广东省广州市番禺区实验中学2022-2023学年高二上学期中段考试数学科试题

1 广州市番禺区实验中学2022---2023 学年度第一学期中段考试 高二级数学科试题 1. 试卷总分：150 分，考试时间：120 分钟 2. 答题前，考生务必在将自己的姓名、班级、考生号、座位号填写在答题卡相应 位置上。 3. 回答第Ⅰ卷（选择题）时，每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题号的 该项涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他选项。 4. 回答第Ⅱ卷（非选择题）时, 请用黑色字迹的签字笔将答案写在答题卡相应 位置上，仅写在试卷上的答案无效。 5. 答题卡上不得使用涂改液或涂改带进行涂改。 一、单选题（本题共8 小题，每小题5 分，共40 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的） 1．直线340 x y − − = 的倾斜角是（ ） A．30 B．60 C．120 D．150 2．复数 ( ) 2 2 i i Z − = ，则Z 等于（ ） A．25 B． 41 C．5 D．5 3．若圆 2 2 2 0 x x y − + = 与圆C 关于直线 0 x y + = 对称，则圆C 的方程为（ ） A． 2 2 2 0 xxy + + = B． 2 2 2 0 xyy + − = C． 2 2 2 0 xyy = + + D． 2 2 2 0 x x y − + = 4．如图，在三棱锥OABC − 中，设 ,,, OAaOBbOCc = = = ，若 , 2 ANNBBMMC = = ，则MN =（ ） A．112 263 a b c + − B．112 263 abc − + C．111 263 abc − − D． 111 263 abc + + 5．若一动点C 在曲线 2 2 1 x y + = 上移动，则它和定点 ( ) 3,0 B 的连线的中点P 的轨迹方程（ ） A．( ) 2 2 3 4 x y + + = B．( ) 2 2 3 1 x y − + = C．( ) 2 2 2 3 4 1 x y − + = D． 2 2 3 1 2 x y   + + =     2 6. 设a∈R， 则 “a=-2” 是直线𝑙1： “ax + 2y −1 = 0与直线𝑙2:x + (a + 1)y + 4 = 0平行”的( ) A．充分不必要条件 B．必要不充分条 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 7. 已知三棱锥A −BCD的所有顶点都在球O的球面上，且AB ⊥平面BCD，AB = CD = 2√3， 4 ACAD = = ，则球O的表面积为( ) A．52π 3 B．7π C．287 π 3 D．28π 8．若直线:20 lkxy − −= 与曲线 ( ) 2 : 1 1 1 C y x − − = −有两个交点，则实数k 的取值范围是( ) A．4 ,2 3       B．4 ,4 3       C． 4 4 2,,2 3 3     −          D．4 , 3   +     二、多选题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的选项中，有多项符合题 目要求. 全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有错选的得0 分. 9．盒中装有大小相同的5 个小球（编号为1 至5），其中黑球3 个，白球2 个.每次取一球（取 后放回），则( ) A．每次取到1 号球的概率为1 5 B．每次取到黑球的概率为2 5 C．“第一次取到黑球”和“第二次取到白球”是相互独立事件 D．“每次取到3 号球”与“每次取到4 号球”是对立事件 10． 已知函数 ( ) ( ) π 2sin20 6 fxx     = +      图象上两相邻最高点的距离为， 把( ) f x 的图象沿x 轴向左平移5π 12 个单位得到函数( ) g x 的图象，则( ) A．( ) g x 在π π 4 2       ，上是增函数 B．π 0 4       ，是( ) g x 的一个对称中心 C．( ) g x 是奇函数 D．( ) g x 在π π 6 2       ，上的值域为  2 0 −， 11．如图，在菱形ABCD中，AB = 4√3 3 ， 60 BAD  = ，沿对角线BD将∆ABD折起，使点A, C之间的 距离为2 2 ，若P,Q 分别为线段BD, CA上的动点，则下列说法正确的是( ) A．平面ABD⊥平面BCD B．线段PQ的最小值为2 C．当AQ = QC，4PD = DB时,点D到直线PQ的距离为14 14 D．当P,Q 分别为线段BD, CA的中点时,PQ与AD所成角的余弦值为 6 4 3 12. 以下四个命题表述正确的是( ) A．椭圆 2 2 1 164 x y + = 上的点到直线 220 x y + − = 的最大距离为10 B．已知椭圆 2 2 : 1 4 3 x y C + = 的左、右焦点分别为 1 F 、 2 F ，过 1 F 的直线与C 交于A ，B 两点， 则∆AB𝐹 2的周长为16 C．曲线 1 C ： 2 2 2 0 xyx + + = 与曲线 2 C ： 2 2 480 xyxym + − − + = 恰有三条公切线，则m＝4 D．圆 2 2 4 x y + = 上存在4 个点到直线l： 2 0 x y − + = 的距离都等于1 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分. 13．若是锐角，且 π 3 cos() 4 5 + = − ，则sin=________. 14．如图，AO ⊥平面，O为垂足，B   ，BC BO ⊥ ，BC 与平面所 成的角为30° ， 1 AO BO BC = = = ，则AC 的长等于_____． 15.过点( ) 1,0 − 作圆C: ( ) 2 2 3 1; x y + − = 的切线，则切线方程是 . 16. 古希腊数学家阿波罗尼奥斯在研究圆锥曲线时发现了它们的光学性质．比如椭圆，他发现 如果把椭圆焦点F 一侧做成镜面，并在F 处放置光源，那么经过椭圆镜面反射的光线全部都会 经过另一个焦点． 设椭圆方程 2 2 1 2 2 2 1( 0), , x y a b F F a b + =   为其左、 右焦点， 若从右 焦点 2 F 发出的光线经椭圆上的点A和点B反射后， 满足 3 90,tan 4  =   = BADABC ， 则该椭圆的离心率为_________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤. 17． （10 分） 在∆ABC中， 角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知 2 a = ， π 3 B = ， 且∆ABC 的面积为3 3 2 . 求（1）求c ； （2）求sinsin A C 的值. 18．（12 分）近期中央电视台播出的《中国诗词大会》火遍全国，下面是组委会在选拔赛时随 机抽取的100 名选手的成绩，按成绩分组，得到的频率分布表如下所示． 4 （1）请先求出频率分布表中①、②位置的相应数 据，再完成如下的频率分布直方图； （2）组委会决定在5 名（其中第3 组2 名，第4 组2 名，第5 组1 名）选手中随机抽取2 名选 手接受A 考官进行面试，求第4 组至少有1 名选手被考官A 面试的概率． 19.（12 分）已知圆C 与直线 2 0 x y − + = 相切，切点为 ( ) 2,4 A ，且圆心在直线 1 2 y x = 上． (1)求圆C 的方程； (2) 直线L:3x −4y + 6 = 0与圆C 相交于不同的两点M、N，求∆OMN的面积 20．（12 分）如图，在三棱锥PABC − 中，PAACPCBC ⊥ ⊥ , ，M 为PB 的中 点，D 为AB 的中点，且∆AMB为正三角形 (1)求证：BC ⊥平面PAC (2)若 2 PA BC = ，三棱锥PABC − 的体积为1，求点B到平面DCM的距离． 21．（12 分）如图，在四棱锥PABCD − 中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面 , ABCDAFPB ⊥ ， F 为垂足. (1)当点E 在线段BC 上移动时，判断 AEF △ 是否为直角三角形，并说明理由； (2)PA=AB=2,EF//PC,且PB 与平面PAE 所成角为30 ， 求二面角C −PE −D的大小. 22． 已知椭圆 2 2 2 2 : 1( 0) x y a b a b  + =   的右顶点坐标为A(2,0)， 左、 右焦点分别为𝐹 1, 𝐹 2且|𝐹 1𝐹 2| = 2， (1)求椭圆Γ 的方程； (2)若直线L 与椭圆Γ 相切，求证：点𝐹 1, 𝐹 2到直线L 的距离之积为定值． 组号 分组 频数 频率 第1组 0.1 第2组 ① 第3组 20 ② 第4组 20 0.2 第5组 10 0.1 合计 100 1 [160,165) [165,170) [170,175) [175,180) [180,185] [160,185]