第04讲 二次根式（练习）（原卷版）

第04 讲 二次根式 目 录 题型01 二次根式有意义的条件 题型02 判断最简二次根式 题型03 判断同类二次根式 题型04 利用二次根式的性质化简 题型05 二次根式的乘除运算 题型06 二次根式的加减运算 题型07 二次根式的混合运算 题型08 二次根式的化简求值 题型09 二次根式的应用 题型01 二次根式有意义的条件 1．（2022·湖南长沙·中考真题）若式子❑ √x−19在实数范围内有意义，则实数的取值范围是 ． 2．（2021·浙江丽水·中考真题）要使式子❑ √x−3有意义，则x 可取的一个数是 ． 3．（2022·辽宁丹东·中考真题）在函数y＝ ❑ √x+3 x 中，自变量x 的取值范围是（ ） ．x≥3 B．x≥ 3 ﹣ ．x≥3 且x≠0 D．x≥ 3 ﹣且x≠0 4．（2023·广东广州·一模）代数式❑ √k−1有意义时，直线y=kx+k一定不经过（ ） ．第一象限 B．第二象限 ．第三象限 D．第四象限 题型02 判断最简二次根式 1．（2023·贵州遵义·校考一模）下列二次根式是最简二次根式的是（ ） ．❑ √0.5 B．❑ √3 ．❑ √8 D．❑ √ 12 7 2．下列各式：①❑ √ 3 2 ，②❑ √2，③❑ √18，④❑ √0.2，最简二次根式有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 3（2023·河北沧州·校考模拟预测）关于❑ √8，下列说法不正确的是（ ） ．是最简二次根式 B．是无理数 ．整数部分是2 D．一定能够在数轴上找到表示❑ √8的点 4．（2022 江门市模拟）若最简二次根式3a−b √4 a+3b和❑ √2a−b+6能合并，则、b 的值分别是（ ） ．2 和1 B．1 和2 ．2 和2 D．1 和1 题型03 判断同类二次根式 1．（2023·上海松江·二模）下列二次根式中，与❑ √2是同类二次根式的是（ ） ．❑ √0.2 B．❑ √0.5 ．❑ √4 D．❑ √12 2．（2023·四川攀枝花·二模）下列二次根式中，不能与❑ √3合并的是（ ） ．❑ √32 B．❑ √27 ．❑ √12 D．❑ √ 1 3 3．（2023 衡阳市模拟）若最简二次根式❑ √2 x+1和❑ √4 x−3能合并，则x的值为（ ） ．05 B．1 ．2 D．25 题型04 利用二次根式的性质化简 1．（2022·河北·中考真题）下列正确的是（ ） ．❑ √4+9=2+3 B．❑ √4×9=2×3 ．❑ √9 4= ❑ √3 2 D．❑ √4.9=0.7 2．（2023 南皮县模拟）下列二次根式中，化简结果为-5 的是（ ） ．❑ √(−5) 2 B． (−❑ √5) 2 ．− ❑ √5 2 D．❑ √5 2 3．（2021·湖南娄底·中考真题）2,5,m是某三角形三边的长，则❑ √(m−3) 2+ ❑ √(m−7) 2等于（ ） ．2m−10 B．10−2m ．10 D．4 4．（2022·四川绵阳·东辰国际学校校考模拟预测）实数、b 在数轴上的位置如图所示，则化简 (a−b) ❑ √ a+b a−b 的结果是（ ） ．❑ √a 2−b 2 B．❑ √b−a ．− ❑ √a 2−b 2 D．− ❑ √b 2−a 2 5．（2023·广东佛山·一模）若实数m，满足 (m−4 ) 2+❑ √n+3=0 ，则❑ √m 2+n 2的值是 ； 题型05 二次根式的乘除运算 1．（2021·湖南株洲·中考真题）计算：−4×❑ √ 1 2=¿（ ） ．−2❑ √2 B．－2 ．−❑ √2 D．2❑ √2 2．（2020·江苏泰州·中考真题）下列等式成立的是（ ） ．3+4 ❑ √2=7 ❑ √2 B．❑ √3×❑ √2=❑ √5 ．❑ √3÷ 1 ❑ √6=2❑ √3 D．❑ √(−3) 2=3 3．（2023 松原市三模）计算：5 ❑ √21×2❑ √3=¿ ． 4．（2021·天津和平·一模）计算(❑ √5+2)(❑ √5−2)的结果等于 ． 5．（2022·安徽合肥·合肥寿春中学校考一模）计算❑ √24÷ ❑ √6的结果是 ． 题型06 二次根式的加减运算 1．（2022·贵州六盘水·中考真题）计算：❑ √12−2❑ √3=¿ ． 2．（2020·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算：❑ √24+6 ❑ √ 1 6 的结果是 ． 3．（2022·山东青岛·二模）计算： ❑ √18−❑ √2 ❑ √2 =¿ ． 4．（2023·河北石家庄·三模）❑ √12−❑ √3的结果在（ ） ．0.5和1 之间 B．1 和1.5之间 ．1.5和2 之间 D．2 和2.5之间 5．（2021·河北唐山·二模）已知：−❑ √50+❑ √ 1 2=a ❑ √2+b ❑ √2=c ❑ √2，则b＋＝ ． 题型07 二次根式的混合运算 1．（2022·山东青岛·中考真题）计算(❑ √27−❑ √12)×❑ √ 1 3 的结果是（ ） ． ❑ √3 3 B．1 ．❑ √5 D．3 2．（2022·山东泰安·中考真题）计算：❑ √8⋅❑ √6−3 ❑ √ 4 3 =¿ ． 3．（2021·山东威海·中考真题）计算❑ √24−❑ √ 6 5 ×❑ √45的结果是 ． 4．（2023·陕西西安·陕西师大附中校考模拟预测）计算：( 1 2) −1 +(❑ √3+2) (❑ √3−2)+3×❑ √ 1 3 5．计算：(❑ √5) 2−|1−❑ √2|− ❑ √(−3) 2+ 1 2 ×❑ √8． 题型08 二次根式的化简求值 1．（2021·湖北恩施·中考真题）先化简，再求值：1−a−2 a+4 ÷ a 2−4 a 2+8a+16 ，其中a=❑ √2−2． 2．（2023·河北衡水·二模）已知A，B都是关于x的多项式，且A=2 x 2−5 x+4，A−B=2 x+1． (1)求B； (2)若A−B=❑ √2，求B的值． 3．（2022·河南商丘·一模）已知M=( x+1) 2+(2 x+1)(2 x−1), N=4 x( x+1)，当x=❑ √2 时，请比较M 与的大小． 题型09 二次根式的应用 1．（2023 下·安徽·九年级专题练习）观察下列各式： ①❑ √1×2×3×4+1=5； ②❑ √2×3×4×5+1=11； ③❑ √3×4×5×6+1=19； … (1)观察①②③等式，那么第⑤个等式为 ； (2)根据上述规律，猜测写出❑ √n× (n+1) (n+2) (n+3)+1＝ ，并加以证明． 2．（2022·山东济宁·二模）阅读理解：对于任意正实数，b， ∵(❑ √a−❑ √b) 2≥0 ， ∴a−2❑ √ab+b≥0， ∴a+b≥2❑ √ab， ∴当a=b时，a+b有最小值2❑ √ab． 根据上述内容，回答下列问题 (1)若m>0，只有当m=¿_______时，m+ 1 m 有最小值_______；若m>0，只有当m=¿_______时，2m+ 8 m 有最小值_________； (2)疫情需要为解决临时隔离问题，检测人员利用一面墙（墙的长度不限）和63 米长的钢丝围成了9 间相 同的矩形隔离房，如图设每间隔离房的面积为S（米❑ 2）．问：当每间隔离房的长宽各为多少时，使每间 隔离房面积S 最大？最大面积是多少？ 3．（2021·贵州黔西·模拟预测）阅读理解：对于任意正实数、b，∵(❑ √a−❑ √b) 2≥0，∴a−2❑ √ab+b≥0， ∴a+b≥2❑ √ab，只有当a=b时，等号成立．结论：在a+b≥2❑ √ab（、b 均为正实数）中，若ab为定值 m，则a+b≥2❑ √m，只有当a=b时，a+b有最小值2❑ √m．根据上述内容，回答下列问题： (1)若a>0，只有当a=¿__________时，a+ 4 a 有最小值__________； (2)若a>0，只有当a=¿__________时，2a+ 6 a 有最小值__________； (3)若a<0，平面内有A(a, a 2−4)，B(a,−8 a)两点，当为何值时，线段AB最短，最短是多少？ 4．（2021·河北唐山·一模）如图，甲、乙两张卡片上均有一个系数为整数的多项式，其中乙中二次项系数 因为被污染看不清楚． （1）嘉嘉认为污染的数为−3，计算“A+B”的结果； （2）若a=3+❑ √3，淇淇认为存在一个整数，可以使得“A−B”的结果是整数，请你求出满足题意的被 污染的这个数． 5．（2023·江苏·二模）问题：已知实数、b、满足a≠b，且2023(a−b)+❑ √2023(b−c)+(c−a)=0，求 证：(c−b)(c−a) (a−b) 2 −❑ √2023=2023． 小明在思考时，感觉无从下手，就去请学霸小刚,小刚审题后思考了片刻，对小明说：我们可以构造一个一 元二次方程，利用一元二次方程根与系数的关系及整体代入即可解答，并写下了部分解题过程供小明参考： 令❑ √2023=x，则2023=x 2，原等式可变形为关于x 的一元二次方程： (a−b)x 2+(b−c)x+(c−a)=0(a≠b) ． 可以发现：(a−b)×1 2+(b−c)×1+(c−a)=0． 从而可知构造的方程两个根分别是1 和❑ √2023 ． 利用根与系数的关系得：1+❑ √2023=¿ _____；1×❑ √2023=¿_____；… 请你根据小刚的思路完整地解答本题． 1．（2022·四川雅安·中考真题）使❑ √x−2有意义的x 的取值范围在数轴上表示为（ ） ． B． ． D． 2．（2022·内蒙古鄂尔多斯·中考真题）下列说法正确的是（ ） ①若二次根式❑ √1−x有意义，则x 的取值范围是x≥1． 7 ②＜❑ √65＜8． ③若一个多边形的内角和是540°，则它的边数是5． ④❑ √16的平方根是±4． ⑤一元二次方程x2﹣x 4 ﹣＝0 有两个不相等的实数根． ．①③⑤ B．③⑤ ．③④⑤ D．①②④ 3．（2023·广东广州·中考真题）已知关于x 的方程x 2−(2k−2) x+k 2−1=0有两个实数根，则 ❑ √(k−1) 2−(❑ √2−k ) 2的化简结果是（ ） ．−1 B．1 ．−1−2k D．2k−3 4．（2021·湖北恩施·中考真题）从❑ √2，−❑ √3，−❑ √2这三个实数中任选两数相乘，所有积中小于2 的有 （ ）个． ．0 B．1 ．2 D．3 5．（2023·辽宁大连·中考真题）下列计算正确的是（ ） ． (❑ √2) 0=❑ √2 B．2❑ √3+3 ❑ √3=5 ❑ √6 ．❑ √8=4 ❑ √2 D．❑ √3 (2❑ √3−2)=6−2❑ √3 6．（2023·重庆·中考真题）估计❑ √5×( ❑ √6−1 ❑ √5) 的值应在（ ） ．4 和5 之间 B．5 和6 之间 ．6 和7 之间 D．7 和8 之间 7．（2022·四川泸州·中考真题）与2+❑ √15最接近的整数是（ ） ．4 B．5 ．6 D．7 8．（2022·湖南常德·中考真题）我们发现：❑ √6+3=3，❑ √6+❑ √6+3=3 ，❑ √6+❑ √6+❑ √6+3=3 ，…， ❑ √6+ ❑ √6+ ❑ √6+⋯+❑ √6+❑ √6+3=3 ⏟ n 个根号 ，一般地，对于正整数a，b，如果满足 ❑ √b+ ❑ √b+ ❑ √b+⋯+❑ √b+❑ √b+a=a ⏟ n 个根号 时，称 (a,b)为一组完美方根数对．如上面 (3,6)是一组完美方根数对． 则下面4 个结论：①(4,12)是完美方根数对；②(9,91)是完美方根数对；③若(a,380)是完美方根数对，则 a=20；④若(x , y )是完美方根数对，则点P (x , y )在抛物线y=x 2−x上．其中正确的结论有（ ） ．1 个 B．2 个 ．3 个 D．4 个 9．（2023·湖南永州·中考真题）已知x 为正整数，写出一个使❑ √x−3在实数的范围内没有意义的x 值是 ． 10．（2023 连云港中考真题）计算：(❑ √5) 2=¿ ． 11．（2023·四川凉山·中考真题）计算(π−3.14) 0+ ❑ √(❑ √2−1) 2=¿ ． 12．（2023·湖北·中考真题）计算4 −1−❑ √ 1 16 +(3−❑ √2) 0的结果是 ． 13．（2023·山东潍坊·中考真题）从−❑ √2、❑ √3，❑ √6中任意选择两个数，分别填在算式 (□+○) 2÷ ❑ √2 里面 的“□”与“○”中，计算该算式的结果是 ．（只需写出一种结果） 14．（2023·黑龙江哈尔滨·中考真题）计算❑ √63−7 ❑ √ 1 7 的结果是 ． 15．（2023·内蒙古·中考真题）观察下列各式： S1=❑ √ 1+ 1 1 2 + 1 2 2=1+ 1 1×2 ，S2=❑ √ 1+ 1 2 2 + 1 3 2=1+ 1 2×3 ，S3=❑ √ 1+ 1 3 2 + 1 4 2=1+ 1 3×4 ，… 请利用你所发现的规律，计算：S1+S2+⋯+S50=¿ ． 16．（2022 呼伦贝尔市中考）已知x，y 是实数，且满足y=❑ √x−2＋❑ √2−x＋1 8 ，则❑ √x⋅❑ √y的值是 ． 17．（2023·辽宁营口·中考真题）先化简，再求值：(m+2+ 5 2−m)⋅2m−4 3−m ，其中m=❑ √16+tan 45°． 18．（2023·山东淄博·中考真题）先化简，再求值：(x−2 y ) 2+x (5 y−x )−4 y 2，其中x= ❑ √5+1 2 ， y= ❑ √5−1 2 ． 1．（2022·四川达州·中考真题）人们把 ❑ √5−1 2 ≈0.618这个数叫做黄金比，著名数学家华罗庚优选法中的 “0618 法”就应用了黄金比．设a= ❑ √5−1 2 ，b= ❑ √5+1 2 ，记S1= 1 1+a + 1 1+b，S2= 2 1+a 2 + 2 1+b 2，…， S100= 100 1+a 100 + 100 1+b 100，则S1+S2+⋯+S100=¿ ． 2．（2023·山东潍坊·中考真题）［材料阅读] 用数形结合的方法，可以探究q+q 2+q 3+...+q n+…的值，其中0<q<1． 例求1 2 +( 1 2) 2 +( 1 2) 3 +⋯+( 1 2) n +⋯的值． 方法1：借助面积为1 的正方形，观察图①可知 1 2 +( 1 2) 2 +( 1 2) 3 +⋯+( 1 2) n +⋯的结果等于该正方形的面积， 即1 2 +( 1 2) 2 +( 1 2) 3 +⋯+( 1 2) n +⋯=1． 方法2：借助函数y=1 2 x+ 1 2 和y=x的图象，观察图②可知 1 2 +( 1 2) 2 +( 1 2) 3 +⋯+( 1 2) n +⋯的结果等于a1，a2，a3，…，an…等各条竖直线段的长度之和， 即两个函数图象的交点到x轴的距离．因为两个函数图象的交点(1,1)到x轴的距为1， 所以，1 2 +( 1 2) 2 +( 1 2) 3 +⋯+( 1 2) n +⋯=1． 【实践应用】 任务一 完善2 3 +( 2 3) 2 +( 2 3) 3 +⋯+( 2 3) n +⋯的求值过程． 方法1：借助面积为2 的正方形，观察图③可知2 3 +( 2 3) 2 +( 2 3) 3 +⋯+( 2 3) n +⋯=¿______． 方法2：借助函数y=2 3 x+ 2 3 和y=x的图象，观察图④可知 因为两个函数图象的交点的坐标为______， 所以，2 3 +( 2 3) 2 +( 2 3) 3 +⋯+( 2 3) n +⋯=¿______． 任务二 参照上面的过程，选择合适的方法，求3 4 +( 3 4) 2 +( 3 4) 3 +⋯+( 3 4) 2 +⋯的值． 任务三 用方法2，求q+q 2+q 3+⋯+q n+⋯的值（结果用q表示）． 【迁移拓展】 长宽之比为 ❑ √5+1 2 :1的矩形是黄金矩形，将黄金矩形依次截去一个正方形后，得到的新矩形仍是黄金矩形． 观察图⑤，直接写出( ❑ √5−1 2 ) 2 +( ❑ √5−1 2 ) 4 +( ❑ √5−1 2 ) 6 +⋯+( ❑ √5−1 2 ) 2n +⋯的值．