吉林省吉林市第一中学2021-2022学年高二下学期第一次月考数学试题

吉林一中20 年级高二下学期 第一次质量检测数学学科 一.单项选择题（共8 题，满分40 分） 1.已知集合A＝{2，3，4，5}， ，则A∩B＝（ ） A．{2} B．{3} C．{2，3} D．{2，3，4} 2.已知复数满足 2021 1 ( ) i i z  ，则z  A． 2 B．1 C． 2 2 D． 1 2 3.设，为非零向量，λ，μ∈R，则下列命题为真命题的是（ ） A.若( )=0，则= B.若=λ ，则| |+| |=| + | C.若λ +μ = ，则λ=μ=0 D.若| |>| |，则( )·( )>0 4．若函数  f x 是定义在R 上的周期为2 的奇函数，当0 1 x  时， x f x ， 则  5 2 2 f f          A．0B．2C．4D．-2 5. 如图，抛物线C： =4x 的焦点为F，直线l 与C 相交于 A,B 两点，l 与y 轴交于E 点，已知|AF|=7.|BF|=3，记 ΔAEF 的面积为 ，ΔBEF 的面积为 ，则（ ） A. =2 B.=3 C. =3 D.3 =4 6. 如图，已知四棱柱ABCD- 的底面为平行 四边形，E，F，G分别为棱，C ，D 的中点，则（ ） A.直线 与平面EFG平行，直线 与平面EFG相交 B.直线 与平面EFG相交，直线 与平面EFG平行 C.直线 ， 都与平面EFG平行 D.直线 ， 都与平面EFG相交 7. ABC  中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ， cos cos sin sin( ) sin B C A A C b c C          ， 3 B   ，则a c 的取值范围是（） A． 3 , 3 2        B．3 , 3 2       C． 3 , 3 2       D．3 , 3 2       8.已知函数f（x）＝ ，若f（x）≥|x﹣m|恒成立，则实数 m 的取值范围为（ ） A．[ ，5﹣2ln2]B．（﹣∞，4﹣2ln2] C．[ ，4﹣2ln2] D．[ ，5﹣2ln2] 二. 多项选择题（共4 题，满分20 分） 9.已知函数 的部分图象如图所示，则（ ） A. 的最小正周期为π B. 为偶函数 C. 在区间[0， ]内的最小值为1 D. 的图象关于直线x=- 对 称 10. 设双曲线C: =1(a>0,b>0) 的左、右焦点分别为 ，点P 在C 的右支上，且不与C 的顶点重合，则下列命题中正确的是（ ） A. 若a=3,b=2 则C 的两条渐近线的方程是 B. 若点P 的坐标为（2，4 ），则C 的离心率大于3 C. 若 ⊥ ，则 的面积等于 D. 若C 为等轴双曲线，且| |=2| |，则cos∠ = 11.在矩形ABCD 中，AB=2，AD=2 ，沿对角线AC 将矩形折成一个大小 为θ 的二面角B-AC-D，若cosθ= ，则（ ） A.四面体ABCD 外接球的表面积为16π B.点B 与点D 之间的距离为2 C.异面直线AC 与BD 所成的角为45° D.四面体的体积为 12．如图，在棱长为2 的正方体ABCD﹣A1B1C1D1 中，M，N，P 分别是 AA1，CC1，C1D1的中点，Q 是线段D1A1上的动点，则（ ） A．存在点Q，使B，N，P，Q 四点共面 B．存在点Q，使PQ∥平面MBN C．三棱锥P﹣MBN 的体积为 D．经过C，M，B，N 四点的球的表面积 为 三. 填空题（共4 题，满分20 分） 13． 3 3 f x x x   ，P 为曲线  y f x  在点    2 2 f , 处的切线上的一个动点， Q 为圆     2 2 2 : 3 1 41 C x y     上的一个动点，则PQ 的最小值为______. 14. 数列{ }:1,1,2,3,5,8,13,21,34 ， 称为斐波那契数列 (Fibonaccisequence)， 该数列是由十三世纪意大利数学家莱昂纳多∙斐波那契(LeonardoFibonacci)以 兔子繁殖为例子而引入，故又称为“兔子数列”.在数学上，斐波那契数列 可表述为 = =1， (n≥3，n∈)，设该数列的前n 项和为 ， 记 ，则 .（用m 表示） 15．已知A，B 是抛物线x2＝y 上两动点，过A，B 分别作抛物线的切线，若 两切线交于点P，当∠APB＝90°时，点P 的纵坐标为 ，△APB 面积 的最小值为 ． 16．如图，在菱形ABCD 中，AB＝2，∠BAD＝60°，E、F 分别为BC、CD 上的点， ＝2 ， ＝2 ，点M 在线段EF 上， 且满足 ＝x + （x∈R），则x＝ ；若 点N 为线段BD 上一动点，则 • 的取值范围为 ． 四. 解答题（共5 题，满分70 分） 17. 设 n S 是等比数列  n a 的前n 项和， 1 1 a ，且 1 S 、 3 S 、 2 S 成等差数列. （1）求  n a 的 通项公式； （2）求使 3 n n S a  成立的n 的最大值. 18.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，侧面ACC1A1是矩形， AC⊥AB,AB=AA1=2,AC=3,∠A1AB=120°,E,F 分别为棱A1B1,BC 的中点， G 为线段CF 的中点。 （1)证明：A1G//平面AEF; （2)求二面角A-EF-B 的余弦值． 19. 已知抛物线 2 : 4 E y x  ，F 为其焦点，O 为原点，A，B 是E 上位于x 轴 两侧的不同两点，且 5 OA OB   3 ． （1）求证：直线AB 恒过一定点； （2）在x 轴上求一定点C，使F 到直线AC 和BC 的距离相等； （3）在（2）的条件下，当F 为ABC  的内心时，求ABC  重心的横坐标． 20．如图，在四棱锥P﹣ABCD 中，底面ABCD 为菱形，∠BAD＝60°，Q 为 AD 的中点． （1）若PA＝PD，求证：平面PQB⊥平面PAD； （2）点M 在线段PC 上，PM＝tPC，试确定实数t 的值，使得PA∥平面 MQB； （3）在（2）的条件下，若平面PAD⊥平面ABCD，PA＝AD＝PD＝2， 求直线MC 与平面MQB 所成角的余弦值． 21．已知函数 ( ) ln( 1) f x x a x   ． （1）当 2 a 时，求 ( ) f x 的单调区间； （2）当 1 a 时，关于x 的不等式 2 ( ) kx f x  在[0, ) 上恒成立，求k 的取 值范围．