甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高一下学期4月月考数学试题

兰州一中2021-2022-2 学期高一年级4 月月考试题 数 学 本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。总分150 分，考试 时间120 分钟。 第Ⅰ卷（选择题共60 分） 一．单选题（共8 小题，每小题5 分） 1．总体由编号为01，02，…，29，30 的30 个个体组成，现从中抽取一个容量为6 的样本， 请以随机数表第1 行第5 列开始，向右读取，则选出来的第5 个个体的编号为 （ ） 70 29 17 12 13 40 33 12 38 26 13 89 51 03 56 62 18 37 35 96 83 50 87 75 97 12 55 93 A．12 B．13 C．03 D．40 2．下列事件： ①连续两次抛掷同一个骰子，两次都出现2 点； ②某人买彩票中奖； ③从集合{1，2，3}中任取两个不同元素，它们的和大于2； ④在标准大气压下，水加热到90℃时会沸腾．其中是随机事件的个数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 3．从1，2，3，4，5 中任取2 个不同的数，两数和为偶数的概率为 （ ） A．0.2 B．0.4 C．0.6 D．0.3 4．已知平面向量 ， 满足| 2 | ，| |＝3，若cos ， ，则| |＝ （ ） A．1 B．2 C． D． 5．某学校在举行的“新冠肺炎抗疫知识竞答”活动中，随机抽取了30 名学生，统计了他 们的测试成绩（单位：分），并得到如表所示的数据，设这30 名学生的测试成绩的中 位数为m，众数为n，平均数为，则 （ ） 测试成绩 40 50 60 70 80 90 100 （分） 人数 1 1 1 2 10 9 6 A． B． C． D． 6．2021 年7 月，某文学网站对该网站的数字媒体内容能否满足读者的需要进行了调查， 调查部门随机抽取了360 名读者，所得情况统计如表所示： 记满意为10 分，一般为5 分，不满意为0 分． 设命题p：按分层抽样方式从不满意的读者中抽取5 人，则退休族应抽取2 人； 命题q：样本中上班族对数字媒体内容满意程 度的方差为12.5．则下列命题中为真命题的 是 （ ） A. p 且q B．￢p 且q C．p 且￢q D．￢p 且￢q 7．如图，在直角梯形ABCD 中，AD∥BC，AB⊥BC，AD＝1，BC＝2，P 是线段AB 上的动 点，则 的最小值为 （ ） A． B． C．6 D．4 8．设平面向量 ( ,1) m a m  � ， (2, ) n b n  � ，其中m ， {1 n ，2，3，4} ．记 “使得 ( ) m m n a a b   � 成立的( , ) m n ”为事件A ，则事件A 发生的概率为 ( ) A．1 2 B．1 4 C．1 8 D．1 16 二．多选题（共4 小题，每小题5 分，有漏选得3 分，有错选得0 分） 9．抛掷一枚骰子1 次，记“向上的点数是4，5，6”为事件A，“向上的点数是1，2”为事 件B，“向上的点数是1，2，3”为事件C，“向上的点数是1，2，3，4”为事件D，则 下列关于事件A，B，C，D 判断正确的有 （ ） A．A 与B 是互斥事件但不是对立事件B．A 与C 是互斥事件也是对立事件 C．A 与D 是互斥事件 D．C 与D 不是对立事件也不是互斥事件 10．在△ABC 中，角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知（b+c）：（c+a）：（a+b） ＝4：5：6，下列结论正确的是 （ ） A． B． C．若c＝6，则△ABC 的面积是 D．若b+c＝8，则△ABC 的外接圆半径是 11．如图，在△ABC 中，AD，BE，CF 分别是边BC，CA，AB 上的中线，它们交于点G， 则下列选项正确的是 （ ） 满意程度 学生族 上班族 退休族 满意 60 100 80 一般 10 40 20 不满意 10 20 20 A. B． C． D． 12．点O 在△ABC 所在的平面内，则以下说法正确的有 （ ） A．若 ，则点O 为△ABC 的重心 B．若 ，则点O 为△ABC 的垂心 C．若 ，则点O 为△ABC 的外心 D．若 ，则点O 为△ABC 的内心 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题（共4 小题，每小题5 分） 13．某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不同型号的产品，产量分别为200，400，300，100 件． 为检验产品的质量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取60 件进行检验，则 应从丙种型号的产品中抽取 件． 14．在△ABC 中，AC＝3，3sinA＝2sinB，且 ，则AB＝ ． 15．如图所示，遥感卫星发现海面上有三个小岛，小岛B 位于小岛 A 北偏东75距离60 海里处，小岛B 北偏东15距离 30 3 30  海里 处有一个小岛C ．则小岛A 到小岛C 的距离为． 16．甲、乙两人参加普法知识竞赛，共有5 个不同题目，选择题3 个，判断题2 个，甲、 乙两人各抽一题．若甲、乙两人中有一个抽到选择题，另一个抽到判断题的概率为；若 甲、乙两人中至少有一人抽到选择题的概率为 ． 四．解答题（共6 小题） 17．从甲、乙两名学生中选拔一人参加射击比赛，现对他们的射击水平进行测试，两人在 相同条件下各射靶10 次，每次命中的环数如下： 甲：7，8，6，8，6，5，9，10，7，4； 乙：9，5，7，8，7，6，8，6，7，7．你认为应该选哪名学生参加比赛？为什么？ 18 ．已知在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，在条件① ，② ，中任选一个，做出解答． （1）求角B 的大小； （2）若 ，试判断△ABC 的形状． 19．如图，已知四边形ABCD ，A ，B ，C ，D 四点共圆，且 5 AB ， 2 BC ， 4 cos 5 ABC   ． （1）若 5 sin 5 ACD   ，求AD 的长； （2）求四边形ABCD 周长的最大值． 20．甲乙两人轮流投篮，每人每次投一球，约定甲先投且先投中者获胜，一直到有人获胜 或每人都已投球3 次时投篮结束，设甲每次投篮投中的概率为 ，乙每次投篮投中的概率 为 ，且各次投篮互不影响． （1）求甲乙各投球一次，比赛结束的概率； （2）求甲获胜的概率． 21 ．如图，直角梯形 ABCD ， / / AB CD ， AB AD  ， 1 2 2 AD DC AB   ． （1）设线段BC 的中点为M 且AM AB AD     � ，求和的值； （2）若点P 在线段BC 上且 4 5 | | 3 AP  � ，求满足BP tBC  � 的实数t 的值． 22．近年来，在新高考改革中，打破文理分科的“3+3 模式初露端倪，其中，语、数、英 三门为必考科目，剩下三门为选考科目（物理、化学、生物、政治、历史、地理）．选考 科目采用赋分”，即原始分不直接使用，而是按照学生在本科目考试的排名来划分等级， 并以此打分得到最后的得分，假定某省规定：选考科目按考生原始分数从高到低排列，按 照占总体15%，35%，35%，13%和2%划定A、B、C、D、E 五个等级，并分别赋分为90 分、80 分、70 分、60 分和50 分．该省某高中高一（1）班（共40 人）进行了一次模拟考 试选考科目全考，单科全班排名），已知这次模拟考试中历史成绩满分100 分）的频率分 布直方图和地理成线的成绩单如下所示，李雷同学这次考试中历史82 分，地理70 多分． 地理成绩 48 44 43 52 53 53 61 61 62 63 64 65 71 72 73 73 73 74 75 75 76 76 77 78 82 83 83 85 85 85 86 86 88 88 89 91 92 93 93 96 （1）采用赋分制后，求李雷同学历史成的最终得分； （2）采用赋分制后，若李雷同学地理成绩的最终得分为 80 分，那么他地理成绩的原始分的所有可能值是多少？ （3）若韩梅同学必选历史，从地理、政治、物理、化学、 生物五科中等可能地任选两科，则她选考科目中包含地 理的概率是多少？ 兰州一中2021-2022-2 学期高一数学4 月月考参考答案 一．选择题（共8 小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C B B B D A C C 二．多选题（共4 小题） 题号 9 10 11 12 答案 ABD ACD ABD AC 三．填空题（共4 小题） 13． 18 . 14． ． 15． ． 16．（1） ．(2） ． 四．解答题（共6 小题） 17．【解答】（1）由数据得： ， ， ， （7﹣7）2+（7﹣7）2]＝1.2． 甲乙两人平均成绩一样，乙的方差小于甲的方差，说明乙的成绩更稳定，应该选乙参加 比赛． 18.【解答】解：（1）选① ， ∴ ， ∴ ， ∵B∈（0，π）， ∴sinB＞0，则cosB＞0， ∴ ； 选②（2a﹣c）cosB＝bcosC， 由余弦定理得： ∴ ，∵B∈（0，π），∴ ； （2） ， 由余弦定理可得（a-b）(c 2 +b 2 -a 2 )=0 ∴a=b 或c 2+b 2-a 2 =0 所以△ABC 为直角三角形或等腰三角形． 19. 【 解 答 】 （ 1 ） 在 ABC  中 ， 由 余 弦 定 理 得 2 2 2 2 2 4 2 cos 5 2 2 5 2 ( ) 45 5 AC AB BC AB BC ABC            ，得 3 5 AC  ， 因为 4 cos 5 ABC   ，0 ABC    ，所以 3 sin 5 ABC   ， 因为A ，B ，C ，D 四点共圆，所以 ABC  与 ADC  互补， 所以 3 sin 5 ADC  ， 4 cos 5 ADC   ， 在ACD  ，由正弦定理得： sin sin AD AC ACD ADC    ， 所以 5 3 5 sin 5 5 3 sin 5 AC ACD AD ADC        ． （2）因为四边形ABCD 的周长为 7 DC DA BC BA DC DA       ， 在ACD  中，由余弦定理得： 2 2 2 2 cos AC DA DC DA DC ADC       ， 即 2 2 2 2 2 2 8 18 18 1 45 ( ) ( ) ( ) ( ) 5 5 5 2 10 DA DC DA DC DA DC DA DC DA DC DA DC DA DC              … 所以 2 ( ) 450 DA DC  „ ， 所以 15 2 DA DC  „ ，当且仅当 15 2 2 DA DC   时，( ) 15 2 max DA DC   ， 所以四边形ABCD 周长的最大值为 15 2 7  ． 20. 【解答】设事件Ak＝“甲在第k 次投篮投中“，其中k＝1，2，3， 设事件Bk＝“乙在第k 次投篮投中“，其中k＝1，2，3， （1）记“甲乙各投中一次，比赛结束”这事件C，C ，事件 与事件B1相互独立，根据事件独立性定义得： P（C）＝P（ ）＝（1﹣P（A1））P（B1）＝（1 ） ， ∴甲乙各投球一次，比赛结束的概率为 ． （2）记“甲获胜”为事件D，D ， 由互斥事件概率加法公式得： P （ D ） ＝ P （ ） ＝P（A1）+P（ ）P（ ）P（A2）+P（ ）P（ ）P（ ）P（ ）P（ ）P （A3） ， ∴甲获胜的概率为 ． 21．【解答】（1）如图，以A 为原点，AB � ，AD � 方向为x ，y 轴正方向建立平面直角坐 标系，则 (0,0) A ， (4,0) B ， (0,2) D ， (2,2) C ， (3,1) M ， AM AB AD     � ，即(3 ，1) (4   ，0) (0   ，2) (4  ，2 ) ， 4 3   且2 1 ，  3 4  ， 1 2  ． （2） ( 2,2) BC  � ，则 ( 2 ,2 )(0 1) BP tBC t t t   � „ „ ， 则 (4 2 ,2 ) AP AB BP t t     � ，  4 5 | | 3 AP  � ， 2 2 4 5 (4 2 ) (2 ) 3 t t    ， 解得 4 3 t  （舍) 或 2 3 t  ， t 值为2 3 ． 22．【解答】（1）由频率分布直方图知， 80 分以上的占总体的（0.005+0.010）×10＝15%，属于A 级， ∵李雷同学这次考试中历史82 分，大于80 分， ∴李雷同学历史成绩的最终得分为90 分． （2）∵40 名学生中，赋分90 分的有40×15%＝6 人，这六人成绩分别为89，91，92， 93，93，96， 赋分80 分的有40×35%＝14 人，其中包含80 多分的共有10 人， 70 多分的有4 人，分数分别为76，76，77，78， ∵若李雷同学地理成绩的最终得分为80 分，且地理70 多分， ∴李雷同学地理的原始成绩的可能值为76，77，78． （3）设选考科目中包含地理为事件A， ∵基本事件总数为 10， 事件A 包含的基本事件数为4， ∴P（A） ， 则她选考科目中包含地理的概率是 ．