吉林省吉林市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题（平行班）（试卷版）

吉林一中2021—2022 学年度下学期期中考试 高二数学（平行班）试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 已知集合 ， ，全集 ，则 （ ） A. B. C. D. 2. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 3. 已知f（x）是定义在R 上的 奇函数，若x1，x2∈R，则“x1+x2＝0”是“f（x1）+f（x2）＝0”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 若随机变量 ，且 ，则 （ ） A. 0.6 B. 0.5 C. 0.4 D. 0.3 5. 若随机变量 服从两点分布，其中 ， 分别为随机变量 的均值与方差， 则下列结论不正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，用其名字命名的“高斯函数” 为：设x∈R，用[x]表示不超过x 的最大整数，则y＝[x]称为高斯函数.例如：[－0.5]＝－1，[1.5]＝1.已知函 数 ，则函数y＝[f(x)]的值域为（ ） A. B. {－1，0，1} C. {－1，0，1，2} D. {0，1，2} 7. 2020 年初，新型冠状肺炎在欧洲爆发后，我国第一时间内向相关国家捐助医疗物资，并派出由医疗专家 组成的医疗小组奔赴相关国家．现有四个医疗小组甲、乙、丙、丁，和有4 个需要援助的国家可供选择， 每个医疗小组只去一个国家，设事件A＝“4 个医疗小组去的国家各不相同”，事件B＝“小组甲独自去一 个国家”，则P（A|B）＝（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数 ，则不等式 的解集为（ ） A. B. C. D. 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9. 甲、乙两人练习射击，命中目标的概率分别为 和 ，甲、乙两人各射击一次，下列说法正确的是（ ） A. 目标未被命中的概率为 B. 目标恰好被命中一次的概率为 C. 目标恰好被命中两次的 概率为 D. 目标被命中的概率为 10. 已知 （ ），则下列结论正确的是（ ） A. B. 当 时，n=5 C. 若 （ ）的展开式中第7 项的二项式系数最大，则n 等于12 或13 D. 当n=4 时， 11. 袋中有大小完全相同的2 个黑球和3 个白球，从中不放回地每次任取一个小球，直到取到白球后停止取 球，则下列结论正确的是（ ） A. 抽取 次后停止取球的概率为 B. 停止取球时，取出的白球个数不少于黑球的概率为 C. 取球次数 的期望为 D. 取球次数 的方差为 12. 已知函数 ，则（ ） A. 在 单调递增 B. 的值域为 C. 的图象关于直线 对称 D. 的图象关于点 对称 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 13. 函数 的单调递增区间是__________. 14. 幂函数 在 上单调递增，则m 的值为______． 15. 设 ，若 是 的最小值，则 的取值范围为______． 16. 某同学高考后参加国内3 所名牌大学 ， ， 的“强基计划”招生考试，已知该同学能通过这3 所大 学 ， ， 招生考试的概率分别为 ， ， ，该同学能否通过这3 所大学的招生考试相互独立，且 该同学恰好能通过其中2 所大学招生考试的概率为 ，则该同学至少通过1 所大学招生考试的概率为____ _______；该同学恰好通过 ， 两所大学招生考试的概率最大值为___________. 四、解答题：本大题共6 个大题，共70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17. 已知数列 为等差数列，公差 ，前n 项和为 ， ，且 ， ， 成等比数列． （1）求数列 的通项公式； （2）设 ，记数列 的前n 项和为 ，求证： ． 18. 根据党的“扶贫同扶志、扶智相结合”精准扶贫、精准脱贫政策，中国儿童少年基金会为了丰富留守儿童 的课余文化生活，培养良好的阅读习惯，在农村留守儿童聚居地区捐建“小候鸟爱心图书角”.2016 年某村在 寒假和暑假组织开展“小候鸟爱心图书角读书活动”，号召全村少年儿童积极读书，养成良好的阅读习惯， 下表是对2016 年以来近5 年该村庄100 位少年儿童的假期周人均读书时间的统计： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码 1 2 3 4 5 每周人均读书时间 （小时） 1.3 2.8 5.7 8.9 13.8 现要建立 关于 的回归方程，有两个不同回归模型可以选择，模型一 ；模型二 ， 即使画出 关于 的散点图，也无法确定哪个模型拟合效果更好，现用最小二乘法原理，已经求得模型一 的方程为 . （1）请你用最小二乘法原理，结合下面的参考数据及参考公式求出模型二的方程（计算结果保留到小数 点后一位）； （2）用计算残差平方和的方法比较哪个模型拟合效果更好，已经计算出模型一的残差平方和为 . 附：参考数据： ，其中 ， . 参考公式：对于一组数据 ， ，…， ，其回归直线 的斜率和截距的最小二 乘法估计公式分别为 ， . 19. 某中学为了解中学生的课外阅读时间，决定在该中学的1200 名男生和800 名女生中按分层抽样的方法 抽取20 名学生，对他们的课外阅读时间进行问卷调查．现在按课外阅读时间的情况将学生分成三类：A 类 （不参加课外阅读），B 类（参加课外阅读，但平均每周参加课外阅读的时间不超过3 小时），C 类（参 加课外阅读，且平均每周参加课外阅读的时间超过3 小时）．调查结果如下表： A 类 B 类 C 类 男生 x 5 3 女生 y 3 3 （1）求出表中x，y 的 值； （2）根据表中的统计数据，完成下面的列联表，并判断是否有90%的把握认为“参加阅读与否”与性别有 关； 男生 女生 总计 不参加课外阅读 参加课外阅读 总计 （3）从抽出的女生中再随机抽取3 人进一步了解情况，记X 为抽取的这3 名女生中A 类人数和C 类人数差 的绝对值，求X 的分布列与均值． 附： ， ． 附表： a 0.10 0.005 0.01 2.706 3.841 6.635 20. 已知函数 . （1）若 时，存在 ，使得不等式 成立，求 的最小值； （2）若 在 上是单调函数，求 的取值范围.（参考数据 ） 21. 设抛物线 的 焦点为 ，点 到抛物线准线的距离为 ，若椭圆 的右焦点也为 ，离心率为 . （1）求抛物线方程和椭圆方程； （2）若不经过 的直线与抛物线交于 两点，且 （ 为坐标原点），直线与椭圆交 于 两点，求 面积的最大值. 22. 吉林化工集团是是集炼油、烯烃、合成树脂橡胶、合成氨于一体的特大型综合性石油化工生产企业，其子 公司-星云化工厂即将交付客户一批产品“星云军防冻液”，每箱200 件，每一箱产品在交付用户之前要对产 品作检验，如检验出不合格品，则更换为合格品．检验时，先从这箱产品中任取20 件作检验，再根据检验 结果决定是否对余下的所有产品作检验，设每件产品为不合格品的概率都为 ，且各件产品是 否为不合格品相互独立． （1）记20 件产品中恰有2 件不合格品的概率为 ，求 的最大值点 ． （2）已知每件产品检验的成本为10 元，若有不合格品进入用户手中，则工厂需要对每件不合格品赔付 110 元，现对一箱产品检验了20 件，结果恰有2 件不合格品， （ⅰ）若余下的产品不再作检验，以（1）中 作为 的值，这一箱产品的检验费用与赔偿费 用的和记为 ，试求 ． （ⅱ）以（ⅰ）检验费用与赔偿费用和的期望值为决策依据，是否该对这箱余下的所有产品作检验？