吉林省吉林市吉化一中2021-2022学年高一下学期4月期中考试数学试题

吉化一中2021-2022 第二学期期中高一数学试卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 1. 复数 1 1 3i  的虚部是（） A. 3 10  B. 1 10  C. 1 10 D. 3 10 2. 设a b c   ，，， 是任意向量，则下列结论一定正确的是（） A. 0 0 a   B. ( ) ( ) a b c a b c      C. | | | | | | a b a b      D. 2 2 ( ) ( ) | | | | a b a b a b        3. 已知向量     1, , ,2 a k b k     ，若a 与b 方向相同，则k 等于（） A. 1 B. 2  C. 2  D. 2 4. 已知D 为ABC  所在平面内一点，3DC CB  � ，则AD  � （） A. 1 4 3 3 AB AC   � B. 1 3 3 2  � AB AC C. 4 1 3 3 AB AC  � D. 1 3 4 4 AB AC + � 5. 某高校大一新生中,来自东部地区的学生有2400 人、中部地区学生有1600 人、西部地区学 生有1000 人.从中选取100 人作样本调研饮食习惯,为保证调研结果相对准确,下列判断正确的 有 ①用分层抽样的方法分别抽取东部地区学生48 人、中部地区学生32 人、西部地区学生20 人； ②用简单随机抽样的方法从新生中选出100 人； ③西部地区学生小刘被选中的概率为 1 50 ； ④中部地区学生小张被选中的概率为 1 5000 A. ①④ B. ①③ C. ②④ D. ②③ 6. 已知ABC  的三个内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且 2 a c  ， 2 2 sin sin sin sin A C A C   2 sin 0 B  ，则C （） A. 6  B. 4  C. 3  D. 2  7. 已知复数z＝(m2－m－6)＋(m2＋2m－8)i(i 为虚数单位),若z<6,则实数m＝（） A. 2 B. 2 或－4 C. 4 D. －2 或4 8. 为了研究某药品的疗效，选取若干名志愿者进行临床试验.所有志愿者的舒张压数据的分组区 间为      12,13 , 13,14 , 14,15 , 15,16 , 16,17 ，将其按从左到右的顺序分别编号为第一组，第 二组，……，第五组.下图是根据试验数据制成的频率分布直方图.已知第一组与第二组共有20 人， 第三组中没有疗效的有10 人，则第三组中有疗效的人数为（） A. 6 B. 8 C. 12 D. 18 二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 9. 已知向量     2,1 , 3,1 a b    ，e  是与b  同向的单位向量，则下列结论错误的是（） A.  // a b a   B. 向量a  在向量b  上的投影向量为 1 2 e   C. a 与 a b   的夹角余弦值为2 5 5 D. 若 5 2 5 , 5 5 c            ，则a c   10. 已知方程 2 2 0 x x a   ，其中 0 a  ，则在复数范围内关于该方程的根的结论错误的是（） A. 该方程一定有一对共轭虚根 B. 该方程可能有两个正实根 C. 该方程两根的 实部之和等于2  D. 若该方程有虚根，其虚根的模一定小于 1 11. 在ABC  中，角A 、B 、C 的 对边分别是a 、b 、c ．下面四个结论正确的是（） A. 2 a  ， 30 A   ，则ABC  的外接圆半径是4 B. 若cos sin a b A B  ，则 45 A   C. 若 2 2 2 a b c   ，则ABC  一定是钝角三角形 D. 若A B  ，则cos cos A B  12. 某商城一年中各月份的收入、支出（单位：万元）情况如图所示，下列说法错误的是（） A. 2 月份至3 月份的收入的变化量与11 月份至12 月份的收入的变化量相同 B. 支出最高值与支出最低值的比是3：1 C. 7 月份至9 月份的月平均支出为50 万元 D. 利润最高的月份是2 月份 三、填空题（共4 小题，每题5 分，共20 分） 13. 给定一组数5、5、4、3、3、3、2、2、2、1，则85%分位数为______． 14. 已知点A，B，C 满足| AB � |＝3，| BC � |＝4，|CA � |＝5，则AB � · BC � ＋BC � ·CA � ＋CA � · AB � 的值是________． 15. 在复平面内，若复数z 满足 1 1 i z z   ，则z 在复平面内对应点  , Z x y 满足的方程为___ ___． 16. 已知样本数据 1 a 、 2 a 、 3 a 、 4 a 、 5 a 的方差   2 2 2 2 2 2 1 2 3 4 5 1 80 5 s a a a a a       ，则样本数 据 1 2 1 a 、 2 2 1 a 、 3 2 1 a 、 4 2 1 a 、 5 2 1 a 的平均数为______． 四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本题共6 小题，共70 分） 17. 已知平面向量       3,4 , 9, , 4, 3 a b x c      ，且// a b r r ， （1）求b  ； （2）若 2 m a b   � ，n a c   ，求向量m � 与向量n  的夹角的大小． 18. 某校对100 名高一学生的某次数学测试成绩进行统计，分成  50,60 ，  60,70 ，  70,80 ，   80,90 ，  90,100 五组，得到如图所示频率分布直方图． （1）求图中a 的值； （2）估计该校高一学生这次数学成绩的众数、中位数和平均数； （3）估计该校高一学生这次数学成绩的75%分位数． 20. 设z 为复数z 的共轭复数，满足 2 3 z z   ．  1 若z 为纯虚数，求z ；  2 若 2 z z  为 实数，求z ． 21. 在锐角ABC  中，角 , , A B C 的对边分别为, , , a b c ，满足2cos cos 2cos 3sin B C A C   . （1）求B ; （2）若 2 7, b ABC   的面积为6 3 ，求a c  的值. 22. 某大学为了解学生对 , A B 两家餐厅的满意度情况，从在 , A B 两家餐厅都用过餐的学生中随 机抽取了100 人，每人分别对这两家餐厅进行满意指数打分（满意指数是指学生对餐厅满意度 情况的打分，分数设置为2 10  分) .根据打分结果按    2,4 , 4,6 , 6,8 ，  8,10 分组，得到如 图所示的频率分布直方图，其中B 餐厅满意指数在  2,4 中有30 人. （1）求B 餐厅满意指数频率分布直方图中, a b 的值； （2）利用样本估计总体的思想，估计A 餐厅满意指数和B 餐厅满意指数的平均数及方差（同一 组中的数据用该组区间中点值作代表）； 参考公式：         2 2 2 2 2 1 1 2 2 3 3 n n s x x p x x p x x p x x p           ，其中x 为 1 2 , , , n x x x  的平均数， 1 2 , , , n p p p  分别为 1 2 , , , n x x x  对应的频率. （3）如果一名新来同学打算从 , A B 两家餐厅中选择一个用餐，你建议选择哪个餐厅？说明理由. 24. 已知在ABC  中，角、、 A B C 的对边分别是a b c 、、，   2cos , cos cos m C a B b A   � ，   , 1 n c    ，且m n  � ． （1）求角C ； （2）若边长 3 c  ，求ABC  周长的取值范围． 吉化一中2021-2022 第二学期期中高一数学试卷 一、选择题（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．本题共8 小题，每小题5 分，共40 分） 【1 题答案】 【答案】D 【2 题答案】 【答案】D 【3 题答案】 【答案】D 【4 题答案】 【答案】A 【5 题答案】 【答案】B 【6 题答案】 【答案】A 【7 题答案】 【答案】A 【8 题答案】 【答案】B 二、选择题（本题共4 小题，每小题5 分，共20 分在每小题给出的选项中，有多项 符合题目要求．全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分） 【9 题答案】 【答案】AB 【10 题答案】 【答案】ABD 【11 题答案】 【答案】BC 【12 题答案】 【答案】A 三、填空题（共4 小题，每题5 分，共20 分） 【13 题答案】 【答案】5 【14 题答案】 【答案】－25 【15 题答案】 【答案】 0 x y   【16 题答案】 【答案】9 或7  四、解答题（解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．本题共6 小题，共70 分） 【17 题答案】 【答案】（1）   9,12 b  r ；（2） 3 4  ． 【18 题答案】 【答案】（1）0.01 ； （2）75，75.71,75.5； （3）84. 【19 题答案】 【答案】 1 3 z i  ； 2 13 2 . 【20 题答案】 【答案】（1） 3 B   ；（2） 10 a c   . 【21 题答案】 【答案】（1） 0.1 a  ， 0.15 b  （2）A 餐厅满意指数的 平均数和方差分别为6.4 ，3.24 ；B 餐厅满意指数的平均数和方差分别 为5.6 ，4.04 （3）答案见解析 【22 题答案】 【答案】（1） 3 = C  ；（2）  6,9 ．