高中物理新教材同步选择性必修第一册 主题1 微型专题 动量守恒定律的应用

微型专题 动量守恒定律的应用 [学科素养与目标要求] 物理观念：1.进一步理解动量守恒定律的含义及守恒条件.2.理解动量守恒定律的普遍性. 科学思维：熟练掌握应用动量守恒定律解决实际问题. 一、动量守恒条件的理解 1.动量守恒定律成立的条件： (1)系统不受外力或所受外力的合力为零； (2)系统的内力远大于外力； (3)系统在某一方向上不受外力或所受外力的合力为0. 此种情况说明：动量守恒定律的适用条件是普遍的，当系统所受的合外力不为零时，系统的 总动量不守恒，但是合外力在某个方向上的分量为零时，那么在该方向上系统的动量分量是 守恒的. 2.动量守恒定律的研究对象是系统.研究多个物体组成的系统时，必须合理选择系统，分清 系统的内力与外力，然后判断所选系统是否符合动量守恒的条件. 例1 (多选)质量分别为M 和m0的两滑块用轻弹簧连接，以恒定速度v 沿光滑水平面运动， 与位于正对面的质量为m 的静止滑块发生碰撞，如图1 所示，碰撞时间极短，在此过程中， 下列情况可能发生的是( ) 图1 A.M、m0、m 速度均发生变化，碰后分别为v1、v2、v3，且满足(M＋m0)v＝Mv1＋m0v2＋mv3 B.m0的速度不变，M 和m 的速度变为v1和v2，且满足Mv＝Mv1＋mv2 C.m0的速度不变，M 和m 的速度都变为v′，且满足Mv＝(M＋m)v′ D.M、m0、m 速度均发生变化，M 和m0 的速度都变为v1，m 的速度变为v2，且满足(M＋ m0)v＝(M＋m0)v1＋mv2 答案 BC 解析 M 和m 碰撞时间极短，在极短的时间内弹簧形变极小，可忽略不计，因而m0在水平 方向上没有受到外力作用，动量不变(速度不变)，可以认为碰撞过程中m0没有参与，只涉及 M 和m，由于水平面光滑，弹簧形变极小，所以M 和m 组成的系统水平方向动量守恒，两 者碰撞后可能具有共同速度，也可能分开，所以只有B、C 正确. 例2 如图2 所示，从倾角为30°、长0.3 m 的光滑斜面顶端滑下质量为2 kg 的货包，掉在 质量为13 kg 的静止的小车里.若小车与水平面之间的动摩擦因数μ＝0.02，小车能前进多远？ (g 取10 m/s2，不计空气阻力) 图2 答案 0.1 m 解析 货包离开斜面时速度为v＝＝＝ m/s. 货包离开斜面后，由于水平方向不受外力，所以，在其落入小车前，其水平分速度vx不变， 其大小为vx＝vcos 30°＝1.5 m/s.货包落入小车中与小车相碰的瞬间，虽然小车在水平方向受 到摩擦力的作用，但与相碰时的内力相比可忽略，故系统在水平方向上动量守恒，以vx的 方向为正方向，则mvx＝(M＋m)v′， 小车获得的速度为v′＝＝ m/s＝0.2 m/s 由动能定理有μ(M＋m)gs2＝(M＋m)v′2 得小车前进的距离为s2＝＝＝0.1 m. 例2 中货包和小车组成的系统不满足动量守恒的条件，但系统在水平方向不受外力的作用， 则系统在水平方向动量守恒. 二、多物体、多过程动量守恒定律的应用 多个物体相互作用时，物理过程往往比较复杂，分析此类问题时应注意： (1)正确进行研究对象的选取：有时对整体应用动量守恒定律，有时对部分物体应用动量守恒 定律.研究对象的选取，一是取决于系统是否满足动量守恒的条件，二是根据所研究问题的需 要. (2)正确进行过程的选取和分析：通常对全程进行分段分析，并找出联系各阶段的状态量.根 据所研究问题的需要，列式时有时需分过程多次应用动量守恒，有时只需针对初、末状态建 立动量守恒的关系式. 例3 如图3 所示，光滑水平轨道上放置长木板A(上表面粗糙)和滑块C，滑块B 置于A 的 左端，三者质量分别为mA＝2 kg、mB＝1 kg、mC＝2 kg.开始时C 静止，A、B 一起以v0＝5 m/s 的速度匀速向右运动，A 与C 发生碰撞(时间极短)后C 向右运动，经过一段时间，A、B 再次达到共同速度一起向右运动，且恰好不再与C 碰撞.求A 与C 发生碰撞后瞬间A 的速度 大小. 图3 答案 2 m/s 解析 长木板A 与滑块C 处于光滑水平轨道上，两者碰撞时间极短，碰撞过程中滑块B 与 长木板A 间的摩擦力可以忽略不计，长木板A 与滑块C 组成的系统，在碰撞过程中动量守 恒，取水平向右为正方向 则mAv0＝mAvA＋mCvC① A、C 碰撞后，长木板A 与滑块B 组成的系统所受合外力为零，系统动量守恒，mAvA＋mBv0 ＝(mA＋mB)v② 长木板A 和滑块B 达到共同速度后，恰好不再与滑块C 碰撞，即最后三者速度相等，vC＝ v③ 联立①②③式，代入数据解得：vA＝2 m/s 处理多物体、多过程动量守恒的问题应注意： (1)正方向的选取. (2)研究对象的选取，明确取哪几个物体为系统作为研究对象. (3)研究过程的选取，明确哪个过程中动量守恒. 三、动量守恒定律应用中的临界问题分析 分析临界问题的关键是寻找临界状态，在动量守恒定律的应用中，常常出现相互作用的两物 体相距最近、避免相碰和物体开始反向运动等临界状态，其临界条件常常表现为两物体的相 对速度关系与相对位移关系，这些特定关系的判断是求解这类问题的关键. 例4 如图4 所示，一质量为的人站在质量为m 的小船甲上，以速率v0在水面上向右运动. 另一个完全相同的小船乙以速率v0从右方向左方驶来，两船在一条直线上运动.为避免两船 相撞，人从甲船以一定的速率水平向右跃到乙船上，不计水对船的阻力，问：为能避免两船 相撞，人水平跳出时相对于地面的速率至少多大？ 图4 答案 v0 解析 设向右为正方向，两船恰好不相撞，最后具有共同速度v1，对两船和人组成的系统， 由动量守恒定律，有(＋m)·v0－mv0＝(2m＋)v1 解得v1＝v0. 设人跃出甲船的速率为v2，对甲船和人组成的系统，人从甲船跃出的过程满足动量守恒定 律，有(＋m)v0＝mv1＋v2 解得v2＝v0. 1.(某一方向上的动量守恒)(2018·张家口一中月考)如图5 所示，在光滑水平面上放一个质量 为M 的斜面体，质量为m 的物体沿斜面由静止开始自由下滑，下列说法中正确的是( ) 图5 A.M 和m 组成的系统动量守恒 B.M 和m 组成的系统所受合力方向向上 C.M 和m 组成的系统水平方向动量守恒 D.M 和m 组成的系统竖直方向动量守恒 答案 C 解析 M 和m 组成的系统在水平方向上所受合外力为零，水平方向系统动量守恒；竖直方 向系统所受合外力不为零，且方向向下，系统在竖直方向上动量不守恒，则M 和m 组成的 系统动量不守恒.故A、B、D 错误，C 正确. 2.(多物体动量守恒)如图6 所示，在一光滑的水平面上，有质量相同的三个小球A、B、C， 其中B、C 静止，中间连有一轻弹簧，弹簧处于自然伸长状态，现小球A 以速度v 与小球B 正碰并粘在一起，碰撞时间极短，则碰后瞬间( ) 图6 A.A、B 的速度变为，C 的速度仍为0B.A、B、C 的速度均为 C.A、B 的速度变为，C 的速度仍为0D.A、B、C 的速度均为 答案 C 解析 A、B 碰撞过程时间极短，弹簧没有发生形变，A、B 系统所受合外力为零，以向右为 正方向，由动量守恒定律得：mv＝2mv′，解得：v′＝，A、B 碰撞过程，C 所受合外力为零， C 的动量不变，速度仍为0. 3.(多过程中的动量守恒)如图7 所示，甲车的质量是2 kg，静止在光滑水平面上，上表面光 滑，右端放一个质量为1 kg 的小物体，乙车质量为4 kg，以5 m/s 的速度向左运动，与甲车 碰撞以后甲车获得8 m/s 的速度，物体滑到乙车上，若乙车足够长，上表面与物体间的动摩 擦因数为0.2，求： 图7 (1)两车碰撞后瞬间乙车的速度大小； (2)物体在乙车上表面滑行多长时间相对乙车静止？(g 取10 m/s2) 答案 (1)1 m/s (2)0.4 s 解析 (1)乙与甲组成的系统在碰撞过程中动量守恒，以向左为正方向 则有：m 乙v 乙＝m 乙v 乙′＋m 甲v 甲′ 解得v 乙′＝1 m/s (2)以向左为正方向，对小物体滑上乙车至小物体与乙车有共同速度v 的过程，对小物体与 乙车组成的系统，运用动量守恒定律得 m 乙v 乙′＝(m＋m 乙)v，得v＝0.8 m/s 对小物体应用牛顿第二定律得a＝μg＝2 m/s2 t＝，代入数据得t＝0.4 s 4.(动量守恒的临界问题)如图8 所示，一轻质弹簧两端连着物体A 和B，放在光滑的水平面 上，物体A 被水平速度为v0的子弹射中并且子弹嵌在其中.已知物体A 的质量mA是物体B 的 质量mB的，子弹的质量m 是物体B 的质量的，求： 图8 (1)子弹击中A 后瞬间A 与B 的速度大小； (2)弹簧压缩到最短时B 的速度大小. 答案 (1) 0 (2) 解析 (1)子弹射入A 的过程，子弹与A 组成的系统动量守恒，B 的速度vB＝0 保持不变.对 于子弹和A 组成的系统，以v0的方向为正方向，由动量守恒定律得mv0＝(m＋mA)vA，又m ＝mB，mA＝mB，联立解得vA＝； (2)子弹、A、B 组成的系统，从子弹开始射入物体A 一直到弹簧被压缩到最短的过程中，系 统所受外力(重力、支持力)的合力始终为零，故整个过程系统的动量守恒，设系统的共同速 度为v，由动量守恒定律得mv0＝(m＋mA＋mB)v，又m＝mB，mA＝mB，故v＝，即弹簧压缩 到最短时B 的速度为. 一、选择题 1.质量M＝100 kg 的小船静止在水面上，船首站着质量m 甲＝40 kg 的游泳者甲，船尾站着质 量m 乙＝60 kg 的游泳者乙，船首指向左方，若甲、乙两游泳者在同一水平线上，甲朝左、 乙朝右均以3 m/s 的速率同时跃入水中，则( ) A.小船向左运动，速率为1 m/s B.小船向左运动，速率为0.6 m/s C.小船向右运动，速率大于1 m/s D.小船仍静止 答案 B 解析 设水平向右为正方向，两游泳者同时跳离小船后小船的速度为v，根据甲、乙两游泳 者和小船组成的系统动量守恒有－m 甲v 甲＋m 乙v 乙＋Mv＝0，代入数据可得v＝－0.6 m/s， 其中负号表示小船向左运动，所以选项B 正确. 2.(2018·晋江市季延中学高二期末)如图1 所示，一块质量为0.5 kg 的橡皮泥自距小车上表面 1.25 m 高处由静止下落，恰好落入质量为2 kg、速度为2.5 m/s 沿光滑水平地面运动的小车 上，并与小车一起沿水平地面运动，取g＝10 m/s2，不计空气阻力，下列说法正确的是( ) 图1 A.橡皮泥下落的时间为0.3 s B.橡皮泥与小车一起在水平地面上运动的速度大小为3.5 m/s C.橡皮泥落入小车的过程中，橡皮泥与小车组成的系统动量守恒 D.整个过程中，橡皮泥与小车组成的系统损失的机械能为7.5 J 答案 D 解析 橡皮泥做自由落体运动，t＝＝0.5 s，A 错.橡皮泥落到小车上，二者相互作用的过程， 在水平方向动量守恒，Mv0＝(M＋m)v，解得v＝2 m/s，B、C 错.系统损失的机械能为ΔE＝ Mv0 2＋mgh－(M＋m)v2＝7.5 J，D 正确. 3.(2018·扬州中学高二月考)如图2 所示，质量为m 的人立于平板车上，车的质量为M，人与 车以大小为v1的速度在光滑水平面上向东运动.当此人相对于车以大小为v2的速度竖直跳起 时，车向东的速度大小为( ) 图2 A. B. C. D.v1 答案 D 解析 人与车组成的系统在水平方向上动量守恒，人向上跳起后，水平方向上的速度没变， (m＋M)v1＝mv1＋Mv 车，因此v 车＝v1，所以D 正确. 4.两名质量相等的滑冰人甲和乙都静止在光滑的水平冰面上.现在，其中一人向另一个人抛 出一个篮球，另一人接球后再抛回.如此反复进行几次之后，甲和乙最后的速率关系是( ) A.若甲最先抛球，则一定是v 甲＞v 乙 B.若乙最后接球，则一定是v 甲＞v 乙 C.只有甲先抛球，乙最后接球，才有v 甲＞v 乙 D.无论怎样抛球和接球，都是v 甲＞v 乙 答案 B 解析 因系统动量守恒，故最终甲、乙动量大小必相等，因此最终接球的人的速度小，B 正 确. 5.如图3 所示，质量为m2的小车上有一半圆形的光滑槽，一质量为m1的小球置于槽内，共 同以速度v0沿水平面运动，并与一个原来静止的小车m3对接，则对接后瞬间，小车的速度 大小为( ) 图3 A. B. C. D.以上答案均不对 答案 C 解析 对接过程，两小车组成的系统动量守恒，以小车m2的初速度方向为正方向，由动量 守恒定律得：m2v0＝(m2＋m3)v，解得：v＝. 6.如图4 所示，质量为0.5 kg 的小球在距离车底面高20 m 处以一定的初速度向左平抛，落在 以速度7.5 m/s 沿光滑水平面向右匀速行驶的敞篷小车中，车上有一层油泥，车与油泥的总 质量为4 kg，设小球在落到车上前瞬时速度是25 m/s，g 取10 m/s2，则当小球与小车相对静 止时，小车的速度是( ) 图4 A. m/s B.5 m/s C.4 m/s D. m/s 答案 B 解析 小球抛出后做平抛运动，根据动能定理得：mgh＝mv2－mv0 2，解得v0＝15 m/s，小球 和车作用过程中，水平方向动量守恒，以水平向右为正方向，则有：－mv0＋Mv 车＝(M＋ m)v′，解得v′＝5 m/s. 7.质量相等的五个物块在一光滑水平面上排成一条直线，且彼此隔开一定的距离，具有初速 度v0的第5 号物块向左运动，依次与其余四个静止物块发生碰撞，如图5 所示，最后这五个 物块粘成一个整体，则它们最后的速度为( ) 图5 A.v0 B. C. D. 答案 B 解析 由五个物块组成的系统，沿水平方向不受外力作用，故系统在水平方向上动量守恒， 由动量守恒定律得：mv0＝5mv，得v＝v0，即它们最后的速度为v0. 8.(多选)如图6 所示，将一光滑的半圆槽置于光滑水平面上，槽的左侧有一固定在水平面上 的物块.今让一小球自左侧槽口A 的正上方从静止开始落下，与圆弧槽相切自A 点进入槽内， 则以下结论中正确的是( ) 图6 A.半圆槽内由A 向B 的过程中小球的机械能守恒，由B 向C 的过程中小球的机械能也守恒 B.小球在半圆槽内运动的全过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒 C.小球自半圆槽的最低点B 向C 点运动的过程中，小球与半圆槽在水平方向动量守恒 D.小球离开C 点以后，将做斜抛运动 答案 CD 解析 小球在半圆槽内由A 向B 运动时，由于槽的左侧有一固定在水平面上的物块，槽不 会向左运动，则小球机械能守恒，从A 到B 做圆周运动，系统在水平方向上动量不守恒； 从B 到C 运动的过程中，槽向右运动，系统在水平方向上动量守恒，则B 到C 小球的机械 能不守恒，故A、B 错误，C 正确；小球离开C 点以后，既有竖直向上的分速度，又有水平 分速度，小球做斜抛运动，故D 正确. 9.(多选)如图7 所示，三辆完全相同的平板小车a、b、c 成一直线排列，静止在光滑水平面 上.c 车上有一小孩跳到b 车上，接着又立即从b 车跳到a 车上.小孩跳离c 车和b 车时对地的 水平速度相同.他跳到a 车上相对a 车保持静止，此后( ) 图7 A.a、b 两车运动速率相等 B.a、c 两车运动速率相等 C.三辆车的速率关系vc＞va＞vb D.a、c 两车运动方向相反 答案 CD 解析 若人跳离b、c 车时相对地面的水平速度为v，以水平向右为正方向，由动量守恒定 律知：人和c 车组成的系统：0＝－M 车vc＋m 人v 对人和b 车：m 人v＝M 车vb＋m 人v 对人和a 车：m 人v＝(M 车＋m 人)va 所以：vc＝，vb＝0，va＝ 即vc＞va＞vb，并且vc与va方向相反. 二、非选择题 10.(2018·福建安溪一中、养正中学、惠安一中、泉州实验中学高二下期末联考)如图8 所示， 木块A 的质量为mA＝1 kg，足够长的木板B 的质量为mB＝4 kg，质量为mC＝4 kg 的木块C 置于木板B 上，水平面光滑，B、C 之间有摩擦.现使A 以v0＝12 m/s 的初速度向右运动，与 B 碰撞后将以4 m/s 的速度弹回，C 始终未脱离B.求： 图8 (1)B 运动过程中的最大速度大小； (2)C 运动过程中的最大速度大小； (3)整个过程中系统损失的机械能. 答案 (1)4 m/s (2)2 m/s (3)48 J 解析 (1)A 与B 碰后瞬间，B 速度最大，A、B 系统动量守恒，取向右为正方向，由动量守 恒定律得mAv0＋0＝－mAvA＋mBvB，代入数据得：vB＝4 m/s； (2)B 与C 共速后，C 速度最大，B、C 系统动量守恒，以B 的速度方向为正方向，由动量守 恒定律得：mBvB＋0＝(mB＋mC)vC，代入数据得：vC＝2 m/s (3)由能量守恒定律得：ΔE 损＝mAv0 2－mAvA 2－(mB＋mC)vC 2，解得ΔE 损＝48 J. 11.如图9 所示，甲、乙两小孩各乘一辆冰车在水平冰面上游戏.甲和他的冰车总质量为M＝ 30 kg，乙和他的冰车总质量也为30 kg.游戏时，甲推着一个质量为m＝15 kg 的箱子和他一 起以v0＝2 m/s 的速度滑行，乙以同样大小的速度迎面滑来.为了避免相撞，甲突然将箱子沿 冰面推给乙，箱子滑到乙处，乙迅速抓住.不计冰面摩擦. 图9 (1)若甲将箱子以速度v 推出，甲的速度变为多少？(用字母表示) (2)设乙抓住迎面滑来的速度为v 的箱子后反向运动，乙抓住箱子后的速度变为多少？(用字 母表示) (3)若甲、乙最后不相撞，甲、乙的速度应满足什么条件？箱子被推出的速度至少多大？ 答案 见解析 解析 (1)甲将箱子推出的过程，甲和箱子组成的系统动量守恒，以v0的方向为正方向，由 动量守恒定律得：(M＋m)v0＝mv＋Mv1 解得v1＝. (2)箱子和乙作用的过程，箱子和乙组成的系统动量守恒，以箱子的速度方向为正方向，由 动量守恒定律得：mv－Mv0＝(m＋M)v2 解得v2＝. (3)甲、乙不相撞的条件是v1≤v2 其中v1＝v2为甲、乙恰好不相撞的条件. 即≤， 代入数据得v≥5.2 m/s. 所以箱子被推出的速度至少为5.2 m/s 时，甲、乙才能不相撞.