甘肃省兰州市第一中学2021-2022学年高一下学期 期中考试 数学试题

兰州一中2021-2022-2 学期期中考试试题 高一数学 说明：本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分. 总分150 分, 考试时间120 分钟. 第Ⅰ 卷（选择题共60 分） 一．单选题（共8 小题，每小题5 分）           1．已知向量a , b ，且 AB  a  2b ，BC  5a  6b ，CD  7a  2b ，则一定共线的三点是（ ） A．A，B，D B．A，B，C C．B，C，D D．A，C，D 2. 已知sin  sin   1 ， cos  cos    2 2 ， ，   (0,  ) ，则    （ ） A.   3 B.   3 2 C．  D．   3 6 3 3 3.下列命题中是真命题的有（ ） A. 一组数据2，1，4，3，5，3 的平均数、众数、中位数相同； B. 有A、B、C 三种个体按3：1：2 的比例分层抽样调查，如果抽取的A 个体数为9，则 样本容量为30； C. 若甲组数据的方差为5 ，乙组数据为5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲； D ．一组数1，2，2，2，3，3，3，4，5，6 的80% 分位数为4.           4. 已知向量a ，b 满足 a  4, b  1, 2 2  ，且a  2b   3a  b  ．则向量a 与向 量b 的夹角是（ ） A．  B．  C． 2 D． 5 6 3 3 6 5. 从2，3，5，7 这四个数中任取三个数组成无重复数字的三位数，则这个三位数是奇数的 概率为（ ） A. 1 3 B. 2 3 C. 3 4 D. 5 6 6． 2 cos 20 cos 40  （ ） 2 sin 40 A. 3 2   B. 1 2 C．      D． 1 3   7. 已知i , j 为互相垂直的单位向量， a  i  2 j , b  3i    4 j ，且a 与a  b 的夹角 为锐角，则 的取值范围为（） 3  A． 0,  B． 0,10 10,  C．  ,0 D．  , 2  2, 0 8. 函数 f  x  sinx  cosx(  0) 在区间 ,  上单调递减,则实数 的取值范围是（） A．  1 ,1 B．  0, 1   2  C．  1 , 5  D． 0,1  2   2   2 4  二．多选题（共4 小题，每小题5 分，有漏选得3 分，有错选得0 分） 9．已知事件 A, B ，且 P  A  0.4 ， P(B)  0.3 ，则（ ） A ．如果B  A ，那么P( A  B)  0.4 , P( AB)  0.3 B. 如果A 与B 互斥，那么P( A  B)  0.7 , P( AB)  0 C. 如果A 与B 相互独立，那么P( A  B)  0.7 ，P( AB)  0.12 D. 如果A 与B 相互独立，那么P( AB)  0.42 , P( AB)  0.18 10. 已知某地区有小学生120000 人，初中生75000 人，高中生55000 人，当地教育部门为 了了解本地区中小学生的近视率，按小学生、初中生、高中生进行分层抽样，抽取一个容量为 2000 的样本，得到小学生，初中生，高中生的近视率分别为30% ，70% ，80% ．下列说法 中正确的有（ ） A．从高中生中抽取了440 人 B．每名学生被抽到的概率为 1 150 C ．估计该地区中小学生总体的平均近视率为53% D.估计高中学生的近视人数约为44000 11. 下列命题中是真命题的有（ ） A. 存在 ， ，使tan      tan  tan  B. 在ABC 中，若sin2A  sin 2B ，则ABC 是等腰三角形 C. 在ABC 中，“ A  B ”是“ sin A  sin B ”的充要条件 D. 在ABC 中，若cos A  5 ，cos B  3 则cos C 的值为 63 13 5 65 12. 在ABC 中，角 A ， B ， C 所对的对边分别为a ， b ， c ，下列命题中正确的是（） A. 若A  B  C ，则sin A  sin B  sin C B. 若a  40 ，b  20 ，B  25 ，则满足条件的ABC 有且仅有一个 C. 若a  b cos C ，则ABC 是直角三角形 D. 若ABC 为锐角三角形，且cos 2A  3 sin A  2  0 .若b  c  6 ，则ABC 外接圆面积 的最小值为9 3 6 3 第Ⅱ卷（非选择题） 三．填空题（共4 小题，每小题5 分） 13. 已知数据x , x , x ,, x 的方差为8 ，则数据 1 x  5, 1 x  5, 1 x  5, , 1 x  5 的方 1 2 3 n 差为 . 2 1 2 2 2 3 2 n 14．已知sin       2 ，则cos  2  2  .       3    π  15. 关于 x 的方程 3 sin x cos x  cos2 x  k  1 在 x   0, 2  上有两个解，则实数 k 的取值范围为 ．       16. 设| AB | 20 ，若平面上点P 满足，对于任意t  R ，有| AP  t AB | 5 ，则PA  PB 的最小值 为 ． 四、解答题 17．（10 分）如图，在ABC 中， AD  1 AB  1， AC  2 ，BAC  60 ，点 E 是CD 的中 点， 3   记AB  a ，AC  b ．     (1)用a , b 表示CD , AE ； (2)求AED 的余弦值． 18．甲、乙两所学校之间进行排球比赛，采用五局三胜制（先赢3 局的学校获胜，比赛结束）． 约 定比赛规则如下：先进行两局男生排球比赛，后进行女生排球比赛．按照以往比赛经验，在 2 1 男生排球比赛中，每局甲校获胜的概率为3 ，乙校获胜的概率为3 ，在女生排球比赛中，每 1 2 局甲校获胜的概率为3 ，乙校获胜的概率为3 ，设各局比赛相互之间没有影响且无平局． (1)求恰好比赛3 局，比赛结束的概率； (2)求甲校以3:1 获胜的概率． 19．2021 年秋季学期，某省在高一推进新教材，为此该省某市教育部门组织该市全体高中 教师在暑假期间进行相关学科培训，培训后举行测试（满分 100 分），从该市参加测试的数 3 学老师中抽取了 100 名老师并统计他们的测试分数，将成绩分成五组，第一组[65，70），第 二组[70，75），第三组[75，80），第四组[80，85），第五组[85，90]，得到如图所示的频率 分布直方图． (1) 求a 的值以及这100 人中测试成绩在[80，85）的人数； (2)估计全市老师测试成绩的平均数（同组中的每个数据都用该组区间中点值代替）和中位 数（保留两位小数）； (3) 若要从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6 人作学习心得交流分享，并在这6 人中再抽取2 人担当分享交流活动的主持人，求第四组至少有1 名老师被抽到的概率． 20 ．已知函数f  x  1 2 3 sin x cos x  2 cos2 x ． (1) 求函数f  x 的单调减区间；(2) 当x   7 , 5  时，求函数f  x 的值域．  12 12  21. 如图所示，在海岸A 处发现北偏东45° 方向，距A 处 1 海里的B 处有一艘走私船， 在 A 处北偏西 75°方向，距 A 处 2 海里的 C 处的我方缉私船，奉命以20 海里/小时的速度 追截走私船，此时走私船正以20 海里/ 小时的速度，从B 处向北偏东30°方向逃窜．问：缉 私船应沿什么方向行驶才能最快截获走私船?并求出所需时间． 21. 已知ABC 中，a，b，c 分别为角A，B，C 的对边，且2a  bcosC  ccosB (1) 求角C； (2)若a  2 , b  3 , CD 为角C 的 平 线，求CD 的长； (3)若a cos B  bcosA  4 ，求锐角ABC 面积的取值范围. 3 高一期中考试数学答案 参考答案与试题解析 一．选择题（共8 小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 A C A C C A B C 二．多选题（共4 小题） 题号 9 10 11 12 答案 ABD ACD AC ACD 三．填空题（共4 小题） 13．2. ． ． 16．-75． 四．解答题（共6 小题） 17． 【答案】(1) ， . (2) 【解析】 (1)根据题意，利用向量的加法的线性运算，直接计算即可. (2)根据题意，得 ， ，且 ，由(1)得， ， ，所以，可以分别求出 ，然后，直接利用余弦定理 即可求出 的余弦值 (1)因为 是 的中点， ，所以， ， . . (2)在 中， ， ， ， 所以， ， ，且 ， 所以， ， ， 是 的中点，所以， . 因此，在 中， ， ， ，利用余弦定理得， . 18. 【答案】(1) (2) 【解析】 （1）分甲校获胜和乙校获胜两种情况讨论，利用独立事件和互斥事件的概率公式可求得所 求事件的概率； （2 ① ）分两种情况讨论： 前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜； ②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜，利用独立事件与互斥 事件的概率公式可求得所求事件的概率. (1) 解：恰好比赛局，比赛结束的情况有： 甲校获胜，概率为 ， 乙校获胜，概率为 ， 恰好比赛局，比赛结束的概率 ． (2) 解：甲校以 获胜的情况有： ①前两局男排比赛中甲全胜，第三局比赛甲负，第四局比赛甲胜， 概率为： ； ②前两局男排比赛中甲胜负，第三局比赛甲胜，第四局比赛甲胜， 概率为 ， 甲校以 获胜的概率 ． 19. 【答案】(1) ;20； (2) 分,76.67 分 (3) 【解析】 （1）根据频率之和为1，可求得a 的值，根据频数的计算可求得测试成绩在[80，85）的 人数； （2）根据频率分布直方图可计算中位数，即可求得第50%分数位； （3）列举出所有可能的抽法，再列出第四组至少有1 名老师被抽到可能情况，根据古典概 型的概率公式求得答案. (1)由题意得： ，解得 ； 这100 人中测试成绩在[80，85）的人数为 （人）； (2)平均数为： （分）， 设中位数为m,且 ，则 ， 解得 ，故第50%分数位76.67 分； (3)第三组频率为 ，第四组频率为 ， 第五组频率为 ， 故从第三、四、五组老师中用分层抽样的方法抽取6 人作学习心得交流分享， 三组人数为3 人，2 人和1 人， 记第三组抽取的人为 , 第四组抽取的人为 , 第五组抽取的人为 , 则抽取2 人的所有情况如下： 共15 种， 其中第四组至少有1 名老师被抽到的抽法有 共9 种， 故第四组至少有1 名老师被抽到的概率为 . 20. 【 【答案】(1)单调减区间是 ， (2) 【解析】 （1）先对函数化简变形得 ， 由 ， 可求出函数的减区间， （2）由 ，得 ，再利用正弦函数的性质可求出函数的值域 (1) ， ， ， 令 ， ， 解得 ， ， 所以函数的单调减区间是 ， ； (2 由 ，得 ， 所以 ，所以 ， 所以函数的值域为 21． 【答案】缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 小 时. 【解析】在 中，由余弦定理求得 ，由正弦定理求得 ，在 中，由正弦 ∠ 定理求得 BCD，得 ，由速度公式可得时间． 【详解】 设缉私船应沿CD 方向行驶t 小时，才能最快截获（在D 点）走私船， 则 海里，BD=20t 海里． 在 中，由余弦定理，有 则 . 又 ， ， ∠ ∴ ABC=45°，故B 点在C 点的正东方向上． ∠ ∴ CBD=90°+30°=120°，在 中，由正弦定理得， ， ， ∠ ∴ BCD=30°，则缉私船应沿北偏东60°的方向行驶． 又在 ∠ 中， CBD=120 ∠ ， DCB=30° ∴∠ ， CDB=30， . ，解得 ， 故缉私船应沿北偏东60°的方向行驶，才能最快截获走私船，大约需要 小时． 22． 【答案】(1) (2) (3) (1)解：由 及正弦定理得 所以 ∴ ∴ ， ∵ ∴ ， (2)解：设 由 得 . 解得 ，即角平分线 的长度为 (3)解：设 外接圆半径为R，由 ，即 ，即 ∴ ， 所以 的面积 ∵ ∴ ， ， ∴ ∵ ， ， ， ∴ ， ∴ ， ∴ ∴ ， ， ∴