2022-2023学年广东省深圳实验学校高中部高一上学期上月第一阶段考数学试题Word版含解析试卷

深圳实验学校高中部2022-2023 学年度第一学期第一阶段考试 高一数学 时间：120 分钟 满分：150 分 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据补集、交集的定义计算可得. 【详解】解：因为 ，所以 ，又 ， 所以 . 故选：B 2. 设命题 ： ， ，则以下描述正确的是（ ） A. 为假命题， 是“ ， ” B. 为假命题， 是 “ ， ” C. 为真命题， 是“ ， ” D. 为真命题， 是“ ， ” 【答案】B 【解析】 【分析】通过取特殊值 ，使得 是有理数，所以 为假命题 【详解】当 时， ，与 ， 矛盾，所以 ， ， 所以 为假命题 而 是 ， 故选：B 3. 已知 ，则函数 的解析式是（ ） A. B. （ 且 ） C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据换元法求解析式即可. 【详解】解：由题知 且 ，令 ，则 （ 且 ）， ∴ （ 且 ）， ∴ （ 且 ）． 故选：B． 4. 若实数 满足 ，则 的最小值为 A. B. 2 C. D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】 ，（当且仅当 时取等号），所以 的最小值为 ，故选C. 考点：基本不等式 【名师点睛】基本不等式具有将“和式”转化为“积式”和将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此 可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值或取值范围．如果条件等式中，同时含有两个 变量的和与积的形式，就可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行 求解． 5. 函数 在区间 上的最大值是5，最小值是1，则m 的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用配方法可得 ,则 , ,根据二次函数的对称性即可判断 的 范围 【详解】由题, , 因为 , ,且对称轴为 , 所以 , 因为 在区间 上的最大值是5,最小值是1, 所以 故选：B 【点睛】本题考查已知二次函数最值求参数问题,属于基础题 6. 若关于 的方程 在 内有解，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分离参数为 ，转化为求函数的值域． 【详解】由题意 在 内有解， ， 时， ， 时， ，所以 ． 故选：A． 7. 若两个正实数 满足 ，若至少存在一组 使得 成立，则实数 的取值 范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意得，即求 ，利用基本不等式，可解得 ，进而得到 ，进而可求解. 【详解】至少存在一组 使得 成立，即 ， 又由两个正实数 满足 ，可得 ， 当且仅当 ，即 时，等号成立， ， 故有 ，解得 ，故 ，所以实数 的取值范围是 故选：C. 8. 关于 的不等式 的解集中恰有个整数，则实数 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】分类讨论一元二次不等式的解，根据解集中只有一个整数，即可求解. 【详解】由 得 ， 若 ，则不等式无解． 若 ，则不等式的解为 ，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为 ， 则 ． 若 ，则不等式的解为 ，此时要使不等式的解集中恰有个整数解，则此时个整数解为 ，则 ． 综上，满足条件的 的取值范围是 故选：C． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目 要求.全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分. 9. 若a，b， ，则下列命题正确的是（ ） A. 若 且 ，则 B. 若 ，则 C. 若 且 ，则 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由不等式的性质逐一判断即可. 【详解】解：对于A，当 时，结论不成立，故A 错误； 对于B， 等价于 ，又 ，故成立，故B 正确； 对于C，因为 且 ，所以 等价于 ，即 ，成立，故C 正确； 对于D， 等价于 ，成立，故D 正确. 故选：BCD. 10. 下面命题正确的是（ ） A. “ ”是“ ”的必要不充分条件 B. “ ”是“一元二次方程 有一正一负根”的充要条件 C. 设 ，则“ ”是“ 且 ”的充分不必要条件 D. “ ”是“ ”的必要不充分条件 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据必要不充分条件的定义，即可判断A 选项；根据一元二次方程中根的个数和根与系数的关系， 即可判断B 选项；由“ ”，则不一定有“ 且 ”，即可判断C 选项；若 ， 则 或 ，结合必要不充分条件的定义，即可判断D 选项. 【详解】解：对于A，根据必要不充分条件的定义，可知A 正确； 对于B，若 ，则 ， 所以一元二次方程 有两个根，且一正一负根， 若一元二次方程 有一正一负根，则 ，则 ，故B 正确； 对于C，若“ ”，则不一定有“ 且 ”， 而若“ 且 ”，则一定有“ ”， 所以“ ”是“ 且 ”的必要不充分条件，故C 不正确； 对于D，若 ，则 或 ， 则若“ ”，则不一定有“ ”，而“ ”时，一定有“ ”， 所以“ ”是“ ”的必要不充分条件，故D 正确. 故选：ABD. 11. 下面结论正确的是（ ） A. 若 ，则 的最大值是 B. 函数 的最小值是2 C. 函数 （ ）的值域是 D. ， 且 ，则 的最小值是3 【答案】ACD 【解析】 【分析】利用基本不等式求最值判断ABD，结合二次函数的性质判断C． 【详解】 时， ． ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 的最小值是2，即 的最小值是1， 从而 的最大值是 ，A 正确； ，当且仅当 时等号成立，但 无实数解，因此 等号不能取得，2 不是最小值，B 错； 时， ， ， 因为 ，所以 时， ， 时， ， 时， ． 所以值域是 ，C 正确； ， 且 ， ， ， 则 ，当且仅当 ， 即 时等号成立，所以 的最小值是4－1＝3，D 正确． 故选：ACD． 12. 已知 ， ，且 ，则（ ） A. 的取值范围是 B. 的取值范围是 C. 的最小值是3 D. 的最小值是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据基本不等式可求得 ，判断A;将 变形为 结合基本不等式，判断B；由 整理得到 结合 基本不等式可判断C,D. 【详解】对于A，因为 ， ，所以 ，当且仅当 时取等号， 即 ，解得 ，即 ，A 错误； 对于B, 由 ， , ，当且仅当 时取等号， 得 ，所以 , 又 ，所以 ，B 正确； 对于C, 由 ， ， ，得 ， 则 ， 当且仅当 ，即 时等号成立,但 ， 所以 ．（等号取不到）,故C 错误； 对于D，由C 的分析知： ， , , ， 当且仅当 ，即 时等号成立，D 正确， 故选：BD 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 已知集合A＝ ，B＝ ，且9 ( ∈A∩B)，则a 的值为________． 【答案】5 或－3 【解析】 【分析】 根据元素与集合关系列方程，再代入验证，即得结果. 【详解】因为9 ( ∈A∩B)，所以9∈A，即2a－1＝9 或a2＝9， 解得a＝5 或a＝±3. 当a＝5 时，A＝ ，B＝ ，A∩B＝ ，9 ( ∈A∩B)，符合题意； 当a＝3 时，A＝ ，a－5＝1－a＝－2，B 中有元素重复，不符合题意，舍去； 当a＝－3 时，A＝ ，B＝ ，A∩B＝ ，9 ( ∈A∩B)，符合题意， 综上所述，a＝5 或a＝－3. 故答案为：5 或－3 【点睛】本题考查根据元素与集合关系求参数，考查基本分析求解能力，属基础题. 14. 若函数 的定义域为 ，则 的值为_________． 【答案】 【解析】 【分析】由定义域得一元二次不等式的解，从而由二次不等式的性质可得参数值． 【详解】由题意 的解是 ， 所以 ，解得 ， ，所以 ． 故答案为： ． 15. 若关于x 的二次方程 的两个根分别为 ，且满足 ，则m 的值 为______ 【答案】 【解析】 【分析】先求出方程有两根时 的范围，再由根与系数关系将 用 表示，建立关于 的方程，求解 即可. 【详解】关于x 的二次方程 有两个根， 则 ， ， 又 ，即 ， 解得 或 （舍去）， 的值为 . 【点睛】本题考查一元二次方程根与系数关系的应用，要注意两根存在的条件，属于基础题. 16. 已知函数 ，若 且 ，则的 取值范围是 _____． 【答案】 【解析】 【分析】确定函数的单调性，由已知得出 的范围，及 的关系，把 表示为 的函数，然后由二 次函数性质得结论． 【详解】 时， 是增函数，且 ， 时， 是增函数，且 ，如图， 且 ，则 ， ， 由 得 （负值舍去），因此 ， ， ， ， ， 所以 时， 取得最大值 ， 时， 取得最小值 ， 所以 的取值范围是 ． 故答案为： ． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 17. 设集合 ，集合 ． （1）当 时，求 ； （2）若 ，求实数 的取值范围． 【答案】（1） ； （2） . 【解析】 【分析】（1）由根式、分式性质求定义域得集合A，根据已知及集合并运算求 即可； （2）求 ，根据交集结果，讨论 、 求参数m 的范围. 【小问1 详解】 对于集合A： ，得 ，故 ； 当 时 ， 所以 . 【小问2 详解】 由 或 ，而 ， 当 时， ，即 满足题设； 当 时， ，可得 ； 综上， . 18. 已知命题 “ ， ”，命题 “ ， ”． （1）若命题 是真命题，求实数 的取值范围； （2）若命题 和 中有且仅有一个是假命题，求实数 的取值范围． 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）根据命题 是真命题，参变分离，构造函数求最值，得实数 的取值范围； （2）根据命题 和 中有且仅有一个是假命题，分别求解命题 和 是真命题和 假命题时实数 的取值范围，按要求即可得实数 的取值范围． 【小问1 详解】 解：当命题 是真命题，则不等式 对满足 的一切 恒成立． 由 ，得 ． 设 ，则 在 上单调递增，在 上单调递减， ， ． 因此，实数 的取值范围是 ． 【小问2 详解】 解： 当命题 是真命题时，实数 的取值范围是 ，（1） 当命题 是假命题时，实数 的取值范围是 ．…………………（2） 当命题是 假命题时，则命题“ ， ”是真命题． 由 ，得 ， ，且当 时取等号， 的最小值是 ． 当命题 是假命题时，实数 的取值范围是 ．…………………（3） 当命题 是真命题时，实数 的取值范围是 ．…………………（4） 当命题 是真命题且 是假命题时，由（1）、（3），得实数 的取值范围是 ； 当命题 是假命题且 是真命题时，由（2）、（4），得实数 的取值范围是 ； 综上，实数 的取值范围是 或 ． 19. （1）已知 、 、 、 是实数，求证： （2）已知 ， ， ，且 ，求证： 【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析 【解析】 【分析】对不等式进行化简，利用完全平方公式、基本不等式证明即可； 【详解】证明：（1） ， 当且仅当 时，取等号， 对任意实数 ， ， ， ， 成立． （2） 20. 设函数 ． （1）若不等式 对于实数 时恒成立，求实数 的取值范围； （2）若 ，解关于的 不等式 ． 【答案】（1） （2）答案见解析 【解析】 【分析】（1）把不等式 整理为关于 的不等式，然后利用其在 时恒成立可得关于 的 不等关系从而得结论； （2）不等式化简为 ，然后分类讨论求解． 【小问1 详解】 不等式 对于实数 时恒成立， 即 ， ， 显然 ，函数 在 上递增，从而得 ，即 ，解得 ， 所以实数 的取值范围是 ； 【小问2 详解】 不等式 ，即 ，当 时， ， 当 时，不等式可化为 ，而 ，解得 ， 当 时，不等式可化为 ， 当 ，即 时， ， ， 当 ，即 时， 或 ， 当 ，即 时， 或 ， 所以，当 时，原不等式的解集为 ， 当 时，原不等式的解集为 ， 当 时，原不等式的解集为 ， 当 时，原不等式的解集为. 21. 某食品公司拟在下一年度开展系列促销活动，已知其产品年销量x 万件与年促销费用t 万元之间满足 与 成反比例，当年促销费用 万元时，年销量是1 万件．已知每一年产品的设备折旧、维修 等固定费用为3 万元，每生产1 万件产品需再投入32 万元的生产费用，若将每件产品售价定为：其生产成 本的 与“平均每件促销费的一半”之和，则当年生产的商品正好能销完． （1）求x 关于t 的函数； （2）将下一年的利润y（万元）表示为促销费t（万元）的函数； （3）该食品公司下一年的促销费投入多少万元时，年利润最大？ （注：利润=销售收入-生产成本-促销费，生产成本=固定费用+生产费用） 【答案】（1） （2） （3）当促销费投入7 万元时，企业年利润最大 【解析】 【分析】（1）利用待定系数法求解即可. （2）利用销售收入减去成本即得利润. （3）利用基本不等式处理该最值问题. 【小问1 详解】 由题意： 与 成反比例， 所以设 ， 将t＝0，x＝1 代入，得k＝2， 所以 . 【小问2 详解】 当年生产x(万件)时，年生产成本为： ， 当销售x(万件)时，年销售收入为： ， 由题意，生产x 万件产品正好销完，且年利润＝年销售收入－年生产成本－促销费， 所以 即： . 【小问3 详解】 由（2）有： 因为 ，所以 ，当且仅当 ， 即 时，等号成立.所以， ，即 . 所以当促销费投入7 万元时，企业年利润最大． 22. 对任意实数a，b，定义函数 ，已知函数 ， ，记 ． （1）若对于任意实数x，不等式 恒成立，求实数m 的取值范围； （2）若 ，且 ，求使得等式 成立的x 的取值范围； （3）在（2）的条件下，求 在区间 上的最小值． 【答案】（1） ， （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据条件可得 对任意的 恒成立，利用根的判别式即可求出 取值范围； （2） 整理为 ，表示出 ，分类讨论即可； （3）由（2）得到 ， ， ，分类讨论求出 取值范围进而得 最 小值. 【小问1 详解】 解：由题意可得， （2） 恒成立， 即 对任意的 恒成立， 所以 ，解得 ， ； 【小问2 详解】 解：因为 ，所以 ， 因为 ， ， 所以 ， 时， ； ①当 时， ，所以 ， 又因为 ，所以 ； ②当 时， ，所以 ， 因为 ， ，所以 ， ，所以上式不成立； 综上可知， 的取值范围是 ； 【小问3 详解】 由（2）知， 且 ， 即 ， 所以当 时， ，所以 （1） ， 当 时， ， ①当 时，又 ，即 时， ； ②当 时，即 时， （6） ； 综上， ， ， ， 由 ，解得 时， ； 由 ，解得 时， ； 当 ，即 时， （6） ； 综上 ． 【点睛】本题考查利用二次函数根的判别式求参数取值范围，考查新定义函数的最值，分类思想，属于难 题．