第04讲 二次根式（练习）（解析版）

第04 讲 二次根式 目 录 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 判断最简二次根式 题型03 判断同类二次根式 题型04 利用二次根式的性质化简 题型05 二次根式的乘除运算 题型06 二次根式的加减运算 题型07 二次根式的混合运算 题型08 二次根式的化简求值 题型09 二次根式的应用 题型01 二次根式有意义的条件 1．（2022·湖南长沙·统考中考真题）若式子❑ √x−19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 【答】x ≥19 【提示】根据二次根式有意义的条件可得x−19≥0，求解即可． 【详解】∵式子❑ √x−19在实数范围内有意义， ∴x−19≥0， 解得x ≥19， 故答为：x ≥19． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，即被开方数大于等于0，熟练掌握知识点是解题的关键． 2．（2021·浙江丽水·统考中考真题）要使式子❑ √x−3有意义，则x 可取的一个数是 ． 【答】如4 等（答不唯一，x ≥3） 【提示】根据二次根式的开方数是非负数求解即可． 【详解】解：∵式子❑ √x−3有意义， ∴x 3≥0 ﹣ ， ∴x≥3， ∴x 可取x≥3 的任意一个数， 故答为：如4 等（答不唯一，x ≥3． 【点睛】本题考查二次根式、解一元一次不等式，理解二次根式的开方数是非负数是解答的关键． 3．（2022·辽宁丹东·统考中考真题）在函数y＝ ❑ √x+3 x 中，自变量x 的取值范围是（ ） ．x≥3 B．x≥ 3 ﹣ ．x≥3 且x≠0 D．x≥ 3 ﹣且x≠0 【答】D 【提示】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0 列出不等式组，解不等式组即可得到答． 【详解】解：由题意得：x+3≥0 且x≠0， 解得：x≥ 3 ﹣且x≠0， 故选：D． 【点睛】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0 是 解题的关键． 4．（2023·广东广州·统考一模）代数式❑ √k−1有意义时，直线y=kx+k一定不经过（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 【答】D 【提示】根据k−1≥0，结合图像分布规律判断即可． 【详解】∵代数式❑ √k−1有意义， ∴k−1≥0， ∴k ≥1， ∴直线y=kx+k经过第一、二、三象限， 故直线一定不经过第四象限， 故选D． 【点睛】本题考查了二次根式有意义的条件，一次函数的图像分布，熟练掌握图像分布规律是解题的关键． 题型02 判断最简二次根式 1．（2023·贵州遵义·校考一模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） ．❑ √0.5 B．❑ √3 ．❑ √8 D．❑ √ 12 7 【答】B 【提示】若根号下没有小数、分数、能够开方的因数，就是最简二次根式，据此逐项判断即可． 【详解】解：❑ √0.5= ❑ √2 2 ，故选项不是最简二次根式； ❑ √8=2❑ √2，故选项不是最简二次根式； ❑ √ 12 7 =2❑ √21 7 ，故D 选项不是最简二次根式； 故选：B． 【点睛】本题考查最简二次根式的定义，若根号下没有小数、分数、能够开方的因数，就是最简二次根式． 2．下列各式：①❑ √ 3 2 ，②❑ √2，③❑ √18，④❑ √0.2，最简二次根式有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 【答】 【提示】先根据二次根式的性质化简，再根据最简二次根式的定义判断即可． 【详解】解：①❑ √ 3 2= ❑ √6 2 ，不是最简二次根式； ②❑ √2，是最简二次根式； ③❑ √18=3 ❑ √2，不是最简二次根式； ④❑ √0.2=❑ √ 1 5= ❑ √5 5 ，不是最简二次根式； 最简二次根式有1 个， 故选：． 【点睛】本题考查了对最简二次根式的定义的理解；能理解最简二次根式的定义是解此题的关键． 3（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于❑ √8，下列说法不正确的是（ ） ．是最简二次根式 B．是无理数 ．整数部分是2 D．一定能够在数轴上找到表示❑ √8的点 【答】 【提示】根据最简二次根式、无理数、实数与数轴进行判断． 【详解】解：．❑ √8=2❑ √2，❑ √8不是最简二次根式，选项符合题意； B．❑ √8=2❑ √2，❑ √2是无理数，则❑ √8是无理数，选项不符合题意； ．因为1<❑ √2<1.5，则2<2❑ √2<3，所以❑ √8的整数部分是2，选项不符合题意； D．数轴上的点与实数是一一对应的关系，则一定能够在数轴上找到表示❑ √8的点，选项不符合题意； 故选：． 【点睛】此题考查了二次根式、无理数、实数与数轴，熟练掌握相关知识是解题的关键． 4．（2022 江门市模拟）若最简二次根式3a−b √4 a+3b和❑ √2a−b+6能合并，则、b 的值分别是（ ） ．2 和1 B．1 和2 ．2 和2 D．1 和1 【答】D 【提示】由二次根式的定义可知3a−b=2，由最简二次根式3a−b √4 a+3b和❑ √2a−b+6能合并，可得 4 a+3b=2a−b+6，由此即可求解． 【详解】解：∵最简二次根式3a−b √4 a+3b和❑ √2a−b+6能合并， ∴¿， ∴¿， 解得¿， 故选D． 【点睛】本题主要考查了二次根式的定义和最简二次根式的定义，熟知定义是解题的关键． 题型03 判断同类二次根式 1．（2023·上海松江·统考二模）下列二次根式中，与❑ √2是同类二次根式的是（ ） ．❑ √0.2 B．❑ √0.5 ．❑ √4 D．❑ √12 【答】B 【提示】几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，这几个二次根式叫做同类二次根式 【详解】解：、❑ √0.2=❑ √ 1 5= ❑ √5 5 ，与❑ √2不是同类二次根式； B、❑ √0.5=❑ √ 1 2= ❑ √2 2 ，与❑ √2是同类二次根式； 、❑ √4=2，与❑ √2不是同类二次根式； D、❑ √12=2❑ √3，与❑ √2不是同类二次根式； 故选：B 【点睛】本题考查了同类二次根式的定义，熟练掌握同类二次根式的概念是解题的关键 2．（2023·四川攀枝花·统考二模）下列二次根式中，不能与❑ √3合并的是（ ） ．❑ √32 B．❑ √27 ．❑ √12 D．❑ √ 1 3 【答】 【提示】先化简各个选项的二次根式，再看能否合并❑ √3，即可得到答． 【详解】解：、❑ √32=4 ❑ √2，不能和❑ √3合并的，符合题意， B、❑ √27=3 ❑ √3，能和❑ √3合并的，不符合题意， 、❑ √12=2❑ √3，能和❑ √3合并的，不符合题意， D、❑ √ 1 3= ❑ √3 3 ，能和❑ √3合并的，不符合题意， 故选：． 【点睛】本题考查了同类二次根式的判断，二次根式的化简，解题的关键是正确化简二次根式． 3．（2023 衡阳市模拟）若最简二次根式❑ √2 x+1和❑ √4 x−3能合并，则x的值为（ ） ．05 B．1 ．2 D．25 【答】 【提示】根据最简二次根式可以合并，得出最简二次根式为同类二次根式，然后根据同类二次根式的定义 进行解答即可． 【详解】解：∵最简二次根式❑ √2 x+1和❑ √4 x−3能合并， ∴❑ √2 x+1与❑ √4 x−3为同类二次根式， ∴2 x+1=4 x−3， 解得：x=2，故正确． 故选：． 【点睛】本题主要考查了同类二次根式，根据同类二次根式的定义列出关于x 的方程，是解题的关键． 题型04 利用二次根式的性质化简 1．（2022·河北·统考中考真题）下列正确的是（ ） ．❑ √4+9=2+3 B．❑ √4×9=2×3 ．❑ √9 4= ❑ √3 2 D．❑ √4.9=0.7 【答】B 【提示】根据二次根式的性质判断即可． 【详解】解：❑ √4+9=❑ √13≠2+3，故错误； B❑ √4×9=2×3，故正确； ❑ √9 4= ❑ √3 8≠ ❑ √3 2，故错误； D❑ √4.9≠0.7，故错误； 故选：B． 【点睛】本题主要考查二次根式的性质，掌握二次根式的性质是解题的关键． 2．（2023 南皮县模拟）下列二次根式中，化简结果为-5 的是（ ） ．❑ √(−5) 2 B．(−❑ √5) 2 ．− ❑ √5 2 D．❑ √5 2 【答】 【提示】根据二次根式的性质化简即可． 【详解】解：、❑ √(−5) 2=5，不符合题意； B、(−❑ √5) 2=5，不符合题意； 、− ❑ √5 2=−5，符合题意； D、❑ √5 2=5，不符合题意； 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的化简，熟练掌握二次根式的性质是解题的关键． 3．（2021·湖南娄底·统考中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则❑ √(m−3) 2+ ❑ √(m−7) 2等于（ ） ．2m−10 B．10−2m ．10 D．4 【答】D 【提示】先根据三角形三边的关系求出m的取值范围，再把二次根式进行化解，得出结论． 【详解】解：∵2,3,m是三角形的三边， ∴5−2<m<5+2， 解得：3<x<7， ∴ ❑ √(m−3) 2+ ❑ √(m−7) 2=m−3+7−m=4， 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的性质及化简，解题的关键是：先根据题意求出m的范围，再对二次根式化 简． 4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）实数、b 在数轴上的位置如图所示，则化简 (a−b) ❑ √ a+b a−b 的结果是（ ） ．❑ √a 2−b 2 B．❑ √b−a ．− ❑ √a 2−b 2 D．− ❑ √b 2−a 2 【答】 【提示】根据数轴图可知a−b<0，a+b<0，再根据❑ √a 2=|a|化简式子即可． 【详解】解：根据数轴图可知a−b<0，a+b<0， ∴(a−b) ❑ √ a+b a−b ¿ (a−b) ❑ √ (a+b) (a−b) (a−b) 2 ¿ (a−b) ❑ √(a+b) (a−b) ❑ √(a−b) 2 ¿ (a−b) ❑ √a 2−b 2 |a−b| ¿ (a−b) ❑ √a 2−b 2 −(a−b) ¿− ❑ √a 2−b 2 故选：． 【点睛】本题考查数轴和二次根式及绝对值的化简，分式的基本性质，解题关键是根据数轴图判断绝对值 里数值的正负． 5．（2023·广东佛山·统考一模）若实数m，满足(m−4 ) 2+❑ √n+3=0，则❑ √m 2+n 2的值是 ； 【答】5 【提示】两个非负数的和为0，须两个非负数同为0，须被平方的式子与被开方的式子都为0，求得m、的 值． 【详解】∵(m−4 ) 2+❑ √n+3=0， 又∵(m−4 ) 2≥0，❑ √n+3≥0， ∴m−4=0，n+3=0， ∴m=4，n=−3， ∴❑ √m 2+n 2= ❑ √4 2+(−3) 2=5． 故答为：5． 【点睛】本题考查了非负数，熟练掌握几个非负数的和为0，这几个非负数同时为0，是解决此类为题的关 键． 题型05 二次根式的乘除运算 1．（2021·湖南株洲·统考中考真题）计算：−4×❑ √ 1 2=¿（ ） ．−2❑ √2 B．－2 ．−❑ √2 D．2❑ √2 【答】 【提示】将❑ √ 1 2 化简，然后根据乘法法则运算即可． 【详解】解：−4×❑ √ 1 2=(−4 )× ❑ √2 2 =−2❑ √2 故选：． 【点睛】本题考查了二次根式的乘法运算，熟悉相关性质是解题的关键． 2．（2020·江苏泰州·统考中考真题）下列等式成立的是（ ） ．3+4 ❑ √2=7 ❑ √2 B．❑ √3×❑ √2=❑ √5 ． ❑ √3÷ 1 ❑ √6=2❑ √3 D．❑ √(−3) 2=3 【答】D 【提示】根据二次根式的运算法则即可逐一判断． 【详解】解：、3 和4 ❑ √2不能合并，故错误； B、❑ √3×❑ √2=❑ √6，故B 错误； 、 ❑ √3÷ 1 ❑ √6=❑ √3×❑ √6=❑ √18=3 ❑ √2，故错误； D、❑ √(−3) 2=3，正确； 故选：D． 【点睛】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是掌握基本的运算法则． 3．（2023 松原市三模）计算：5 ❑ √21×2❑ √3=¿ ． 【答】30 ❑ √7 【提示】根据二次根式的计算法则运算即可． 【详解】5 ❑ √21×2❑ √3 =10 ❑ √63 =30 ❑ √7， 故答为：30 ❑ √7． 【点睛】此题考查了二次根式的乘法运算，解题的关键是结果应该化为最简二次根式． 4．（2021·天津和平·统考一模）计算(❑ √5+2)(❑ √5−2)的结果等于 ． 【答】1 【提示】先用平方差公式化简，再根据二次根式的性质计算即可得到答． 【详解】解：原式=(❑ √5+2) (❑ √5−2) =(❑ √5) 2-2 2 =5-4 =1 故答为：1． 【点睛】本题考查了二次根式的混合运算的应用，熟练掌握平方差公式与二次根式的性质是关键． 5．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）计算❑ √24÷ ❑ √6的结果是 ． 【答】2 【提示】根据二次根式的除法运算计算即可． 【详解】❑ √24÷ ❑ √6 ¿ ❑ √ 24 6 =❑ √4=2 故答为：2 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 题型06 二次根式的加减运算 1．（2022·贵州六盘水·统考中考真题）计算：❑ √12−2❑ √3=¿ ． 【答】0 【提示】先把❑ √12化简为2❑ √3，再作差，即可． 【详解】解：❑ √12−2❑ √3 =2❑ √3−2❑ √3 =0 故答为：0． 【点睛】本题考查二次根式的减法运算，熟练掌握二次根式的基础知识是解题的关键． 2．（2020·黑龙江哈尔滨·统考中考真题）计算：❑ √24+6 ❑ √ 1 6 的结果是 ． 【答】3 ❑ √6 【提示】根据题意可知，本题考查二次根式的运算，根据二次根式的化简，即可进行求解． 【详解】解：原式=2❑ √6+❑ √6=3 ❑ √6 故答为：3 ❑ √6 【点睛】本题考查了二次根式的运算，先化简再进行合并二次根式是解决此类问题的关键． 3．（2022·山东青岛·统考二模）计算： ❑ √18−❑ √2 ❑ √2 =¿ ． 【答】2 【提示】根据二次根式运算法则计算即可． 【详解】原式=3 ❑ √2−❑ √2 ❑ √2 =2❑ √2 ❑ √2 =2 故答为：2． 【点睛】本题考查二次根式的运算，解题的关键是先化简再进行计算． 4．（2023·河北石家庄·统考三模）❑ √12−❑ √3的结果在（ ） ．0.5和1 之间 B．1 和1.5之间 ．1.5和2 之间 D．2 和2.5之间 【答】 【提示】❑ √12−❑ √3整理得❑ √3，根据1.5 2=2.25，2 2=4，即可判断． 【详解】解：❑ √12−❑ √3=2❑ √3−❑ √3=❑ √3， ∵1.5 2=2.25，2 2=4，2.25<3<4， ∴1.5<❑ √3<2 ∴实数❑ √12−❑ √3的值在1.5和2 之间， 故选：． 【点睛】此题主要考查了估算无理数，关键是掌握用有理数逼近无理数，求无理数的近似值． 5．（2021·河北唐山·统考二模）已知：−❑ √50+❑ √ 1 2=a ❑ √2+b ❑ √2=c ❑ √2，则b＋＝ ． 【答】-7 【提示】先将原式中二次根式进行化简，合并，则可求得a=−5，b=1 2，c=−9 2 ，代入求值即可得出结 果． 【详解】解：−❑ √50+❑ √ 1 2=−5 ❑ √2+ ❑ √2 2 =−9 2 ❑ √2， ∵−❑ √50+❑ √ 1 2=a ❑ √2+b ❑ √2=c ❑ √2， ∴a=−5，b=1 2，c=−9 2 ， ∴ab+c=−5× 1 2 +( −9 2 )=−7， 故答为：-7． 【点睛】本题主要考查了二次根式的加减，掌握二次根式加减的运算方法是解题的关键． 题型07 二次根式的混合运算 1．（2022·山东青岛·统考中考真题）计算(❑ √27−❑ √12)×❑ √ 1 3 的结果是（ ） ． ❑ √3 3 B．1 ．❑ √5 D．3 【答】B 【提示】把括号内的每一项分别乘以❑ √ 1 3 , 再合并即可． 【详解】解：(❑ √27−❑ √12)×❑ √ 1 3 ¿ ❑ √9−❑ √4=3−2=1 故选：B． 【点睛】本题考查的是二次根式的乘法运算，掌握“二次根式的乘法运算法则”是解本题的关键． 2．（2022·山东泰安·统考中考真题）计算：❑ √8⋅❑ √6−3 ❑ √ 4 3 =¿ ． 【答】2❑ √3 【提示】先计算乘法，再合并，即可求解． 【详解】解：❑ √8⋅❑ √6−3 ❑ √ 4 3 ¿ ❑ √48−3× 2❑ √3 3 ¿4 ❑ √3−2❑ √3 ¿2❑ √3， 故答为： 2❑ √3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合运算，熟练掌握二次根式的混合运算法则是解题的关键． 3．（2021·山东威海·统考中考真题）计算❑ √24−❑ √ 6 5 ×❑ √45的结果是 ． 【答】−❑ √6 【提示】根据二次根式的四则运算法则进行运算即可求解． 【详解】解：原式¿2❑ √6− ❑ √6 ❑ √5 ×3 ❑ √5 ¿2❑ √6−3 ❑ √6 ¿−❑ √6， 故答为：−❑ √6． 【点睛】本题考查了二次根式的四则运算，属于基础题，计算过程中细心即可求解． 4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）计算：( 1 2) −1 +(❑ √3+2) (❑ √3−2)+3×❑ √ 1 3 【答】1+❑ √3 【提示】根据二次根式的混合计算法则和负整数指数幂的计算法则求解即可． 【详解】解：原式¿2+(❑ √3) 2−4+3× ❑ √3 3 ¿2+3−4+❑ √3 ¿1+❑ √3． 【点睛】本题主要考查了二次根式的混合计算，负整数指数幂，熟知相关计算法则是解题的关键． 5．计算：(❑ √5) 2−|1−❑ √2|− ❑ √(−3) 2+ 1 2 ×❑ √8． 【答】3 【提示】按照二次根式的运算法则进行计算即可． 【详解】解：原式¿5−(❑ √2−1)−3+❑ √2 ¿5−❑ √2+1−3+❑ √2 ¿3． 【点睛】此题考查了二次根式的混合运算，化简绝对值，熟练掌握运算法则是解题的关键． 题型08