贵州省黔东南州凯里市第一中学2022-2023学年高二上学期12月月考数学试题

（北京）股份有限公司 凯里一中2022—2023 学年度第一学期12 月月考 高二数学试卷 （满分：150 分 时间：120 分钟） 注意事项： 1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无 效. 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求.） 1.若集合 ， ，则 A. B. C. D. 2.已知复数 （是虚数单位），则 对应的点在 A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.在 中，点 在边 上，且 ，则 A. B. C. D. 4.已知实数 ， 满足 ，则 的最小值为 A.1 B.2 C.4 D.6 5.从3 名男教师，2 名女教师中任意抽取两名进行核酸检测，则抽取的两人中至少有一名为女教师的概率是 A. B. C. D. （北京）股份有限公司 6.直线 与圆 的位置关系是 A.相交 B.相离 C.相切 D.无法确定 7.设 ， ， ，则 ， ， 大小关系是 A. B. C. D. 8.已知双曲线 ，则该双曲线的离心率的取值范围是 A. B. C. D. 二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题满分5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求，全部选对的得5 分，选对但不全的得2 分，有选错的得0 分.） （北京）股份有限公司 9.若“ ”是“ ”的必要不充分条件，则实数 的值可以是 A. B. C. D.2 10.在正方体 中，下列说法中正确的是 A. B. C. 与平面 所成的角为 D. 与平面 所成的角为 11.已知函数 在区间 内恰有4 个零点，则下列说法正确的是 A. 在 内有两处取到最小值 B. 在 内有3 处取到最大值 C. D. 在 内单调递增 12.已知椭圆 的离心率 ， 的三个顶点都在椭圆上，设它的三条边 ， ， 的中点分别为 ， ， ，且三条边所在直线的斜率分别为 ， ， ，且 ， ， 均不 为0， 为坐标原点，则 A. B.直线 与直线 的斜率之积为 C.直线 与直线 的斜率之积为 D.若直线 ， ， 的斜率之和为1，则 三、填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分.） 13.双曲线 的渐近线方程为________. （北京）股份有限公司 14.抛物线 的焦点坐标是________. 15.已知点 ， ，点 是圆 上的任意一点，则 的最大值是_____ __. 16.已知函数 ， 的定义域为 ，若对 ， ， ， 成立，且 ，则 __________. 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） （北京）股份有限公司 17.（本小题满分10 分）已知函数 ， . （1）求 的最小正周期； （2）若 ，求 的最大值和最小值. 18.（本小题满分12 分）已知点 在圆 上 （1）求 的取值范围 （2）求 的最大值和最小值 19.（本小题满分12 分）牯藏节是苗族的传统节日，西江苗寨为了丰富居民的业余生活，举办了关于牯藏节 的知识竞赛，比赛共分为两轮.在第一轮比赛中，每一位选手均需要参加两关比赛，若在两关比赛均达标，则 进入第二轮比赛.已知在第一轮比赛中，选手 ， 第一关达标的概率分别为 ， ；第二关达标的概率分 别是 ， ， ， 在第一轮的每关比赛中是否达标互不影响. （1）分别求出 ， 进入第二轮比赛的概率； （2）若 ， 两人均参加第一轮比赛，求两人中至少有一人进入第二轮比赛的概率. 20.（本小题满分12 分）如图所示，底面 是边长为2 的菱形，且 ， 平面 . （1）若 为线段 上的任意一点，求证 ； （2）若 为线段 上的中点，且 ，求直线 与平面 所成的角的正弦值. 21.（本小题满分12 分）已知 ， 分别是椭圆 （ ， ）的左右两个焦点， 为 椭圆上任意一点， （北京）股份有限公司 （1）若 ， 的最大值为12，求 的值； （2）若 ，直线 与椭圆 相交于 ， 两个不同的点，且 （ 为坐标原点）， 求椭圆若 的方程. 22.（本小题满分12 分）已知 ， . （北京）股份有限公司 （1）若 ，则对 ， ，使 成立，求 的取值范围； （2）若对 ， 恒成立，求 的取值范围. 凯里一中2022—2023 学年度第一学期12 月份月考 高二数学参考答案 一、单项选择题 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 选项 D B D C C A B C 二、多项选择题 题号 9 10 11 12 选项 ABC ABD ACD CD 三、填空题 题号 13 14 15 16 选项 12 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.） 17.解：（1） 所以最小正周期 . （2） ，则 ， 当 ，即 时， . 当 ，即 时， . （北京）股份有限公司 18.解：（1）由题知： ，如图所示 （北京）股份有限公司 的几何意义为圆上一点 与点 连线的斜率，则 的取值范围是 . （2）设 ，则 由圆心到直线的距离小于等于半径得 ，即 所以 的最大值为 ，最小值为 . 19.解：（1）由选手 ， 第一关达标的概率分别为 ， ；第二关达标的概率分别是 ， ，记“ ， 进入第二轮比赛”分别为事件 和事件 ，则 （2）记“两人中至少有一人进入第二轮比赛”为事件 ，则 . 20.解：（1）连接 ，由底面 是边长为2 的菱形，则 ， 由 平面 ， 平面 ，所以 ， 由 ，所以 平面 又由 平面 ，所以 . （北京）股份有限公司 （2）作 的中点 ，连接 ，由 ，则 ，由 平面 ，则 ， ， 两两垂直，如图，以 为原点，分别以 ， ， 所在直线 ， ， 轴，建立空间直角 坐标系 . （北京）股份有限公司 则 ， ， ， ， ， 设平面 的一个法向量为 则 即 令 得 设直线 与平面 所成的角为 ， 则 所以直线 与平面 所成的角的正弦值为 . 21. 解：（1 ）由 ，则 ，由 的最大值为12 ，则 ，即 解得 或 所以 或 . （2）若 ，由 消去 得 （北京）股份有限公司 设 ， ，则 即 或 由 则 ，所以 ，解得 所以椭圆 的方程为 . 22.解：（1）由 ，则 由 ，则 ， ，使 成立，则 解得 ，所以 的取值范围是 . （2）由 ，则 ，即 ，又由 ， 则 ，所以 ，则 的取值范围是 .