吉林省吉林市第一中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试题 （平行班）

吉林一中2021-2022 学年度下学期第二次月考 高二数学（平行班）试卷 第Ⅰ卷（选择题） 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一项是符合题目要求的． 1. 集合   0 2 P x x    ，   2 1 Q x y x    ，则P Q  （） A.   0,1 B.   0,2 C.   1,1  D.   1,2  2. 已知 1 1 2 3 1 2 1 1 1 , , log , 2 3 3 a b c                则a，b，c 的大小关系是（） A. a b c   B. a c b   C. b a c   D. c a b   3. 设xR ，则“ 2 1 x  ”是“ 2 2 0 x x    ”的（） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 函数 sin2 1 cos x y x  的部分图像大致为 A. B. C. D. 5. 已知函数 2 6 ( ) 3 x f x a    （ 0 a  且 1 a ）的图像经过定点A ，且点A 在角的终边上，则 cos 4           （） A. 2 10  B. 7 2 10 C. 0 D. 7 2 10  6. 已知 2   ＜α＜0，sin α＋cos α＝ 1 5 ，则 2 2 1 cos sin    的值为（） A. 7 5 B. 25 7 C. 7 25 D. 24 25 7. 若 4 2 log (3 4 ) log a b ab   ，则a b  的最小值是． A. 6 2 3  B. 7 2 3  C. 6 4 3  D. 7 4 3  8. 函数 1 1 y x 的 图像与函数 2sin ( 2 4) y x x     的图像所有交点的横坐标之和等于 A. 2 B. 4 C. 6 D. 8 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符 合题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列说法正确的是（ ） A. 若 0 x  ，则 sin x x  恒成立； B. 在线性回归分析中，相关系数r 的值越大，变量间的相关性越强 C. 命题“ R, ln 0 x x x    ”的否定是“ 0 0 0 R, ln 0 x x x     ”． D. 若随机变量 2 ~ (2, ) N   ，且 3 1    ，则 ( 2) 0.5, ( ) 6 P E      10. 函数  f x 为定义在R 上的偶函数，且满足     2 2 f x f x    ，若当   0,2 x 时，  3 2 1 x f x x    ，则下列结论正确的是（） A.  f x 的周期为4 B.  f x 在  4, 2   上单调递减 C.  f x 关于 2 x  对称 D.   2021 4 f  11. 若函数  y f x  在其定义域内存在 1 x ､ 2 x ，使得  1 2 2 f x f x ，则称函数  y f x  具有D 性质. 下面函数不具有D 性质的是（） A. 2sin cos y x x  B. 2 2 y x x    C. 2 1 x x y e   D. ln x y x  12. 已知5 只动物中有1 只患有某种疾病，需要通过血液化验来确定患病的动物，血液化验结果呈阳性的为 患病动物．下面是两种化验方案：（） 方案甲：将各动物的血液逐个化验，直到查出患病动物为止；方案乙：先取3 只动物的血液进行混合，然 后检查，若呈阳性，对这3 只动物的血液再逐个化验，直到查出患病动物；若不成阳性，则检查剩下的两 只动物中1 只动物的血液 A. 若利用方案甲，化验次数为4 次的概率为0.2 B. 若利用方案甲，平均检查次数为2.8 C. 若利用方案乙，最多需要检查次数为4 次 D. 若利用方案乙，化验次数为2 次的概率为0.6 第Ⅱ卷（非选择题） 三、填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共 30 分． 13. 函数    2 ln 2 f x x x   的单调递减区间为__________. 14. 6 2 2 3x x        的展开式中各项系数之和为_____________，常数项为_____________. 15. 假定生男孩、生女孩是等可能的 ，在一个有3 个孩子的家庭中，已知至少有一个女孩，则至少有一个男 孩的概率为________. 16. 若函数   4 ( )= ln 1 x f x kx e   为偶函数，则实数k _________ . 17. 如果函数f (x)＝ (2 ) 1, 1 , 1 x a x x a x        满足对任意 1 2 x x  ，都有   1 2 1 2 f x f x x x   >0 成立，那么实数a 的取 值范围是________． 18. 设函数  1 2 , 0 2 lg , 0 x x f x x x         ，若方程  f x a  有四个不同的实数解 1 2 3 4 x x x x < < < ，则   3 1 2 2 3 4 1 x x x x x   的取值范围是________． 四、解答题：本大题共5 个大题，共60 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 19. 已知 3 π 4    ， 1 10 ta tan n 3 a   ＋ . （1）求tan的值； （2）求 sin cos sin cos       的值； （3）求 2 2 2sin sin co 3co s s       .的值 20. 随着新冠疫情防控进入常态化，人们的生产生活逐步步入正轨.为拉动消费，某市政府分批发行2 亿元 政府消费券.为了解政府消费券使用人群的年龄结构情况，在发行完第一批政府消费券后，该市政府采用随 机抽样的方法在全市市民中随机抽取了200 人，对是否使用过政府消费券的情况进行调查，部分结果如下 表所示，其中年龄在45 岁及以下的人数占样本总数的 3 5 ，没使用过政府消费券的人数占样本总数的 3 10 . 使用过政府消费券 没使用过政府消费券 总计 45 岁及以 下 90 45 岁以上 总计 200 （1）请将题中表格补充完整，并判断是否有90% 的把握认为该市市民是否使用政府消费券与年龄有关？ （2）现从45 岁及以下的样本中按是否使用过政府消费券进行分层抽样，抽取8 人做进一步访谈，然后再 从这8 人中随机抽取2 人填写调查问卷，则抽取的2 人中恰好一个使用过政府消费券，一个没使用过政府 消费券的概率为多少？ 附：        2 2 n ad bc K a b c d a c b d       ，其中 n a b c d  .   2 0 P K k  0.15 0.10 0.05 0.025 0 k 2.072 2.706 3. 841 5.024 21. 自“双减”政策颁布实施以来，为了研究中小学各学科作业用时的平衡问题，某市教科研部门制定了该市 各年级每个学科日均作业时间的判断标准.下表是初中八年级A 学科的判断标准. 日均作业时间（分钟）   0,4   4,8   8,12   12,16 不低于16 分钟 判断标准 过少 较少 适中 较多 过多 之后教科研部门又随机抽取该市30 所初中学校八年级A 学科的作业时间作为样本，得到A 学科日均作业 时间的频数分布表见下表. 日均作业时间（分钟）   4,8   8,12   12,16   16,20   20,24 学校数 2 3 10 10 5 （1）请将同一组中的数据用该组区间的中点值作代表，估计该市初中八年级学生完成A 学科作业的日平 均时间（结果精确到0.1）； （2）①若A 学科日均作业时间不低于12 分钟，称为“作业超量”，以样本频率估计概率，求该市任一所初 中学校八年级A 学科作业超量的概率； ②若为了对该市初中八年级A 学科作业的布置情况做进一步研究，需再从该市所有初中学校中抽取3 所进 行研究，用X 表示抽取的3 所学校中八年级A 学科“作业超量”的个数.求随机变量X 的分布列和数学期望. 22. 随着移动网络的 飞速发展，人们的生活发生了很大变化，其中在购物时利用手机中的支付宝､微信等 APP 软件进行扫码支付也日渐流行开来.某商场对近几年顾客使用扫码支付的情况进行了统计，结果如下表： 年份 2016 2017 2018 2019 2020 年份代码x 1 2 3 4 5 使用扫码支付的人次y(单位：万人) 5 12 16 19 21 （1）观察数据发现，使用扫码支付的人次y 与年份代码x 的关系满足经验关系式： y c  ln d x ，通过 散点图可以发现y 与x 之间具有相关性.设 ln x  ，利用 与x 的相关性及表格中的数据求出y 与x 之间的 回归方程，并估计2021 年该商场使用扫码支付的人次； （2）为提升销售业绩，该商场近期推出两种付款方案：方案一：使用现金支付，每满200 元可参加1 次抽 奖活动，抽奖方法如下：在抽奖箱里有8 个形状､大小完全相同的小球(其中红球有3 个，黑球有5 个)，顾 客从抽奖箱中一次性摸出3 个球，若摸到3 个红球，则打7 折；若摸出2 个红球则打8 折，其他情况不打 折.方案二：使用扫码支付，此时系统自动对购物的顾客随机优惠，据统计可知，采用扫码支付时有 1 8 的概 率享受8 折优惠，有 3 8 的概率享受9 折优惠，有1 2 的概率享受立减10 元优惠.若小张在活动期间恰好购买了 总价为200 元的商品. （i）求小张选择方案一付款时实际付款额X 的分布列与数学期望； （ii）试比较小张选择方案一与方案二付款，哪个方案更划算？ 附：最小二乘法估计公式：经过点      1 1 2 2 3 3 , , , , , , , , n n t y t y t y t y  的回归直线为ˆ y       1 1 2 2 2 1 1 ˆ ˆ ˆ , , n n i i i i i i n n i i i k t t y y t y nt y b t a b a y b t t t t nt                     相关数据： 5 2 1 0.96, i i       5 1 6.2, 86,ln 6 1.8 i i i y      (其中 ln ) x  . 23. 已知函数    2 ln 1 2 a f x x x a x     . （Ⅰ）若曲线  y f x  在 1 x 处的切线方程为 2 y  ，求  f x 的单调区间； （Ⅱ）若 0 x  时，   2 f x f x x   恒成立，求实数a 的取值范围. 1【答案】D 2【答案】C 3【答案】A 4【答案】C 5【答案】A 6【答案】B 7【答案】D 8【答案】D 9【答案】AC 10【答案】ACD 11【答案】BD 12【答案】BD 13【答案】  ,0  14【答案】 ①. 1 ②. 2160 15【答案】 6 7 16【答案】2  17【答案】 3 ,2 2       18【答案】0, 99 10      ##  0,9.9 19【答案】（1） 1 3  （2） 1 2  （3） 11 5 - 20【答案】（1）表格见解析，有；（2） 3 7 . 【详解】解：（1）由题意得，总人数为200 人，年龄在45 岁及以下的人数为 3 200 120 5  人， 没使用过政府消费券的人数为 3 200 60 10   人，完成表格如下： 使用过政府消费券 没使用过政府消费券 总计 45 岁及以下 90 30 120 45 岁以上 50 30 80 总计 140 60 200 由列联表可知   2 2 200 90 30 50 30 3.571 140 60 80 120 K          ，因为3.571 2.706  ， 所以有90%的把握认为该市市民民是否使用政府消费券与年龄有关. （2）由题意可知， 从45 岁及以下的市民中采用分层抽样的方法可以抽取使用过政府消费券的市民6 人， 没有使用过政府消费券的市民2 人， 设使用过政府消费券的 人为1，2，3，4，5，6，没使用过政府消费券的人为A ， B ，则全部情况为： 12，13，14，15，16，23，24，25，26，34，35，36，45，46，56，1 A ，2 A ，3 A ，4 A ，5 A ，6 A ， 1 B ，2 B ，3 B ，4 B ，5 B ，6 B ，A B ，共计28 种情况， 其中，一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券的情况有12 种， 所以恰好抽到“一个使用过政府消费券，一个没使用过政府消费券” 的 概率为 12 3 28 7  . 21【答案】（1）15.7 分钟； （2）① 5 6 ；②分布列见解析；期望为 5 2 ． 【小问1 详解】 由题意所求日平均时间为 6 2 10 3 14 10 18 10 22 5 15.7 2 3 10 10 5           ； 【小问2 详解】 ①由表格得A 学科作业超量的概率为 10 10 5 5 30 6 P     ； ②由①已知抽取一所学校A 学科作业超量的概率是 5 6 P  ， 5 (3, ) 6 X  ， 0 3 0 3 1 5 1 ( 0) C ( ) ( ) 6 6 216 P X    ， 1 2 3 1 5 5 ( 1) C ( ) 6 6 72 P X    ， 2 2 3 1 5 25 ( 2) C ( ) 6 6 72 P X     ， 3 3 3 5 125 ( 3) C ( ) 6 216 P X    ， X 的分布列为 X 0 1 2 3 P 1 216 5 72 25 72 125 216 ， 5 5 ( ) 3 6 2 E X  ． 22【答案】（1）回归方程为 10ln 5 ˆ y x   ，2021 年该商场使用移动支付的有23 万人次；（2）（i）分布 列答案见解析，数学期望： 3 18814 (元)；（ii）小张选择方案二付款优惠力度更大. 【详解】（1）计算知 1 2 3 4 5 73 5 5 y y y y y y       14.6， 所以 5 1 5 2 2 2 1 5 86 5 0.96 14.6 10 6.2 5 0.96 5 i i i i i y y d                    =10， 14.6 10 0.96 5 ˆ ˆ c y d      ， 所以所求的回归方程为 10ln 5 ˆ y x   ， 当 6 x 时， 10ln 6 5 23 ˆ y    (万人次)， 估计2021 年该商场使用移动支付的有23 万人次； （2）（i）若选择方案一，设付款金额为X 元，则可能的取值为140，160，200， 3 2 1 3 3 5 3 3 8 8 C C C 1 15 ( 140) , ( 160) C 56 C 56 P X P X       ， 1 2 3 3 5 5 3 3 8 8 C C C 40 5 ( 200) C C 56 7 P X      ， 故X 的分布列为 X 140 160 200 P 1 56 15 56 5 7 所以 1 15 5 2635 ( ) 140 160 200 56 56 7 14 E X       3 18814  (元)； （ii）若选择方案二，记需支付的金额为Y 元， 则Y 的可能取值为160，180，190， 则其对应的概率分别为 1 3 1 , , 8 8 2 ， 所以 ( ) 160 E Y  1 3 1 1 180 190 182 8 8 2 2    ， 由（1）知 ( ) ( ) E X E Y  ， 故从概率角度看，小张选择方案二付款优惠力度更大. 23【答案】（1）单调递增区间为： 1 0, 2      和  1,，单调递减区间为： 1 ,1 2      （2） 3 2 2 , e         【详解】分析：（Ⅰ）求导，利用导数的几何意义求出a 值，再利用导数的符号变化确定函数的单调性； （Ⅱ）分离参数，将不等式恒成立问题转化为函数的最值问题，再利用导数的符号变化确定函数的单调性、 极值和最值． 详解：（Ⅰ）  f x 的定义域为  0,      1 1 f x ax a x       ，  1 0 f  ， 又切点  1, 2  在曲线  f x 上， 2 1 2 2 a a a       ； 经检验， 2 a 时，曲线  y f x  在 1 x 处的切线方程为 2 y   2 ln 3 f x x x x     ，  2 1 2 3 1 1 2 3 0 1 0 2 x x f x x x x x x 或              在 1 0, 2      和  1,上单调递增，在 1 ,1 2   