第04讲 二次根式（讲义）（原卷版）

第04 讲 二次根式 目 录 一、考情分析 二、知识建构 考点一 二次根式的相关概念 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 判断最简二次根式 题型03 判断同类二次根式 考点二 二次根式的性质与化简 题型01 利用二次根式的性质化简 题型02 常见二次根式化简的10 种技巧 技巧一 数形结合法 技巧二 估值法 技巧三 公式法 技巧四 换元法 技巧五 拆项法 技巧六 整体代入法 技巧七 因式分解法 技巧八 配方法 技巧九 辅元法 技巧十 先判断后化解 考点三 二次根式的运算 题型01 二次根式的乘除运算 题型02 二次根式的加减运算 题型03 二次根式的混合运算 题型04 二次根式的化简求值 题型05 二次根式的应用 考点要求 新课标要求 命题预测 二次根式的相关概 念 了解二次根式、最简二次根式的概念 中考中，对二次根式的考察 主要集中在对其取值范围、化简 计算等方面，其中取值范围类考 点多出选择题、填空题形式出 现，而化简计算则多以解答题形 式考察此外，二次根式还常和锐 角三角函数、实数、其他几何图 形等结合出题，难度不大，但是 也多属于中考必考题 二次根式的性质与 化简 掌握二次根式的性质，再根据二次根式的性质化 简 二次根式的运算 了解二次根式（根号下仅限于数）加、减、乘、 除运算法则，会用它们进行简单的四则运算 考点一 二次根式的相关概念 二次根式的概念：一般地，我们把形如❑ √a（𝑎≥0）的式子叫做二次根式，“❑ √❑”称为二次根号，二次根 号下的数叫做被开方数． 最简二次根式：开方数所含因数是整数，因式是整式，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最 简二次根式． 同类二次根式的概念：二次根式化成最简二次根式后，若被开方数相同，则这几个二次根式就是同类二次 根式 题型01 二次根式有意义的条件 【例1】（2023·黑龙江绥化·中考真题）若式子 ❑ √x+5 x 有意义，则x 的取值范围是 ． 【变式1-1】（（2023·江西·中考真题）若❑ √a−4有意义，则a的值可以是（ ） ．−1 B．0 ．2 D．6 【变式1-2】（2023·内蒙古通辽·中考真题）二次根式❑ √1−x在实数范围内有意义，则实数x 的取值范围在 数轴上表示为（ ） ． B． ． D． 【变式1-3】（2023·黑龙江齐齐哈尔·中考真题）在函数y= 1 ❑ √x−1 + 1 x−2中，自变量x 的取值范围是 ． 1 二次根式定义中规定，任何非负数的算术平方根都是二次根式，不需要看化简后的结果，如：❑ √4 -❑ √9 都是二次根式 2 二次根式有意义的条件：当≧0 时，即被开方数大于或等于0，二次根式❑ √a有意义 3 在关于代数式有意义的问题中，要注意二次根式（被开方数大于或等于0）、分式（分母不等于0） 等有意义的综合运用． 4 最简二次根式必须同时满足以下两个条件： ①开方数所含因数是整数，因式是整式（分母中不应含有根号）； ②不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，即被开方数的因数或因式的指数都为1 [补充]含有可化为平方数或平方式的因数或因式的有4、9、2、（x+y）2、x2+2xy+y2等 5 几个同类二次根式在没有化简前，被开方数可以完全互不相同，如：❑ √2、❑ √8、❑ √ 1 2是同类二次根式 解决二次根式有无意义的关键： 1．如果一个式子中含有多个二次根式，那么它们有意义的条件是：各个二次根式中的被开方数都必须 是非负数． 题型02 判断最简二次根式 【例2】（2023·上海青浦·二模）下列二次根式中，最简二次根式的是（ ） ．❑ √0.2 B．❑ √8 ．❑ √6 D．❑ √ 1 2 【变式2-1】（2022·河南南阳·二模）写出一个实数x，使❑ √x−3是最简二次根式，则x 可以是 ． 题型03 判断同类二次根式 【例3】（2023·山东烟台·中考真题）下列二次根式中，与❑ √2是同类二次根式的是（ ） ．❑ √4 B．❑ √6 ．❑ √8 D．❑ √12 【变式3-1】（2021·江苏泰州·中考真题）下列各组二次根式中，化简后是同类二次根式的是（ ） ．❑ √8与❑ √3 B．❑ √2与❑ √12 ．❑ √5与❑ √15 D．❑ √75与❑ √27 【变式3-2】下列各式中，能与❑ √2合并的是（ ） ．❑ √4 B．❑ √24 ．❑ √12 D．❑ √8 【变式3-3】若最简根式❑ √−2m+9与❑ √5m−5是同类二次根式，则m=¿ ． 考点二 二次根式的性质与化简 判断同类二次根式的方法：先把所有的二次根式化成最简二次根式，再根据被开方数是否相同来加 以判断，要注意同类二次根式与根号外的因式无关． 2．如果所给式子中含有分母，则除了保证被开方数为非负数外，还必须保证分母不为零． 二次根式的化简方法： 1）利用二次根式的基本性质进行化简； 2） 利用积的算术平方根的性质和商的算术平方根的性质进行化简．❑ √ab =❑ √a•❑ √b （a≥0，b≥0）， ❑ √ a b = ❑ √a ❑ √b （a≥0，b＞0） 化简二次根式的步骤： 1）把被开方数分解因式； 2）利用积的算术平方根的性质，把各因式（或因数）积的算术平方根化为每个因式（或因数）的算术平 方根的积； 3）化简后的二次根式中的被开方数中每一个因数（或因式）的指数都小于根指数2． 题型01 利用二次根式的性质化简 【例1】（2023·江苏泰州·中考真题）计算❑ √(−2) 2等于（ ） ．±2 B．2 ．4 D．❑ √2 【变式1-1】（2022·广西桂林·中考真题）化简❑ √12的结果是（ ） 1 根据二次根式的性质化简时，❑ √a前无“-”, ❑ √a化简出来就不可能是一个负数 2 利用二次根式性质时，如果题目中对根号内的字母给出了取值范围，那么应在这个范围内对根式进行 化简，如果题目中没有给出明确的取值范围，那么应注意对题目条件的挖掘，把隐含在题目条件中所 限定的取值范围显现出来，在允许的取值范围内进行化简． 3 化简后的最后结果应为最简二次根式，并且分母中不含二次根式． ．2❑ √3 B．3 ．2❑ √2 D．2 【变式1-2】（2023·湖北黄冈·中考真题）请写出一个正整数m 的值使得❑ √8m是整数；m=¿ ． 【变式1-3】（2022·四川南充·中考真题）若❑ √8−x为整数，x 为正整数，则x 的值是 ． 题型02 常见二次根式化简的10 种技巧 技巧一 数形结合法 方法简介：利用数轴和数学表达式相结合，达到快速化简的目标 【例2】（2022·内蒙古·中考真题）实数在数轴上的对应位置如图所示，则❑ √a 2+1+¿a−1∨¿的化简结果 是（ ） ．1 B．2 ．2 D．1 2 ﹣ 【变式2-1】实数m在数轴上对应点的位置如图所示，化简：❑ √(m−2) 2=¿ ． 【变式2-2】（2022 遂宁中考真题）实数，b 在数轴上的位置如图所示，化简 |a+1|− ❑ √(b−1) 2+ ❑ √(a−b) 2=¿ ． 技巧二 估值法 方法简介：先运用二次根式的运算法则化简，再将最后的化简结果化成根式再确定取值范围 【例3】（2023·重庆·中考真题）估计❑ √2(❑ √8+❑ √10)的值应在（ ） ．7 和8 之间 B．8 和9 之间 ．9 和10 之间 D．10 和11 之间 【变式3-1】（2023·山东临沂·中考真题）设m=5 ❑ √ 1 5−❑ √45，则实数m 所在的范围是（ ） ．m←5 B．−5<m←4 ．−4<m←3 D．m>−3 【变式3-2】若将三个数−❑ √3，❑ √7，❑ √11表示在数轴上，其中一个数被墨迹覆盖（如图所示），则这个 被覆盖的数是 ． 技巧三 公式法 方法简介：根据题目已知条件，通过变形、凑元等方法，凑成可用乘法公式，快速求解 【例4】（2022·天津红桥·三模）计算(2❑ √3+3) (2❑ √3−3)的结果等于 ． 【变式4-1】（2023·河北保定·校考一模）已知：(❑ √2+❑ √3) 2=5+2❑ √a，则a=¿ ． 【变式4-2】计算：(❑ √3+1) (❑ √3−1)−❑ √16+(3 ❑ √2−1) 2． 【变式4-3】计算：(5+❑ √6)×(5 ❑ √2−2❑ √3)． 【变式4-4】 100 ❑ √3 (❑ √2+❑ √3−❑ √5) (2+❑ √6+❑ √10) =¿ ． 技巧四 换元法 方法简介：根据已知条件，利用未知变量替换有规律表达式，寻找规律，快速求解 【例5】已知＝❑ √2＋1，求n+2+ ❑ √n 2−4 n+2− ❑ √n 2−4 + n+2− ❑ √n 2−4 n+2+ ❑ √n 2−4 的值． 技巧五 拆项法 方法简介：分子为多项式的和，分母为多项式的积，将分子拆出与分母相同或相似的项 【例6】计算： ❑ √6+4 ❑ √3+3 ❑ √2 (❑ √6+❑ √3) (❑ √3+❑ √2)[提示：❑ √6＋4❑ √3＋3❑ √2＝(❑ √6＋❑ √3)＋3(❑ √3＋❑ √2)] 技巧六 整体代入法 方法简介：由已知条件，通过加减乘除运算，得到与求解表达式相关的表达数值，整体代入 【例7】已知x= 1 ❑ √5+2，y= 1 ❑ √5−2，则x 2+ y 2−xy=¿ ． 【变式7-1】已知x= 1 ❑ √5−2，y= 1 ❑ √5+2，求x y + y x +5的值． 【变式7-2】已知：x= 1 ❑ √10+3，y= 1 ❑ √10−3．求值： (1)x+ y (2)x 2 y+x y 2 【变式7-3】已知a= ❑ √5+❑ √3 ❑ √5−❑ √3，b= ❑ √5−❑ √3 ❑ √5+❑ √3 ，求b a + a b ． 技巧七 因式分解法 方法简介：与分式的化简相同，代数式的化简也要“变肥为瘦”此题分母较为复杂，结合分子可将分母进 行因式分解，约去公因式从而达到“瘦身”的效果 【例8】计算： ❑ √2+❑ √3 2+❑ √6+❑ √10+❑ √15 技巧八 配方法 【例9】若，b 为实数，且b＝❑ √3−5a＋❑ √5a−3＋15，试求❑ √ b a + a b +2−❑ √ b a + a b −2的值． 【变式9-1】可以用配方法化简二重根式， 例如：❑ √4−2❑ √3= ❑ √(❑ √3−1) 2=❑ √3−1， 请化简式子： ❑ √5−2❑ √6+❑ √7−4 ❑ √3+ 4 ❑ √2−4 4−2❑ √2 =¿ ． 技巧九 辅元法 方法简介：所谓辅元法，就是引入一个新的未知数把其他未知数表示出新的未知数的代数式，然后再代入 求值 【例10】已知x∶y∶z＝1∶2∶3(x>0，y>0，z>0)，求 ❑ √x+ y ❑ √x+z+❑ √x+2 y 的值． 【变式10-1】《数书九章》是中国南宋时期杰出数学家秦九韶的著作，书中提出了已知三角形三边、b、 求面积的公式，其求法是：“以小斜幂并大斜幂减中斜幂，余半之，自乘于上，以小斜幂乘大斜幂减上， 余四约之，为实．一为从隅，开平方得积．”若把以上这段文字写成公式，即为 S= ❑ √ 1 4[c 2a 2−( c 2+a 2−b 2 2 ) 2 ]．现有周长为18 的三角形的三边满足a:b:c=4:3:2，则用以上给出的公 式求得这个三角形的面积为 ． 技巧十 先判断后化解 【例11】已知＋b＝－6，b＝5，求b❑ √ b a ＋❑ √ a b 的值． 【变式11-1】先化简再求值 (1)已知：y>❑ √3 x−2+❑ √2−3 x+2，求 ❑ √y 2−4 y+4 2−y +5−3 x的值． (2)已知a= 1 2+❑ √3，求a 2−9 a−3 − ❑ √a 2−4 a+4 a 2−2a 的值． 1 二次根式化简的结果一定是被开方数不含分母，被开方数中的每一个因式或因数都开不尽 2 如果被开方数是分式或分数(包括小数)，先利用商的算术平方根的性质把它写成分式或分数的形式， 然后利用分母有理化化简 3 如果被开方数是整式或整数，先将它分解因式或分解因数，然后把开方开得尽的因式或因数开方，从 而将式子化简 考点三 二次根式的运算 乘法法则: 两个二次根式相乘，把被开方数相乘，根指数不变即：❑ √ab =❑ √a•❑ √b （a≥0，b≥0） 除法法则：两个二次根式相除，把被开方数相除，根指数不变即： ❑ √a ❑ √b=❑ √ a b（≥0，b＞0） 加减法法则：先把各个二次根式化为最简二次根式后，再将被开方数相同的二次根式合并 【口诀】一化、二找、三合并 分母有理化：通过分子和分母同乘以分母的有理化因式，将分母中的根号去掉的过程 【分母有理化方法】 1）分母为单项式时，分母的有理化因式是分母本身带根号的部分即：1 ❑ √a= ❑ √a ❑ √a• ❑ √a= ❑ √a a 2）分母为多项式时，分母的有理化因式是与分母相乘构成平方差的另一部分 即： 1 ❑ √a−❑ √b= ❑ √a+❑ √b (❑ √a−❑ √b)(❑ √a+❑ √b)= ❑ √a+❑ √b a−b ； 混合运算顺序：先乘方、再乘除，最后加减，有括号的先算括号里的(或先去掉括号)． 题型01 二次根式的乘除运算 【例1】（2023·湖南·中考真题）对于二次根式的乘法运算，一般地，有❑ √a⋅❑ √b=❑ √ab．该运算法则成立 的条件是（ ） 1 在使用❑ √ab =❑ √a•❑ √b （a≥0，b≥0）时一定要注意a≥0，b≥0 的条件限制. 2 在使用 ❑ √a ❑ √b=❑ √ a b （≥0，b＞0）时一定要注意a≥0，b＞0 的条件限制. 3 合并被开方数相同的二次根式与合并同类项类似，将被开方数相同的二次根式的“系数”相加减，被 开方数和根指数不变． 4 二次根式加减混合运算的实质就是合并被开方数相同的二次根式，被开方数不同的二次根式不能合并． 5 二次根式进行加减运算时，根号外的系数因式必须为假分数形式． 6 在二次根式的混合运算中，乘方公式和实数的运算律仍然适用。而且运算结果应写成最简二次根式的 形式 ．a>0,b>0 B．a<0,b<0 ．a≤0,b≤0 D．a≥0,b≥0 【变式1-1】（2023·青海西宁·中考真题）下列运算正确的是（ ） ．❑ √2+❑ √3=❑ √5 B．❑ √(−5) 2=−5 ．(3−❑ √2) 2=11−6 ❑ √2 D．6÷ 2 ❑ √3 ×❑ √3=3 【变式1-2】（2023·河北·中考真题）若a=❑ √2，b=❑ √7，则❑ √ 14 a 2 b 2 =¿（ ） ．2 B．4 ．❑ √7 D．❑ √2 【变式1-3】（2022·广东广州·广东番禺中学校考三模）计算：❑ √ a b ÷ ❑ √ab⋅❑ √ 1 ab 等于（ ） ． 1 ¿a∨b 2 ❑ √ab B．1 ab ❑ √ab ．1 b ❑ √ab D．b ❑ √ab 【变式1-4】（2023 益阳市中考）计算：❑ √20×❑ √5= ． 题型02 二次根式的加减运算 【例2】（2023·辽宁盘锦·中考真题）计算：❑ √9−❑ √4=¿ ． 【变式2-1】（2022·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算❑ √3+3 ❑ √ 1 3 的结果是 ． 【变式2-2】（2023·广西玉林·一模）下列运算正确的是（ ） ．❑ √2+❑ √5=❑ √7 B．5 ❑ √2+ ❑ √2 2 =5+ ❑ √2 2 ．❑ √5−❑ √3=❑ √2 D．2❑ √3−❑ √3=❑ √3 【变式2-3】（2023 淄博市一模）已知实数m、满足❑ √m−3+|n−12|=0，则❑ √m+❑ √n=¿ ． 【变式2-4】（2020·河北·中考真题）已知：❑ √18−❑ √2=a ❑ √2−❑ √2=b ❑ √2，则ab=¿ ． 二次根式乘除混合运算的方法与整式乘除混合运算的方法相同，整式乘除法的一些法则、公式在 二次根式乘除法中仍然适用在运算时要明确运算符号和运算顺序若被开方数是带分数,则要先将其化为 假分数 二次根式的加减与整式的加减相比，可将被开方数相同的二次根式看作整式加减中的同类项进行合 并 另外有理数的加法交换律、结合律,都适用于二次根式的运算 题型03 二次根式的混合运算 【例3】（2023·山东聊城·中考真题）计算：( ❑ √48−3 ❑ √ 1 3)÷ ❑ √3=¿ ． 【变式3-1】（2022·湖北荆州·中考真题）若3−❑ √2的整数部分为，小数部分为b，则代数式(2+❑ √2a)⋅b的 值是 ． 【变式3-2】（2023·湖北荆州·中考真题）已知k=❑ √2(❑ √5+❑ √3)⋅(❑ √5−❑ √3)，则与k最接近的整数为（ ） ．2 B．3 ．4 D．5 【变式3-3】（2023·甘肃武威·中考真题）计算：❑ √27÷ ❑ √3 2 ×2❑ √2−6 ❑ √2． 题型04 二次根式的化简求值 【例4】（2023·湖南湘西·中考真题）先化简，再求值：(1+ 1 a−1)÷ a a 2−1 ，其中a=❑ √2−1． 【变式4-1】（2022·湖北襄阳·中考真题）先化简，再求值：（+2b）2+（+2b）（-2b）+2（b-），其中＝ ❑ √3-❑ √2，b＝❑ √3+❑ √2． 【变式4-2】（2021·北京·一模）已知m+2n=❑ √5，求代数式( 4 n m−2n +2)÷ m m 2−4 n 2的值． 【变式4-3】（2021·江苏苏州·苏州市景范中学校校考二模）先化简，再求值： x 2+x x 2−2 x+1 ÷ ( x+1) 2 x 2−1 −x−3 x−1，其中x=❑ √3+1． 【变式4-4】（2022 淄博市一模）已知：m＝❑ √2+1，＝❑ √2﹣1，则❑ √m 2+n 2+3mn＝（ ） ．±3 B．﹣3 ．3 D．❑ √5 题型05 二次根式的应用 【例5】（2023·黑龙江绥化·模拟预测）古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形 的三边求面积的公式，称为海伦 秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是， ﹣ b，，记p=a+b+c 2 ， 那么三角形的面积为S=❑ √p ( p