吉林省吉林市第一中学2021-2022学年高二下学期6月月考数学试题（理科创新班）

吉林一中20 级高二下学期6 月 数学学科（理创）质量检测 一、单项选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的. 1. 复数1 i  的虚部是（） A. 1  B. i  C. i D. 1 2. 已知集合   2 4 0 A x x    ，   0,1,2,3 B  ，则A B   （） A.  0 B.   0,1 C.   1,2 D.   0,1,2 3. 已知  1,3 P 为角  终边上一点，则 2 2cos cos 2 cos cos2              （） A. 1 7  B. 6 7  C. 6 7 D. 1 7 4. 图1中的机械设备叫做“转子发动机”，其核心零部件之一的转子形状是“曲侧面三棱柱”，图2 是一 个曲侧面三棱柱，它的侧棱垂直于底面，底面是“莱洛三角形”（如图3 ），莱洛三角形是以正三角形的 三个顶点为圆心，正三角形的边长为半径画圆弧得到的，若曲侧面三棱柱的高为4 ，底面任意两顶点之间 的距离为10 2 ，则其体积为（） A.   200 2 3 3  B.   400 3  C. 40 2 D.   400 2 3  5. 深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它是以神经网络为出发点的．在神经网络优化中， 指数衰减的学习率模型为 0 0 G G L L D  ，其中L 表示每一轮优化时使用的学习率， 0 L 表示初始学习率，D 表示衰减系数，G 表示训练迭代轮数， 0 G 表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率 为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18 时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.1 以下（不含 0.1）所需的训练迭代轮数至少为（参考数据：lg 2 0.3010  ）（） A. 128 B. 130 C. 132 D. 134 6. 定义在R 上的奇函数f（x）满足f（x+1）为偶函数，且当x∈[0，1]时，f（x）＝4x﹣cosx，则下列结论正 确的是（ ） A. f（ 4043 2 ）＞f（2022）＞f（ 4039 2 ） B. f（2022）＞f（ 4039 2 ）＞f（ 4043 2 ） C. f（ 4043 2 ）＞f（ 4039 2 ）＞f（2022） D. f（ 4039 2 ）＞f（2022）＞f（ 4043 2 ） 7. 将《三国演义》、《西游记》、《水浒传》、《红楼梦》4 本名著全部随机分给甲、乙、丙三名同学， 每名同学至少分得1 本，A 表示事件：“《三国演义》分给同学甲”；B 表示事件：“《西游记》分给同学 甲”；C 表示事件：“《西游记》分给同学乙”，则下列结论正确的是（） A. 事件A 与B 相互独立 B. 事件A 与C 相互独立 C.   5 12 P C A  D.   5 12 P B A  8. 已知双曲线C： 2 2 1 2 y x  的上、下焦点分别为F1，F2，点P 在x 轴上，线段PF1交C 于Q 点，△PQF2的内 切圆与直线QF2相切于点M，则线段MQ 的长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 2 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每题给出的四个选项中，有多项符 合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分. 9. 下列命题中，正确的 有（） A. 数据93，92，92，89，93，94，95，96，100，99 的极差为11 B. 已知一组样本数据 1 x ， 2 x ，…， n x 的平均数为5，方差为0.1，则由这组数据得到的新样本数据 1 2 1 x ， 2 2 1 x  ，…， 2 1 n x  的平均数为11，方差为0.2 C. 一元线性回归模型 2 1.5 y x  ，变量x 增加一个单位时，则 y 平均减少1.5 个单位 D. 已知随机变量   2 ~ 2, N   ，且 ( 4) 0.6 P   ，则 (0 4) 0.2 P     10. 已知函数  sin cos sin 2 1 f x x x x     ，则下列说法正确的是（ ） A. 2 x   是函数  f x 的 对称轴 B. 函数  f x 在区间 3 2 4         ， 上单调递增 C. 函数  f x 的最大值为 2 ，最小值为2 2   D. 函数  f x 在区间  0,M 上恰有2022 个零点，则 2023 1011 2 M   11. 已知实数 0 a  ， 0 b  ， 1 a b   ．则下列不等式正确的是（） A. 2 2 2 2 a b   B. 2 a b   C. 1 1 2 2 16 a b             D. 2 2 2 3 2 3 3 a b a b b a      12. 在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，AB＝2，G 为C1D1的中点，点P 在线段B1C 上运动，点Q 在棱C1C 上运动， M 为空间中任意一点，则下列结论正确的有（ ） A. 直线BD1⊥平面A1C1D B. 异面直线AP 与A1D 所成角的取值范围是 , 4 2        C. PQ+QG 的最小值为 3 2 2 D. 当MA+MB＝4 时，三棱锥A﹣MBC 体积最大时其外接球的表面积为 28 3  . 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13. 圆 2 2 2 4 15 0 x y x y     的圆心到直线 2 0 x y  的距离为___________. 14. 已知四边形ABCD 为菱形， 60 A    ， 2 AB ，且CM MD  � ，则AB AM   � __________． 15. 已知各项均为正数的数列{an}的前n 项和为Sn，且满足anan+1＝2Sn（n∈N*），则a2+a4+a6+…+a66＝______ 16. 已知函数    e , 0 2 e 1 , 0 x x a ax x f x x x            （ e 2.71828  ），若函数 ( ) f x 的极值为0，则实数  a ________ __；若函数   ( ) ( ) F x f x f x    有且仅有四个不同的零点，则实数a 的取值范围是__________． 四、解答题：本题共6 小题，17 题10，18-22 题，每小题各12 分，共70 分.解答应写出文字 说明、证明过程或演算步骤. 17. 已知数列  n a 满足 1 1 a ， 1 2 , , 3 , . n n n a n a a n       为奇数 为偶数 （1）记 2 1 n n b a   ，求出 1 b 的 值，并证明数列 n b 为等比数列； （2）若数列  n a 的前2n 项和为 2n S ，求满足不等式 2 1 3 1 5 n n S   的n 的最小值． 18. 已知函数 π ( ) 2 sin(2 ) | | 2 f x x           的部分图象如图所示. （1）求的值及函数 ( ) f x 的单调减区间； （2）在锐角ABC  中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c， π 1 2 12 C f         ， 2 1   a b ，求c 的 取值范围. 19. 如图，在四棱锥P－ABCD 中，底面ABCD 为菱形，且∠DAB＝60°，PD＝AD，PD⊥平面ABCD，M 为BC 中点，   0 1 PN PB      � ． （1）求证：平面DMN⊥平面PAD； （2）当取何值时，二面角B－DN－M 的余弦值为 15 5 ． 20. 某冰糖橙是甜橙的 一种，以味甜皮薄著称．该橙按照等级可分为四类：珍品、特级、优级和一级．某 采购商打算订购一批橙子销往省外，并从采购的这批橙子中随机抽取100 箱（每箱有5kg ），利用橙子的 等级分类标准得到的数据如下表： 等级 珍品 特级 优级 一级 箱数 40 30 10 20 （1）若将频率作为概率，从这批采购的橙子中随机抽取4 箱，求恰好有2 箱是一级品的概率； （2）用按比例分配分层随机抽样的方法从这100 箱橙子中抽取10 箱，再从抽取的10 箱中随机抽取3 箱， X 表示抽取的珍品的箱数，求X 的分布列及均值 E X ． （3）利用样本估计总体，果园老板提出两种方案供采购商参考：方案一：不分等级出售，价格为27 元/ kg ；方案二：分等级出售，橙子价格如下表． 等级 珍品 特级 优级 一级 价格/（元/kg ） 36 30 24 18 从采购商的角度考虑，应该采用哪种方案？ 21. 已知直线l1：y＝k1x 和l2：y＝k2x 与抛物线y2＝2px（p＞0）分别相交于A，B 两点（异于原点O）与直线 l：y＝2x+p 分别相交于P，Q 两点，且 1 2 2 k k   ． （1）求线段AB 的中点M 的轨迹方程； （2）求△POQ 面积的最小值． 22. 已知函数 sin cos f x x x x   ． （1）讨论  f x 在  0,π 上的单调性； （2）若  2 1 4 x g x f x   ，证明：函数 g x 在R 上有且仅有三个零点． 1【答案】A 2【答案】B 3【答案】C 4【答案】B 5【答案】B 6【答案】A 7【答案】C 8【答案】D 9【答案】ACD 10【答案】BD 11【答案】ABD 12【答案】ACD 13【答案】 3 5 5 14【答案】4 15【答案】1122 16【答案】 ①. 3 2 e ②.   2e, 17【答案】（1） 1 1 b ；证明见解析 （2）4 【小问1 详解】 解：因为 2 1 n n b a   ，所以 1 1 1 b a  ； 由 1 2 , , 3 , . n n n a n a a n       为奇数 为偶数 而 1 2 1 2 2 1 1 2 1 2 1 3 3 3 2 6 6 n n n n n n n b a a a a a b            ，， ∴ 1 6 n n b b  ，∴ n b 成等比数列且首项为1，公比为6， ∴ 1 6n n b   ． 【小问2 详解】 解：方法一： 由（1）知 1 2 1 6n n n b a     ， 1 2 2 1 1 2 1 2 2 6n n n n a a a       ， ∴ 2 1 3 5 2 1 2 4 2 n n n S a a a a a a a                 0 1 1 0 1 6 6 6 2 6 6 6 n n                  1 1 6 3 3 6 1 1 6 5 n n      ， ∴     1 3 6 1 3 1 3 6 3 25 3 1 3 6 25 3 22 0 5 5 n n n n n n                ， 令 3 6 25 3 22 n n n b     ， 1 1 1 3 6 25 3 3 6 25 3 n n n n n n b b             15 6 50 3 5 3 3 2 10 n n n n        ， 当 1 n 时， 1 2 1 n n b b b b    ，当 2 n 时， 1 2 3 4 n n b b b b b        而 1 35 0 b   ， 2 1 0 b b   ， 2 n 时，数列 n b 单调递增，注意到 3 0 b  ， 4 4 4 4 4 3 2 3 25 3 22 23 3 22 0 b          ， ∴ min 4 n ． 方法二： 由   2 1 3 3 1 6 1 3 1 5 25 n n n n S         3 6 25 3 22 0 3 2 25 3 22 0 n n n n             若 1,2,3 n  ，  3 2 25 3 22 0 n n      ， 当 4 n 时，3.2 25 0 n   ，∴  3 2 25 3 22 0 n      ， min 4 n ． 18【答案】（1） 6 π   ， π 2π π , π ( Z) 6 3 k k k          （2）(1, )  【小问1 详解】 因为图象最高点 π , 2 6      ，所以 π π 2 2 π, Z 6 2 k k      ， π π Z 6 2 , k k    ， 由于 π | | 2  ，∴ 6 π   ， ∴ π ( ) 2 sin 2 6 f x x        ， 由 π π 3π 2 π 2 2 π , Z 2 6 2 k x k k       ,得 π 2π π π , Z 6 3 k x k k     ， 故函数 ( ) f x 的单调减区间为 π 2π π , π ( Z) 6 3 k k k          ； 【小问2 详解】 ∵ π 2 sin 1 2 12 C f C          ，且ABC  为锐角三角形，∴ π 4 C  ， 由正弦定理sin sin sin a b c A B C   得 2 sin , 2 sin   a c A b c B ， ∴ 2 2 sin 2 sin 2 ( 2 sin sin )      a b c A c B c A B 3 2 2 sin sin 2 (cos sin sin ) 2 cos 4                      c B B c B B B c B ， ∵ 2 1   a b ，∴ 1 2 cos  c B 由于ABC  为锐角三角形， 3π π 4 2 C B    ,所以 π 4 π 2 B   , 所以 2 cos 0, 2       B ，∴ 1 (1, ) 2 cos    c B . 19【小问1 详解】 ∵底面ABCD 为菱形，∠DCB＝∠DAB＝60° ∴△DBC 为正三角形 ∵M 为BC 中点 ∴DM⊥BC 又BC∥AD ∴DM⊥AD ∵PD⊥平面ABCD，DM 平面ABCD ∴DM⊥PD 又PD AD D   ，PD，AD 平面PAD ∴DM⊥平面PAD 又DM 平面DMN，∴平面DMN⊥平面PAD 【小问2 详解】 由（1）知，DA，DM，DP 两两垂直，以D 为坐标原点，DA � ，DM � ，DP � 的方向分别为x 轴， y 轴，z 轴正方向，建立如图所示的空间直角坐标系D－xyz． 设AD＝2a， 2 sin 60 3 DM a a   ，则   0,0,0 D ，  , 3 ,0 B a a ，  0,0,2 P a ，   0, 3 ,0 M a ，  2 ,0,0 A a ，  , 3 ,0 C a a  ． ∴   , 3 , 2 PB a a a   � ，   3 , 3 ,0 AC a a  � ∵   0 1 PN PB      � ，∴     , 3 ,2 1 N a a a     ∴     , 3 ,2 1 DN a a a      � ，   0, 3 ,0 DM a  � 设   , , n x y z   为平面DNM 的一个法向量 则 0 0 n DN n DM        �  �  ，∴   3 2 1 0 3 0 ax ay a z ay              取z   ，则   2 1 0 x y       ，∴     2 1 ,0, n      连接AC， , , AC BD AC PD BD PD D     ，故AC⊥平面DNB， ∴AC � 为平面DNB 一个法向量． ∴     2 2 6 1 15 cos , 5 4 1 2 3 a n AC a            � � ，解得 1 2  ∴当 1 2  时，二面角B－DN－M 的 余弦值为 15 5 ． 20【小问1 详解】 设“从这100 箱橙子中随机抽取1 箱，抽到一级品”为事件A，则 20 1 ( ) 100 5 P A   ，现有放回地 随机抽取4 箱，设抽到级品的箱数为，则 1 4, 5       B  ， 所以恰好有2 箱是一级品的概率为 2 2 2 4 1 4 96 ( 2) 5 5 625                  P C  ． 【小问2 详解】 用分层随机抽样的方法从这100 箱橙子中抽取10 箱，其中珍品4 箱，非珍品6 箱，再从中随机 抽取3 箱，则珍品的箱数X 服从超几何分布，其中 10, 4, 3    N M n ， 3 2 1 6 6 4 3 3 10 10 1 2 3 6 4 4 3 3 10 10 1 1 ( 0) , (