2019年高考数学试卷（理）（天津）（解析卷）

1/21 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 本试卷分为第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，共150 分，考试用时120 分钟。第Ⅰ卷 1 至2 页，第Ⅱ卷3 至5 页。 答卷前，考生务必将自己的姓名、准考号填写在答题卡上，并在规定位置粘贴考试用条形码。答卷时， 考生务必将答案涂写在答题卡上，答在试卷上的无效。考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 祝各位考生考试顺利！ 第Ⅰ卷 注意事项： 1．每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再 选涂其他答案标号。 2．本卷共8 小题，每小题5 分，共40 分。 参考公式： ·如果事件 、 互斥，那么 ． ·如果事件 、 相互独立，那么 ． ·圆柱的体积公式 ，其中 表示圆柱的底面面积， 表示圆柱的高． ·棱锥的体积公式 ，其中 表示棱锥的底面面积， 表示棱锥的高． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．设集合 ，则 A． B． C． D． 2．设变量 满足约束条件 则目标函数 的最大值为 A．2 B．3 C．5 D．6 1/21 3．设 “ ，则 ” “ 是 ”的 A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 2/21 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 4．阅读下边的程序框图，运行相应的程序，输出 的值为 A．5 B．8 C．24 D．29 5．已知抛物线 的焦点为 ，准线为，若与双曲线 的两条渐近线分 别交于点 和点 ，且 （ 为原点），则双曲线的离心率为 A． B． C． D． 6．已知 ， ， ，则 的大小关系为 A． B． C． D． 7．已知函数 是奇函数，将 的图象上所有点的横坐标 伸长到原来的2 倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为 ．若 的最小正周期为 ，且 2/21 ，则 A． B． C． D． 8．已知 ，设函数 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 的取值范围为 3/21 A． B． C． D． 2019 年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷） 数学（理工类） 第Ⅱ卷 注意事项： 1．用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上。 2．本卷共12 小题，共110 分。 二．填空题：本大题共6 小题，每小题5 分，共30 分． 9．是虚数单位，则 的值为_____________． 10． 的展开式中的常数项为_____________． 11．已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 ．若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四 条侧棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_____________． 12．设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为_____________． 13．设 ，则 的最小值为_____________． 14．在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上， 且 ，则 _____________． 三．解答题：本大题共6 小题，共80 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤． 15．（本小题满分13 分） 在 中，内角 所对的边分别为 ．已知 ， ．（Ⅰ）求 3/21 的值； （Ⅱ）求 的值． 16．（本小题满分13 分） 4/21 设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为 ．假定甲、乙两位同学到校情况互不 影响，且任一同学每天到校情况相互独立． （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期 望； （Ⅱ）设 “ 为事件上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校 的天数恰好多2”，求事件 发生的概率． 17．（本小题满分13 分） 如图， 平面 ， ， ． （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长． 18．（本小题满分13 分） 设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 ．已知椭圆的短轴长为4，离心率为 ． （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的 负半轴上．若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率． 4/21 19 ．（本小题满分14 分）设 是等差数列， 是等比数列．已知 ． （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 其中 ． 5/21 （i）求数列 的通项公式； （ii）求 ． 20．（本小题满分14 分） 设函数 为 的导函数． （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，证明 ； （Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 ． 一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 【答案】D 【解析】 【分析】 先求 ，再求 。 【详解】因为 ， 所以 . 故选D。 【点睛】集合的运算问题，一般要先研究集合中元素的构成，能化简的要先化简，同时注意数形结合，即 借助数轴、坐标系、韦恩图等进行运算． 2.设 5/21 【答案】C 【解析】 【分析】 6/21 画出可行域，用截距模型求最值。 【详解】已知不等式组表示的平面区域如图中的阴影部分。 目标函数的几何意义是直线 在 轴上的截距， 故目标函数在点 处取得最大值。 由 ，得 ， 所以 。 故选C。 【点睛】线性规划问题，首先明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域，分界线是实线还是虚线，其次 确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等， 最后结合图形确定目标函数最值或范围．即：一画，二移，三求． 3. 【答案】B 【解析】 【分析】 分别求出两不等式的解集，根据两解集的包含关系确定. 【详解】 ，即 ， 等价于 ，故 推不出 ； 由 能推出 。 故“ ”是“ ”的必要不充分条件。 6/21 故选B。 7/21 【点睛】充要条件的三种判断方法： (1)定义法：根据p⇒q，q⇒p 进行判断； (2)集合法：根据由p，q 成立的对象构成的集合之间的包含关系进行判断； (3)等价转化法：根据一个命题与其逆否命题的等价性，把要判断的命题转化为其逆否命题进行判断．这个 方法特别适合以否定形式给出的问题． 4.【答案】B 【解析】 【分析】 根据程序框图，逐步写出运算结果。 【详解】详解： ， 结束循环，故输出 。 故选B。 【点睛】解决此类型问题时要注意：①要明确是当型循环结构，还是直到型循环结构，根据各自的特点执 行循环体；②要明确图中的累计变量，明确每一次执行循环体前和执行循环体后，变量的值发生的变化； ③要明确循环体终止的条件是什么，会判断什么时候终止循环体． 5. 【答案】D 【解析】 【分析】 只需把 用 表示出来，即可根据双曲线离心率的定义求得离心率。 【详解】的方程为 ，双曲线的渐近线方程为 ， 故得 ， 所以 ， ， ， 7/21 所以 。 故选D。 8/21 【点睛】双曲线 的离心率 。 6 【答案】A【解析】 【分析】 利用利用 等中间值区分各个数值的大小。 【详解】 ， ， ，故 ， 所以 。 故选A。 【点睛】利用指数函数、对数函数的单调性时要根据底数与的大小区别对待。 7. 【答案】A 【解析】 【分析】 只需根据函数性质逐步得出 值即可。 【详解】 为奇函数，可知 ， 由 可得 ； 把其图象上各点的横坐标伸长到原来的 倍，得 ， 由 的最小正周期为 可得 ， 8/21 由 ，可得 ， 所以 ， 。 故选C。 【点睛】在 处有定义的奇函数必有 。 9/21 8.【答案】C 【解析】 【分析】 先判断 时， 在 上恒成立；若 在 上恒成立，转化为 在 上恒成立。 【详解】首先 ，即 ， 当 时， ， 当 时， ， 故当 时， 在 上恒成立； 若 在 上恒成立，即 在 上恒成立， 令 ，则 ， 易知 为函数 在 唯一的极小值点、也是最小值点， 故 ，所以 。 综上可知， 的取值范围是 。 故选C。 【点睛】 在 上恒成立，等价于 ； 在 上恒成立，等价于 。 第Ⅱ卷 9/21 二.填空题：本大题共6 小题. 9. 是虚数单位，则 的值为________. 【答案】 【解析】【分析】 先化简复数，再利用复数模的定义求所给复数的模。 10/21 【详解】解法一： 。 解法二： 。 【点睛】所以解答与复数概念或运算有关的问题时，需把所给复数化为代数形式，即a＋bi(a，b∈R)的形 式，再根据题意求解． 10. 是展开式中的常数项为________. 【答案】 【解析】 【分析】 根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出 的值，再求出其常数项。 【详解】 ， 由 ，得 ， 故所求的常数项为 . 【点睛】二项式中含有负号时，要把负号与其后面的字母看作一个整体，计算中要特别注意符号。 11.已知四棱锥的底面是边长为 的正方形，侧棱长均为 .若圆柱的一个底面的圆周经过四棱锥四条侧 棱的中点，另一个底面的圆心为四棱锥底面的中心，则该圆柱的体积为_______. 【答案】 【解析】 【分析】 根据棱锥的结构特点，确定所求的圆柱的高和底面半径。 10/21 【详解】四棱锥的高为 ，故圆柱 高为，圆柱的底面半径为 ， 故其体积为 。 【点睛】圆柱的底面半径是棱锥底面对角线长度的一半、不是底边棱长的一半。 的 11/21 12.设 ，直线 和圆 （ 为参数）相切，则 的值为____. 【答案】 【解析】 【分析】 根据圆的参数方程确定圆的半径和圆心坐标，再根据直线与圆相切的条件得出 满足的方程，解之解得。 【详解】圆心坐标为 ，圆的半径为 ， 所以 ， 即 ， 解得 。 【点睛】直线与圆的位置关系可以使用判别式法，但一般是根据圆心到直线的距离与圆的半径的大小作出 判断。 13.设 ，则 的最小值为______. 【答案】 【解析】 【分析】 把分子展开化为 ，再利用基本不等式求最值。 【详解】 ，等号当且仅当 ，即 时成立。 11/21 故所求的最小值为 。 【点睛】使用基本不等式求最值时一定要验证等号是否能够成立。 14.在四边形 中， ，点 在线段 的延长线上， 且 ，则 _________. 12/21 【答案】 【解析】 【分析】 可利用向量的线性运算，也可以建立坐标系利用向量的坐标运算求解。 【详解】解法一：如图，过点 作 的平行线交 于 ， 因为 ，故四边形 为菱形。 因为 ， ，所以 ，即 . 因为 ， 所以 . 解法二：建立如图所示的直角坐标系，则 ， 。 因为 ∥ ， ，所以 ， 因为 ，所以 ， 所以直线 的斜率为 ，其方程为 ，直线 的斜率为 ，其方程为 12/21 。 由 得 ， ， 所以 。 13/21 所以 。 【点睛】平面向量问题有两大类解法：基向量法和坐标法，在便于 建立坐标系的问题中使用坐标方法更为方便。 三.解答题.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 15.在 中，内角 所对 边分别为 .已知 ， . （Ⅰ）求 的值； （Ⅱ）求 的值. 【答案】（Ⅰ） （Ⅱ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意结合正弦定理得到 的比例关系，然后利用余弦定理可得 的值 (Ⅱ)利用二倍角公式首先求得 的值，然后利用两角和的正弦公式可得 的值.【详解】 （Ⅰ）解：在 中，由正弦定理 ，得 ，又由 ，得 ，即 .又因为 ，得到 ， .由余弦定理可得 的 13/21 . （Ⅱ）解：由（Ⅰ）可得 ，从而 ， 14/21 ，故 【点睛】本题主要考查同 角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理､余弦定理等基础 知识.考查计算求解能力. 16.设甲、乙两位同学上学期间，每天7：30 之前到校的概率均为 .假定甲、乙两位同学到校情况互不影 响，且任一同学每天到校情况相互独立. （Ⅰ）用 表示甲同学上学期间的三天中7：30 之前到校的天数，求随机变量 的分布列和数学期望； （Ⅱ）设 为事件“上学期间的三天中，甲同学在7：30 之前到校的天数比乙同学在7：30 之前到校的 天数恰好多2”，求事件 发生的概率. 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ） 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意可知分布列为二项分布，结合二项分布的公式求得概率可得分布列，然后利用二项分布的期望公 式求解数学期望即可； (Ⅱ)由题意结合独立事件概率公式计算可得满足题意的概率值. 【详解】(Ⅰ)因为甲同学上学期间的三天中到校情况相互独立，且每天7:30 之前到校的概率均为 ， 故 ，从面 .所以，随机变量 的分布列为： 0 1 2 3 14/21 随机变量 的数学期望 . (Ⅱ)设乙同学上学期间的三天中7:30 之前到校的天数为 ，则 . 且 . 15/21 由题意知事件 与 互斥， 且事件 与 ，事件 与 均相互独立， 从而由(Ⅰ)知： . 【点睛】本题主要考查离散型随机变量的分布列与数学期望，互斥事件和相互独立事件的概率计算公式等 基础知识.考查运用概率知识解决简单实际问题的能力. 17.如图， 平面 ， ， . （Ⅰ）求证： 平面 ； （Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值； （Ⅲ）若二面角 的余弦值为 ，求线段 的长. 【答案】（Ⅰ）见证明；（Ⅱ） （Ⅲ） 【解析】 15/21 【分析】 首先利用几何体的特征建立空间直角坐标系 (Ⅰ)利用直线BF 的方向向量和平面ADE 的法向量的关系即可证明线面平行； (Ⅱ)分别求得直线CE 的方向向量和平面BDE 的法向量，然后求解线面角的正弦值即可； (Ⅲ)首先确定两个半平面的法向量，然后利用二面角的余弦值计算公式得到关于CF 长度的方程，解方程 可得CF 的长度. 【详解】依题意，可以建立以A 为原点，分别以 的方向为x 轴，y 轴，z 16/21 轴正方向的空间直角坐标系(如图)， 可得 .设 ，则 . (Ⅰ)依题意， 是平面ADE 的法向量， 又 ，可得 ， 又因为直线 平面 ，所以 平面 . (Ⅱ)依题意， ， 设 为平面BDE 的法向量， 则 ，即 ， 不妨令z=1，可得 ， 因此有 . 所以，直线 与平面 所成角的正弦值为 . 16/21 (Ⅲ)设 为平面BDF 的法向量，则 ，即 . 不妨令y=1，可得 . 17/21 由题意，有 ，解得 . 经检验，符合题意｡ 所以，线段 的长为 . 【点睛】本题主要考查直线与平面平行、二面角、直线与平面所成的角等基础知识.考查用空间向量解决立 体几何问题的方法.考查空间想象能力、运算求解能力和推理论证能力. 18.设椭圆 的左焦点为 ，上顶点为 .已知椭圆的短轴长为4，离心率为 . （Ⅰ）求椭圆的方程； （Ⅱ）设点 在椭圆上，且异于椭圆的上、下顶点，点 为直线 与 轴的交点，点 在 轴的负半 轴上.若 （ 为原点），且 ，求直线 的斜率. 【答案】（Ⅰ）（Ⅱ） 或 . 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意得到关于a,b,c 的方程，解方程可得椭圆方程； (Ⅱ)联立直线方程与椭圆方程确定点P 的值，从而可得OP 的斜率，然后利用斜率公式可得MN 的斜率表 达式，最后利用直线垂直的充分必要条件得到关于斜率的方程，解方程可得直线的斜率. 【详解】(Ⅰ) 设椭圆的半焦距为 ，依题意， ，又 ，可得 ，b=2， c=1. 所以，椭圆方程为. (Ⅱ)由题意，设 .设直线 斜率为 ， 的 17/21 又 ，则直线 的方程为 ，与椭圆方程联立 ， 整理得 ，可得 ， 18/21 代入 得 ， 进而直线 的斜率 ， 在 中，令 ，得 . 由题意得 ，所以直线 的斜率为 . 由 ，得 ， 化简得 ，从而 .所以，直线 的斜率为 或 . 【点睛】本题主要考查椭圆的标准方程和几何性质､直线方程等基础知识.考查用代数方法研究圆锥曲线的 性质.考查运算求解能力，以及用方程思想解决问题的能力. 19.设 是等差数列， 是等比数列.已知 . （Ⅰ）求 和 的通项公式； （Ⅱ）设数列 满足 其中 . （i）求数列 的通项公式； （ii）求 . 【答案】（Ⅰ） ； （Ⅱ）（i ） （ii ） 18/21 【解析】 【分析】 (Ⅰ)由题意首先求得公比和公差，然后确定数列的通项公式即可； (Ⅱ)结合(Ⅰ)中的结论可得数列 19/21 的通项公式，结合所得的通项公式对所求的数列通项公式进行等价变形，结合等比数列前n 项和公式可得 的值. 【详解】(Ⅰ)设等差数列 的公差为 ，等比数列 的公比为 . 依题意得 ，解得 ， 故 ， . 所以， 的通项公式为 ， 的通项公式为 .(Ⅱ)(i) . 所以，数列 的通项公式为 . (ii) . 【点睛】本题主要考查等差数列､等比数列的通项公式及其前n 项和公式等基础知识.考查化归与转化思想 和数列求和的基本方法以及运算求解能力. 20.设函数 为 的导函数. （Ⅰ）求 的单调区间； （Ⅱ）当 时，证明 ； 19/21 （Ⅲ）设 为函数 在区间 内的零点，其中 ，证明 . 【答案】（Ⅰ）单调递增区间为 的单调递减区间为 20/21 .（Ⅱ）见证明；（Ⅲ）见证明 【解析】 分析】 (Ⅰ)由题意求得导函数的解析式，然后由导函数的符号即可确定函数 的单调区间；(Ⅱ)构造函数 ，结合(Ⅰ)的结果和导函数的符号求解函数 的最小值即可证得题中的结 论； (Ⅲ)令 ，结合(Ⅰ)，(Ⅱ)的结论、函数的单调性和零点的性质放缩不等式即可证得题中的结果. 【详解】(Ⅰ)由已知，有 . 当 时，有 ，得 ，则 单调递减; 当 时，有 ，得 ，则 单调递增. 所以， 的单调递增区间为 ， 的单调递减区间为 . (Ⅱ)记 .依题意及(Ⅰ)有： ， 从而 .当 时， ，故 【 20/21 . 因此， 在区间 上单调递减，进而 . 21/21 所以，当 时， . (Ⅲ)依题意， ，即 . 记 ，则 . 且 .由 及(Ⅰ)得 . 由(Ⅱ)知，当 时， ，所以 在 上为减函数， 因此 . 又由(Ⅱ)知 ，故： . 所以 . 【点睛】本题主要考查导数的运算､不等式证明､运用导数研究函数的性质等基础知识和方法.考查函数思想 和化归与转化思想.考查抽象概括能力､综合分析问题和解决问题的能力.