圆， 作出曲线 与直线 如下图所示： 当直线 与圆 相切于相切且切点在第二象限时， 且有 ，解得 ， 当直线 过点 时， ，此时，直线 与曲线 有两个公共点； 当直线 过点 时， . 由上图可知，曲线 与直线 恰有个公共点时， 的取值范围是 .故答案为： . 16． 【详解】 如图，延长 交 的延长线于，连接 . 因为 为 的平分线且 ， 故 为等腰三角形且 ， ， 所以 . 在 中，因为 ，所以 ， 故 的轨迹方程为： . 令 ，则 ，所以 即 ，故答案为： 四、解答题：本题共6 小题,第17 题10 分，第18-22 题每题12 分，共70 分. 17．（1） ；（2） . 【详解】 （1）联立 ，解得 ，可得 . （2）∵ 边上的高所在的直线的方程为 ， ∴ ，即 ， ∴直线 的方程为 ，整理得 . 18．（1）圆 或 ；（2） . 【详解】（1）设圆 ， 由题意得： …①， …②， …③， 由①得 ，则 ，代入③得： ； 当 时， ， ， 圆 ； 当 时， ， 圆 ； 综上所述：圆 或 . （2） 圆 与 轴正半轴相切， 圆 ， 设 关于 的对称点 ， 则 ，解得： ， ， 反射光线所在直线的斜率 ， 反射光线所在直线方程为： ，即 . 19．（1） ；（2）证明见解析． 【详解】（1）由题设， ，可得 ，故椭圆方程为 . （2）由题意，若 ， ，设椭圆上任意一点 ， ∴直线 的方程为 ；直线 的方程为 ， 令 ，得 ， ． ∴ 为定值，得证． 20．（1） （2）该船有触礁的危险 【详解】 解：（1）如图所示， 、 ， 设过 、 、 三点的圆 的方程为 ， 得： ， 解得 ， ， ， 故所以圆 的方程为 ， 圆心为 ，半径 ， （2）该船初始位置为点 ，则 ， 且该船航线所在直线的斜率为1， 故该船航行方向为直线： ， 由于圆心 到直线的距离 ， 故该船有触礁的危险. 21．（1）证明见解析；（2） . 【详解】（1）证明：因为 平面 ， 平面 ， 平面 ， 所以 ， 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ， 因为 平面 ，所以 ， 因为底面 为平行四边形，所以 ， 所以 ， 因为 ， ， 平面 ， 所以 平面 ； （2）解：由（1）可知 ， 因为 ， ，所以 ， 因为 平面 ，所以DP 为BP 在平面 上的射影，所以PB 与平面 所成角 即为 ，因为PB 与平面 所成角的正弦值为 ，所以 以D 为坐标原点，DA，DB，DP 所在的直线分别为x，y，z 轴，建立空间直角坐标系，如 图所示， 则 ， ， ， ， 所以， ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 令 ， ， ，得面 的法向量 同理可得平面 的法向量 所以 ，因为二面角 为锐二面角， 所以二面角 的余弦值为 22．（1） ；（2） . 【详解】（1）直线 斜率为2，则直线 方程为 所以点 到直线 的距离 ， （2）当直线 的斜率不存在时， 的面积 ； 当直线 的斜率存在时，设为 ，则直线 ， 当 时，直线 的方程为 ，经过圆心 ，此时 不存在，舍去； 当 时，直线 ， 由 得 ，所以 ． 因为 ，所以 ． 因为E 点到直线 的距离即M 点到直线 的距离 ， 所以 的面积 ． 令 ，则 ，所以 ， 因为 ，所以 ，所以 ， 综上可得， 面积的取值范围是 .