专题1.2 绝对值与相反数【九大题型】（解析版）

专题12 绝对值与相反数【九大题型】 【人版】 【题型1 相反数的概念及表示】.............................................................................................................................1 【题型2 相反数的性质运用】.................................................................................................................................3 【题型3 绝对值的定义】.........................................................................................................................................4 【题型4 由绝对值的性质化简】.............................................................................................................................5 【题型5 绝对值的非负性】.....................................................................................................................................6 【题型6 绝对值的几何意义】.................................................................................................................................7 【题型7 利用法则比较有理数大小】.....................................................................................................................9 【题型8 利用特殊值法比较有理数大小】...........................................................................................................11 【题型9 利用数轴比较有理数大小】................................................................................................................... 13 【知识点1 相反数的概念及表示方法】 相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 相反数的表示方法：一般地，和-互为相反数，这里的表示任意一个数可以是正数、负数也 可以是零，特别地，一个数的相反数等于它本身这个数是零 【题型1 相反数的概念及表示】 【例1】（2021 秋•安阳县月考）下列各对数中，互为相反数的有（ ） +（+1）与﹣1，（﹣1）与+（﹣1），﹣（﹣2）与+（﹣2），﹣（−1 3 ）与+（+1 3 ）， +[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]，﹣（+2）与﹣（﹣2）． ．6 对 B．5 对 ．4 对 D．3 对 【分析】分别化简每组中的两个数，再根据互为相反数的定义进行判断即可． 【解答】解：+（+1）＝1，1 与﹣1 是互为相反数，因此+（+1）与﹣1 是互为相反数； （﹣1）＝﹣1，+（﹣1）＝﹣1，因此（﹣1）与+（﹣1）不是互为相反数； ﹣（﹣2）＝2，而+（﹣2）＝﹣2，2 与﹣2 是互为相反数，因此﹣（﹣2）与+（﹣2） 是互为相反数； ﹣（−1 3 ）¿ 1 3，而+（+1 3 ）¿ 1 3，因此﹣（−1 3 ）与+（+1 3 ）不是互为相反数； +[﹣（+1）]＝﹣1，而﹣[+（﹣1）]＝1，因此+[﹣（+1）]与﹣[+（﹣1）]是互为相反数； ﹣（+2）＝﹣2 而﹣（﹣2）＝2．因此﹣（+2）与﹣（﹣2）是互为相反数； 1 综上所述，表示互为相反数的有4 组， 故选：． 【变式1-1】（2021 秋•义马市期中）下列各组数中：①﹣05 与15；②3 4 与−4 3 ；③与﹣ （﹣）；④﹣2b 与﹣+2b；互为相反数的有（ ） ．1 组 B．2 组 ．3 组 D．4 组 【分析】直接根据相反数的定义：只有符号不同的两个数叫做互为相反数判断即可． 【解答】解：①﹣05 与15 不是相反数； ②3 4 与−4 3 互为倒数，不是互为相反数； ③＝﹣（﹣）不是互为相反数； ④ 2 ﹣b 与﹣+2b 为相反数； 故选：． 【变式1-2】（2021 秋•武冈市期中）﹣+b+的相反数是（ ） ．+b+ B．﹣﹣b﹣ ．﹣+b+ D．﹣b﹣ 【分析】相反数的概念：只有符号不同的两个数叫做互为相反数． 【解答】解：﹣+b+的相反数是﹣（﹣+b+）＝﹣b﹣． 故选：D． 【变式1-3】（2021 秋•安阳县月考）若﹣{ [ ﹣﹣（﹣x）]}＝﹣4，则x 的相反数是 ． 【分析】直接利用去括号法则以及结合相反数的定义分析得出答． 【解答】解：∵﹣{ [ ﹣﹣（﹣x）]}＝﹣4， [ ∴﹣（﹣x）]＝﹣4， ∴x＝﹣4， 则x 的相反数是：4． 故答为：4． 【知识点2 相反数的性质】 若与b 互为相反数，那么+b=0 【题型2 相反数的性质运用】 【例2】（2021 秋•宁远县期末）若与b 互为相反数，则代数式2021+2021b 5 ﹣＝ ﹣ 5 ． 【分析】根据相反数的性质解决此题． 【解答】解：∵与b 互为相反数， + ∴b＝0． 2021+2021 ∴ b 5 ﹣ 1 ＝2021（+b）﹣5 ＝2021×0 5 ﹣ ＝﹣5． 故答为：﹣5． 【变式2-1】（2022 秋•凉州区期末）若4 9 ﹣与3 5 ﹣互为相反数，则的值为 ． 【分析】根据题意可以得到一个关于的方程，解方程就可以求得的值． 【解答】解：依题意有： 4 9+3 5 ﹣ ﹣＝0， 解得：＝2． 故答为：2． 【变式2-2】（2021 秋•江州区期中）已知x+2y 与x+4 互为相反数，则x+y 的值为（ ） ．﹣4 B．﹣1 ．﹣2 D．2 【分析】直接利用相反数的定义得出答． 【解答】解：∵x+2y 与x+4 互为相反数， ∴x+2y+x+4＝0， 则2x+2y＝﹣4， 故x+y＝﹣2． 故选：． 【变式2-3】（2022 秋•路北区期末）已知+2b+3＝m，+3b+4＝m，则b 和的关系为（ ） ．互为相反数 B．互为倒数 ．相等 D．无法确定 【分析】由于+2b+3＝m，+3b+4＝m，则+2b+3＝+3b+4，则b 与的关系即可求出． 【解答】解：由题意得，+2b+3＝m，+3b+4＝m， 则+2b+3＝+3b+4， 所以b+＝0， 所以b 与互为相反数． 故选：． 【知识点3 绝对值的定义】 一般地，数轴上表示数的点与原点的距离叫做数的绝对值，记作|a| 【题型3 绝对值的定义】 【例3】（2021 秋•谷城县期中）一个数的绝对值是2 3，那么这个数为 ；若| 5| ﹣＝| | ﹣，则＝ ． 1 【分析】根据绝对值的定义进行计算即可． 【解答】解：∵一个数的绝对值是2 3， ∴这个数是±2 3， | 5| ∵﹣＝| | ﹣＝5， ∴＝±5． 故答为：± 2 3，±5． 【变式3-1】（2021 秋•鲤城区校级月考）已知＝﹣4，||＝|b|，则b 的值为（ ） ．+4 B．±4 ．0 D．﹣4 【分析】根据绝对值的定义解决此题． 【解答】解：根据绝对值的定义，得||＝| 4| ﹣＝4． || ∵＝|b|， | ∴b|＝4． ∴b＝±4． 故选：B． 【变式3-2】（2021 秋•洛江区期末）已知，，b 是不为0 的有理数，且||＝﹣，|b|＝b，||＞| b|，那么用数轴上的点来表示，b 时，正确的是（ ） ． B． ． D． 【分析】根据绝对值的性质可得≤0，b≥0，再根据||＞|b|可得距离原点比b 距离原点远， 进而可得答． 【解答】解：∵||＝﹣，|b|＝b， ≤0 ∴ ，b≥0， || ∵＞|b|， ∴表示数的点到原点的距离比b 到原点的距离大， 故选：． 【变式3-3】（2021 秋•东坡区期末）下列各式的结论成立的是（ ） ．若|m|＝||，则m＝ B．若|m|＞||，则m＞ ．若m＞，则|m|＞|| D．若m＜＜0，则|m|＞|| 【分析】根据绝对值的性质逐一判断即可． 【解答】解：．若|m|＝||，则m＝或m＝﹣，故原说法错误，选项不符合题意； B．若|m|＞||，则﹣m＜＜m，故原说法错误，选项不符合题意； 1 ．若m＞＞﹣m，则|m|＞||，故原说法错误，选项不符合题意； D．若m＜＜0，则|m|＞||，正确，选项符合题意； 故选：D． 【知识点4 绝对值的性质】 一个正数的绝对值是它本身；一个负数的绝对值是它的相反数；0 的绝对值是0． 【题型4 由绝对值的性质化简】 【例4】（2021 秋•长沙县期末）化简：|π 315|+ ﹣ π＝ ． 【分析】根据负数的绝对值等于它的相反数去掉绝对值号，然后解答即可． 【解答】解：|π 315|+ ﹣ π， ＝315﹣π+π， ＝315． 故答为：315． 【变式4-1】（2021 秋•蔡甸区期末）若x 的绝对值小于1，则化简|x 1|+| ﹣ x+1|得 ． 【分析】直接利用已知得出x 的取值范围，进而结合绝对值的性质化简得出答． 【解答】解：∵x 的绝对值小于1， 1 ∴﹣＜x＜1， | ∴x 1|+| ﹣ x+1| ＝1﹣x+x+1 ＝2． 故答为：2． 【变式4-2】（2021 秋•青羊区校级月考）若x≤0，化简|2+|x 2|| ﹣ 的结果为 ． 【分析】根据一个负数的绝对值等于它的相反数解答即可． 【解答】解：因为x≤0， 所以x 2 ﹣＜0，4﹣x＞0 所以|2+|x 2|| ﹣ ＝|2﹣（x 2 ﹣）| ＝|2﹣x+2| ＝|4﹣x| ＝4﹣x． 故答为：4﹣x． 【变式4-3】（2022 秋•阜宁县月考）当1＜x＜5 时，化简|x 1| |5 ﹣﹣﹣x|+|x 6| ﹣＝ ． 【分析】由已知1＜x＜5，得：x 1 ﹣＞0，5﹣x＞0，x 6 ﹣＜0，再根据绝对值的性质进行 化简． 1 【解答】解：∵1＜x＜5， ∴x 1 ﹣＞0，5﹣x＞0，x 6 ﹣＜0， | ∴x 1| |5 ﹣﹣﹣x|+|x 6| ﹣＝x 1 ﹣﹣（5﹣x）+（6﹣x）＝x 1 5+ ﹣﹣ x+6﹣x＝x， 故答为：x． 【知识点5 绝对值的非负性】 根据绝对值的非负性“若几个非负数的和为0，则每一个非负数必为0”，即若|a|+|b|=0， 则|a|=0 且|b|=0． 【题型5 绝对值的非负性】 【例5】（2021 秋•顺德区月考）若¿ x−2∨+¿ y−2 3|＝0，则x＝ ，y＝ ． 【分析】根据绝对值的非负性解答即可． 【解答】解：根据题意可得：x 2 ﹣＝0，y−2 3 =¿0， 可得：x＝2，y¿ 2 3． 故答为：2；2 3． 【变式5-1】（2022 春•东台市期中）|x 2|+9 ﹣ 有最小值为 ． 【分析】根据绝对值的非负性即可得出答． 【解答】解：∵|x 2|≥0 ﹣ ， | ∴x 2|+9≥9 ﹣ ， | ∴x 2|+9 ﹣ 有最小值为9． 故答为：9． 【变式5-2】（2022•东坡区校级模拟）下列各式x、x2、 1 ¿ x∨¿¿、x2+2、|x+2|中，值一定 是正数的有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【分析】根据有理数的乘方、绝对值的性质进行解答即可． 【解答】解：x 不一定是正数；x2不一定是正数； 1 ¿ x∨¿¿一定是正数；x2+2 一定是正数； |x+2|不一定是正数； 所以值一定是正数的有2 个， 故选：B． 【变式5-3】（2021 秋•渑池县期末）若| 1| ﹣与|b 2| ﹣互为相反数，则+b 的值为（ ） 1 ．3 B．﹣3 ．0 D．3 或﹣3 【分析】根据非负数互为相反数，可得这两个数为零，可得、b 的值，根据有理数的加 法，可得答． 【解答】解：∵| 1| ﹣与|b 2| ﹣互为相反数， | 1|+| ∴﹣ b 2| ﹣＝0， 又∵| 1|≥0 ﹣ ，|b 2|≥0 ﹣ ， 1 ∴﹣＝0，b 2 ﹣＝0， 解得＝1，b＝2， +b＝1+2＝3． 故选：． 【题型6 绝对值的几何意义】 【例6】（2021 秋•遵义期末）在数轴上，点M、分别表示数m，．则点M、之间的距离为| m | ﹣．已知点，B，，D 在数轴上分别表示的数为，b，，d．且| | ﹣＝|b | ﹣＝2，2 5|d | ﹣＝1 （≠b），则线段BD 的长度为（ ） ．45 B．15 ．65 或15 D．45 或15 【分析】根据绝对值的几何意义，可以知道是B 的中点，且到、B 的距离均为2．又 D、的距离为25，结合数轴可以快速得出答． 【解答】解：依题意可知＝B＝2，D＝25， 所以B＝4， 当B、D 在的同侧时，BD＝B﹣D＝15． 当B、D 在的异侧时，BD＝B+D＝6． 故选：． 【变式6-1】（2021 秋•芜湖期末）适合|+5|+| 3| ﹣＝8 的整数的值有（ ） ．4 个 B．5 个 ．7 个 D．9 个 【分析】此方程可理解为到﹣5 和3 的距离的和，由此可得出的值，继而可得出答． 【解答】解：|+5|表示到﹣5 点的距离， | 3| ﹣表示到3 点的距离， 由﹣5 到3 点的距离为8， 故﹣5 到3 之间的所有点均满足条件， 即﹣5≤≤3， 又由为整数， 故满足条件的有：﹣5，﹣4，﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2，3 共9 个， 1 故选：D． 【变式6-2】（2021 秋•西峡县期末）|x+8|+|x+1|+|x 3|+| ﹣ x 5| ﹣的最小值等于（ ） ．10 B．11 ．17 D．21 【分析】由|x+8|+|x+1|+|x 3|+| ﹣ x 5| ﹣所表示的意义，得出当﹣1≤x≤3 时，这个距离之和最 小，再根据数轴表示数的特点进行计算即可． 【解答】解：|x+8|+|x+1|+|x 3|+| ﹣ x 5| ﹣表示数轴上表示数x 的点，到表示数﹣8，﹣1， 3，5 的点的距离之和， 由数轴表示数的意义可知， 当﹣1≤x≤3 时，这个距离之和最小， 最小值为|5﹣（﹣8）|+|3﹣（﹣1）|＝13+4＝17， 故选：． 【变式6-3】（2021 秋•绵竹市期末）代数式|x+1009|+|x+506|+|x 1012| ﹣ 的最小值是 ． 【分析】利用绝对值的定义，结合数轴可知最小值为1012 到﹣1009 的距离． 【解答】解：∵|x+1009|＝|x﹣（﹣1009）|，|x+506|＝|x﹣（﹣506）|， 由绝对值的定义可知：|x+1009|代表x 到﹣1009 的距离；|x+506|代表x 到﹣506 的距离；| x 1012| ﹣ 代表x 到1012 的距离； 结合数轴可知：当x 在﹣1009 与1012 之间，且x＝﹣506 时，距离之和最小， ∴最小值＝1012﹣（﹣1009）＝2021， 故答为：2021． 【知识点7 有理数比较大小的法则】 两个数比较大小，按数的性质符号分类，情况如下： 【题型7 利用法则比较有理数大小】 【例7】（2022 春•泰山区校级月考）用“＞”“＜”或“＝”填空： −3 5 −3 4 ； 1 −(−1 4 ) −¿−1 3∨¿； 2 ﹣1 3 ﹣23． 【分析】有理数大小比较的法则：①正数都大于0；②负数都小于0；③正数大于一 切负数；④两个负数，绝对值大的其值反而小，据此判断即可． 【解答】解：|−3 5 |¿ 3 5，|−3 4 |¿ 3 4 ， ∵3 5 ＜3 4 ， ∴−3 5 ＞−3 4 ； ∵−(−1 4 )= 1 4 ，−¿−1 3∨¿−1 3， ∴−(−1 4 )＞−¿−1 3∨¿； | 2 ﹣1 3|＝21 3，| 23| ﹣ ＝23， 2 ∵1 3 ＞23， 2 ∴﹣1 3 ＜−¿23． 故答为：＞、＞、＜． 【变式7-1】（2021 秋•旌阳区校级月考）下列四个式子：①−3.8＞−(+3 3 4 )；② −(−3 4 )＞−(−3 5 )；③| 25| ﹣ ＞﹣25；④−(−5 1 2 )＞∨+5 2 3∨¿．正确的是（ ） ．③④ B．①③ ．①② D．②③ 【分析】根据有理数的大小关系、绝对值、相反数解决此题． 【解答】解：①由−(+3 3 4 )=−¿375，根据有理数的大小关系，得−3.8＜−(+3 3 4 )， 那么①不正确． ②由−(−3 4 )= 3 4 ，−(−3 5 )=3 5，根据有理数的大小关系，得3 4 ＞3 5，即 −(−3 4 )＞−(−3 5 )，那么②正确． ③由| 25| ﹣ ＝25，根据有理数的关系，得25＞﹣25，即| 25| ﹣ ＞﹣25，那么③正确． 1 ④由−(−5 1 2 )=5 1 2=5+ 1 2=5+ 3 6 ，¿+5 2 3∨¿5 2 3=5+ 2 3=5+ 4 6 ，根据有理数大小关 系，得5+ 3 6 ＜5+ 4 6 ，即−(−5 1 2 )＜∨+5 2 3∨¿，那么④不正确． 综上：正确的有②③． 故选：D． 【变式7-2】（2021 秋•双台子区校级期中）用“＜”号连接三个数：| 35| ﹣ ，−3 2 ，075， 正确的是（ ） ．−3 2 ＜075＜| 35| ﹣ B．−3 2 ＜| 35| ﹣ ＜075 ．| 35| ﹣ ＜−3 2 ＜075 D．075＜| 35| ﹣ ＜−3 2 【分析】根据有理数大小比较的法则：①正数都大于0； ②负数都小于0； ③两个负 数绝对值大的反而小进行分析即可． 【解答】解：∵| 35| ﹣ ＝35， ∴−3 2 ＜075＜| 35| ﹣ ， 故选：． 【变式7-3】（2021 秋•靖西市期中）下列各组数中，比较大小正确的是（ ） ．|−2 3 |＜|−1 2 | B．﹣| 3 ﹣4 11|＝﹣（﹣3 4 11