吉林省长春市东北师大附中2021-2022学年高二下学期阶段检测数学试题

2021—2022 学年下学期高二年级阶段验收考试 数学学科阶段考试试卷 第Ⅰ卷（选择题共48 分） 一、单项选择题（本大题共8 小题，每小题4 分，共32 分．在每小题给出的四个选 项中，只有一项是符合题目要求的．） 1. 设变量X 和变量Y 的样本相关系数为1 r ，变量U 和变量V 的样本相关系数为2 r ，且1 0.734 r  ， 2 0.983 r  ，则（） A. X 和Y 之间呈正线性相关关系，且X 和Y 的线性相关程度强于U 和V 的线性相关程度 B. X 和Y 之间呈负线性相关关系，且X 和Y 的线性相关程度强于U 和V 的线性相关程度 C. U 和V 之间呈负线性相关关系，且X 和Y 的线性相关程度弱于U 和V 的线性相关程度 D. U 和V 之间呈正线性相关关系，且X 和Y 的线性相关程度弱于U 和V 的线性相关程度 2. 已知在等差数列  n a 中， 4 8 20 a a   ， 7 12 a  ，则 8 a （） A. 14 B. 16 C. 4 D. 10 3. 已知变量x，y 之间具有线性相关关系，根据10 对样本数据求得经验回归方程为  1 6 y x a   ． 若 10 1 6 i i x    ， 10 1 9 i i y    ，则 a （） A. －0.8 B. 0.8 C. －1 D. 1 4. 我国古代数学名著《算法统宗》中有如下问题：“三百七十八里关，初行健步不为难．次日脚 痛减一半，六朝才得到其关．要见每朝行里数，请公仔细算相还．”意思是：有一个人要走378 里路，第一天走得很快，以后由于脚痛，后一天走的路程都是前一天的一半，6 天刚好走完．则 此人第一天走的路程是（） A. 86 里 B. 172 里 C. 96 里 D. 192 里 5. 已知一个有限项的 等差数列  n a ，前4 项的和是20 ，最后4 项的和是40 ，所有项的和是 210 ，则此数列的项数为（） A. 14 B. 15 C. 28 D. 30 6. 为考察A ，B 两种药物对预防某疾病的效果，进行了动物实验，根据样本数据制作出如下两 个等高条形图．根据这两幅图中的信息，下列说法最佳的一项是（） A. 样本中的 药物A，B 对该疾病均有显著的预防效果 B. 样本中的药物A，B 对该疾病均没有预防效果 C. 样本中的药物B 的预防效果优于药物A 的预防效果 D. 样本中的药物A 的预防效果优于药物B 的预防效果 7. 已知数列  n a 满足 1 1 a ， 1 3 1 n n n a a a   ，则数列  1 n n a a  的前100 项和为（） A. 99 298 B. 100 301 C. 25 304 D. 75 304 8. 已知等差数列  n a 的前n 项和为 n S ， 3 4 a ， 1 1 1 2 n n S S n n    ，数列 n b 满足 1 1 2 b  ， 1 1 2 n n b b n n   ，且集合   * , n n M n a b n N     共有5 个元素，则实数的取值范围为（） A. 15 5 , 16 4       B. 21 15 , 32 16       C. 15 ,1 16       D. 21,1 32       二、多项选择题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．在每小题给出的四个选 项中，有多项符合题目要求．全部选对得4 分，部分选对得2 分，有选错或不选得0 分．） 9. 对两个变量, x y 进行回归分析，下列结论正确的是（） A. 某人研究儿子身高cm y 与父亲身高cm x 的关系，得到经验回归方程ˆ 0.839 28.957 y x   ， 当 176cm x  时， ˆ 177cm y  ，即：如果一个父亲的身高为176cm ，那么儿子的身高一定为 177cm B. 残差图中残差点比较均匀地分布在以取值为0 的横轴为对称轴的水平带状区域内，说明选用的 模型比较合适 C. 经验回归直线一定过点  , x y D. 在经验回归方程ˆ 0.2 3 y x   中，解释变量x 每增加1个单位，响应变量y 平均增加0.2 个单 位 10. 千百年来，我国劳动人民在生产实践中根据云的形状、走向速度、厚度、颜色等的变化， 总结了丰富的“看云识天气”的经验，并将这些经验编成谚语，如“天上钩钩云，地上雨淋淋”， “日落云里走，雨在半夜后”，……小明同学为了验证“日落云里走，雨在半夜后”，观察了A 地区 的100 天日落和夜晚天气，得到如下2×2 列联表： 日落云里走 夜晚天气 下雨 不下雨 出现 25 5 不出现 25 45 临界值表  0.1 0.05 0.01 0.001 x 2.706 3.841 6.635 10.828 并计算得到 2 19.048  ，下列小明对A 地区天气判断正确的是（） A. 夜晚下雨的概率约为1 2 B. 在未出现“日落云里走”的条件下，夜晚下雨的概率约为 5 14 C. 样本中出现“日落云里走”且夜晚下雨的 频率是不出现“日落云里走”且夜晚下雨的频率的2.5 倍 D. 认为“‘日落云里走’是否出现”与“当晚是否下雨”有关，此推断犯错误的概率不大于0.001 11. 已知数列  n a 的前n 项和 2 n S n  ，则下列结论正确的是（） A.   n a 是等差数列 B. 1 2 n a      是等比数列 C. 1 4 n n n a a S  D. 数列  2n n a  的前10 项和为34822 12. 如下表，将 2 n 个数排成n 行n 列的一个数阵： 11 a 12 a 13 a …… 1n a 21 a 22 a 23 a …… 2n a 31 a 32 a 33 a …… 3n a …… …… …… …… …… 1 n a 2 n a 3 n a …… nn a 该数阵第一列的n 个数从上到下构成以m 为公差的等差数列，每一行的n 个数从左到右构成以 m 为公比的等比数列（其中 0 m  ）．已知 11 2 a ， 13 61 1 a a  ，记第n 列的n 个数的和为 1 S ， 数阵中的 2 n 个数的和为 2 S ．下列结论正确的是（） A. m＝3 B.   1 1 1 3 1 3 2 n S n n     C.   1 3 1 3 j ij a i     D.    2 1 3 1 3 1 4 n S n n    第Ⅱ卷（非选择题共72 分） 三、填空题（本大题共4 小题，每小题4 分，共16 分．） 13. 变量x 与y 的成对样本数据的散点图如图所示，若用 2 1ec x y c  拟合成对数据，其决定系数记 为 2 1 R ；若用 y bx a   拟合成对数据，其决定系数记为 2 2 R ．则 2 1 R 与 2 2 R 大小关系为______． （由大到小） 14. 已知数列  n a 满足 1 2 a ，   * 1 3 2 2, n n a a n n N      ，则它的通项公式 n a ______． 15. 已知数列  n a 的前n 项和为 n S ，若 1 3 a ， 2 5 a ，且   * 2 1 3 2 n n n a a a n N      ，则 n S ______． 16. 已知数列  n a 的前n 项和为 n S ，且 1 1 a ，   * 1 2022 3 n n a a n n N      ，则使 0 n S  的n 的最小值为______． 四、解答题（本大题共6 小题，共56 分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步 骤．） 17. 已知等差数列  n a 满足 2 2 a ， 5 10 a  ． （1）求数列  n a 的通项公式； （2）设数列  n a 的前n 项和为 n S ，求 30 S ． 18. 已知数列  n a 的前n 项和为 n S ，在① 2 3 n n S a   ，② 3 2 3 n n S   这两个条件中任选一 个，并作答． （1）求数列  n a 的通项公式； （2）令 12 n n b a  ，设数列 n b 的前n 项积为 n T ，求当n 取何值时， n T 取最大值，并求此最大值． 19. 某地区为促进青少年运动，从2010 年开始新建篮球场，某调查机构统计得到如下数据． 年份x 2014 2015 2016 2017 2018 篮球场个数y 百个 0.30 0.60 1.00 1.40 5 y （1）根据表中数据求得y 关于x 的经验回归方程为  0.36 y x a   ，求表中数据 5 y 和 a 的值； （2）预测该地区2025 年篮球场的个数（单位：个）． 附：可能用到的数据与公式： a y bx  $ $ ， 1 2 2 1 n i i i n i i x y nxy b x nx         ， 5 1 10080 i i x    ， 5 2 1 2 5 10 i i x x     ， 4 1 6653 i i i x y    ， 4 1 3.30 i i y    ． 20. 随着我国老龄化进程不断加快，养老将会是未来每个人要面对的问题，而如何养老则是我 国逐渐进入老龄化社会后，整个社会需要回答的问题．为了调查某地区老年人是否愿意参加养 老机构，用简单随机抽样方法从该地区调查了500 位老人，结果如下： 是否愿意参加 男 女 不愿意 50 50 愿意 150 250 （1）估计该地区男性老年人中，愿意参加养老机构的男性老年人的概率； （2）依据小概率值 0.025  的独立性检验，能否认为该地区的老年人是否愿意参加养老机构 与性别有关？请解释所得结论的实际含义． 附：        2 2 n ad bc a b c d a c b d        ．  0.05 0.025 0.01 0. 005 0.001 x 3.841 5.024 6.635 7.879 10.828 21. 网上购物就是通过互联网检索商品信息，并通过电子订购单发出购物请求，厂商通过邮购 的方式发货或通过快递公司送货上门，货到后通过银行转账、微信或支付宝支付等方式在线汇 款，根据2019 年中国消费者信息研究，超过40%的消费者更加频繁地使用网上购物，使得网 上购物和送货上门的需求量激增，越来越多的消费者也首次通过第三方APP、品牌官方网站和 微信社群等平台进行购物，某天猫专营店统计了2020 年8 月5 日至9 日这5 天到该专营店购 物的人数 i y 和时间（第 i x 天）间的数据，列表如下： i x 1 2 3 4 5 i y 75 84 93 98 100 （1）由表中给出的数据是否可用一元线性回归模型拟合人数y 与时间x 之间的关系？（若 0.75 r  ，则线性相关程度很高，可用一元线性回归模型拟合，计算r 时精确到0.01．） 参考数据： 4340 65.88  ．附：相关系数        1 2 2 1 1 n i i i n n i i i i x x y y r x x y y            ． （2）该专营店为了吸引顾客，推出两种促销方案：方案一，购物金额每满100 元可减15 元；方 案二，一次性购物金额超过800 元可抽奖三次，每次中奖的概率均为1 2 ，且每次抽奖互不影响， 中奖一次打9 折，中奖两次打8 折，中奖三次打6 折．某顾客计划在此专营店购买1000 元的商 品，请从实际付款金额的数学期望的角度分析选哪种方案更优惠． 22. 已知数列  n a ， n b 满足 1 4 a ， 2 5 2 a  ， 1 2 n n n a b a    ，   * 1 2 n n n n n a b b n N a b    ． （1）求证： 4 n n a b  ； （2）求证： 1 2 n n a a    ； （3）设数列 2 n a 的前n 项和为 n S ，求证： 16 4 n S n   ． 【1 题答案】 【答案】C 【2 题答案】 【答案】A 【3 题答案】 【答案】B 【4 题答案】 【答案】D 【5 题答案】 【答案】C 【6 题答案】 【答案】D 【7 题答案】 【答案】B 【8 题答案】 【答案】B 【9 题答案】 【答案】BCD 【10 题答案】 【答案】ABD 【11 题答案】 【答案】ABD 【12 题答案】 【答案】ABC 【13 题答案】 【答案】 2 2 1 2 R R  【14 题答案】 【答案】3 1 n  【15 题答案】 【答案】 1 2 2 n n  【16 题答案】 【答案】1349 17【答案】（1） 4 10 n a n   ； （2）1576 . 【小问1 详解】 设等差数列  n a 的公差为d ，则 5 2 10 2 4 3 3 a a d       ，     2 2 2 4 2 4 10 n a a n d n n         . 【小问2 详解】 由（1）得： 1 6 a ， 30 110 a  ； 令 0 n a ，解得： 5 2 n  ； 当 2 n ，n  N 时， 0 n a  ；当 3 n ，n  N 时， 0 n a  ；       30 1 2 3 4 30 1 2 1 2 3 30 2 S a a a a a a a a a a a                       30 6 110 2 6 2 1576 2       . 18【答案】（1） 1 3 2n n a   ； （2）当n＝2 或3 时， n T 取最大值，最大值为8． 【小问1 详解】 若选①： 2 3 n n S a   ， 则当 1 n 时， 1 a  1 1 2 3 S a   ，得 1 3 a ； 当 2 n 时，由 2 3 n n S a   ，得   1 1 2 3 2 n n S a n      ， 所以   1 1 2 3 2 3 n n n n S S a a        ，即   1 2 2 n n a a n    ， 所以数列  n a 是以3 为首项，2 为公比的等比数列， 所以 1 3 2n n a   ． 若选②： 3 2 3 n n S   ， 则当 1 n 时， 1 3 2 3 3 a  ， 当 2 n 时，由 3 2 3 n n S   可得   1 1 3 2 3 2 n n S n     ， 两式相减得   1 1 1 3 2 3 3 2 3 3 2 n n n n n S S           ， 即   1 3 2 2 n n a n    ，且 1 3 a 满足上式， 所以 1 3 2n n a   ． 【小问2 详解】 由（1）得 1 3 12 1 1 4 2 2 n n n n b a                  0  ， 令 1 n b ，即 3 1 1 2 n        ，解得 3 n ，且 3 n 时， 1 n b ， 所以当 2 n 或3 时， n T 取最大值，最大值为 2 3 1 2 3 T T b b b   4 2 1 8 . 19【答案】（1） 5 1.70 y  ； 724.76 a  （2）424 个 【小问1 详解】 由题意可得 5 1 1 10080 2016 5 5 i i x x      ， 4 5 1 5 3.3 5 5 i i y y y y       ，   5 5 5 1 5 2 2 1 5 6653 2018 2016 3.3 0.36 10 5 i i i i i x y xy y y b x x               ，则 5 1.70 y  ； 因此 5 3.3 1.00 5 y y    ，故 1.00 0.36 2016 724.76 a y bx       ． 【小问2 详解】 由（1）知， 0.36 724.76 y x   ，所以当x＝2025 时， 0.36 2025 724.76 4.24 y     ，因此 预测该地区2025 年篮球场约有424 个． 20【小问1 详解】 由统计数据可知，愿意参加养老机构的男性老年人为150，调查的男性老年人的总人数为200， 故男性老年人中愿意参加养老机构的频率为 150 3 200 4  ．根据频率稳定于概率的原理，估计该地 区男性老年人中，愿意参加养老机构的男性老年人的概率为 3 4 ． 【小问2 详解】 假设 0 H ：该地区的老年人是否愿意养老机构与性别无关． 根据列联表中的数据，经计算可得   2 2 0.025 500 50 250 50 150 125 5.208 5.024 100 400 200 300 24 x              ， 根据小概率值 0.025  的独立性检验，推断 0 H 不成立，即认为该地区的老年人是否愿意参加 养老机构与性别有关，此推断犯错误的概率不大于0.025． 男性老年人愿意参加养老机构和不愿意参加养老机构的频率分别为 3 4 和 1 4 ；