高中物理新教材同步必修第二册 第5章 4　抛体运动的规律

4 抛体运动的规律 [学习目标] 1.熟练掌握平抛运动的研究方法.2.会用运动合成和分解的知识分析求解平抛运动的速度和位 移，知道平抛运动的轨迹为抛物线.3.了解斜抛运动及其运动规律，知道运动的合成与分解是 分析抛体运动的一般方法. 一、平抛运动的速度 以速度v0沿水平方向抛出一物体，以抛出点为原点，建立如图1 所示的平面直角坐标系. 图1 (1)水平方向：不受力，加速度是0，水平方向为匀速直线运动，vx＝v0. (2)竖直方向：只受重力，由牛顿第二定律得到：mg＝ma.所以a＝g；竖直方向的初速度为 0，所以竖直方向为自由落体运动，vy＝gt. (3)合速度 大小：v＝＝； 方向：tan θ＝＝(θ 是v 与水平方向的夹角). 二、平抛运动的位移与轨迹 1.水平位移：x＝v0t① 2.竖直位移：y＝gt 2 ② 3.轨迹方程：由①②两式消去时间t，可得平抛运动的轨迹方程为y＝x 2 ，由此可知平抛运动 的轨迹是一条抛物线. 三、一般的抛体运动 物体被抛出时的速度v0沿斜上方或斜下方时，物体做斜抛运动(设v0与水平方向夹角为θ). (1)水平方向：物体做匀速直线运动，初速度v0x＝v0cos θ . (2)竖直方向：物体做竖直上抛或竖直下抛运动，初速度vy0＝v0sin θ .如图2 所示. 图2 1.判断下列说法的正误. (1)抛体运动一定是匀变速运动.( √ ) (2)平抛运动的物体初速度越大，下落得越快.( × ) (3)平抛运动物体的速度方向与水平方向的夹角越来越大，若足够高，速度方向最终可能竖 直向下.( × ) (4)平抛运动的合位移的方向与合速度的方向一致.( × ) (5)斜上抛运动的物体到达最高点时，速度为零.( × ) 2.在距地面高80 m 的低空有一小型飞机以30 m/s 的速度水平飞行，假定从飞机上释放一物 体，g 取10 m/s2，不计空气阻力，那么物体落地时间是 s，它在下落过程中发生的水平 位移是 m；落地前瞬间的速度大小为 m/s. 答案 4 120 50 解析 由h＝gt2，得：t＝，代入数据得：t＝4 s 水平位移x＝v0t，代入数据得： x＝30×4 m＝120 m v0＝30 m/s，vy＝＝40 m/s 故v＝ 代入数据得v＝50 m/s. 一、对平抛运动的理解 导学探究 图3 为一人正在练习水平投掷飞镖，请思考：(不计空气阻力) 图3 (1)飞镖掷出后，其加速度的大小和方向是否变化？ (2)飞镖的运动是什么性质的运动？ 答案 (1)加速度为重力加速度g，大小和方向均不变. (2)匀变速曲线运动. 知识深化 1.平抛运动的特点 (1)做平抛运动的物体水平方向不受力，做匀速直线运动；竖直方向只受重力，做自由落体 运动；其合运动为匀变速曲线运动，其轨迹为抛物线. (2)平抛运动的速度方向沿轨迹的切线方向，速度大小、方向不断变化. 2.平抛运动的速度变化 如图4 所示，由Δv＝gΔt 知，任意两个相等的时间间隔内速度的变化量相同，方向竖直向下. 图4 (2019·蚌埠市第二学期质检)关于平抛运动，下列说法中正确的是( ) A.平抛运动是一种变加速运动 B.做平抛运动的物体加速度随时间逐渐增大 C.做平抛运动的物体每秒内速度增量相等 D.做平抛运动的物体每秒内位移增量相等 答案 C 解析 平抛运动是匀变速曲线运动，其加速度为重力加速度g，故加速度的大小和方向恒定， 在Δt 时间内速度的改变量为Δv＝gΔt，因此可知每秒内速度增量大小相等、方向相同，选 项A、B 错误，C 正确；由于水平方向的位移x＝v0t，每秒内水平位移增量相等，而竖直方 向的位移h＝gt2，每秒内竖直位移增量不相等，故每秒内位移增量不相等，选项D 错误. 二、平抛运动规律的应用 导学探究 图5 为小球水平抛出后，在空中做平抛运动的运动轨迹.(自由落体加速度为g，初速度为 v0，不计空气阻力) 图5 (1)小球做平抛运动，为了便于研究，我们应如何建立坐标系？ (2)以抛出时刻为计时起点，求t 时刻小球的速度大小和方向. (3)以抛出时刻为计时起点，求t 时刻小球的位移大小和方向. 答案 (1)一般以初速度v0的方向为x 轴的正方向，竖直向下的方向为y 轴的正方向，以小 球被抛出的位置为坐标原点，建立平面直角坐标系. (2)如图所示，初速度为v0的平抛运动，经过时间t 后，其水平分速度vx＝v0，竖直分速度vy ＝gt.根据运动的合成规律可知，小球在这个时刻的速度(即合速度)大小v＝＝，设这个时刻 小球的速度方向与水平方向的夹角为θ，则有tan θ＝＝. (3)如图所示，水平方向：x＝v0t 竖直方向：y＝gt2 合位移： s＝＝ 设这个时刻小球的合位移方向与水平方向之间的夹角为α，则tan α＝＝. 知识深化 1.平抛运动的研究方法 (1)把平抛运动分解为水平方向上的匀速直线运动和竖直方向上的自由落体运动. (2)分别运用两个分运动的运动规律去求分速度、分位移等，再合成得到平抛运动的速度、 位移等. 2.平抛运动的规律 (1)平抛运动的时间：t＝，只由高度决定，与初速度无关. (2)水平位移(射程)：x＝v0t＝v0，由初速度和高度共同决定. (3)落地速度：v＝＝，与水平方向的夹角为θ，tan θ＝＝，落地速度由初速度和高度共同决 定. 3.平抛运动的推论 (1)做平抛运动的物体在某时刻，其速度方向与水平方向的夹角为θ，位移方向与水平方向的 夹角为α，则有tan θ＝2tan α. 证明：如图6 所示，tan θ＝＝ tan α＝＝＝ 所以tan θ＝2tan α. 图6 (2)做平抛运动的物体在任意时刻的速度的反向延长线一定通过此时水平位移的中点. 证明：xA＝v0t，yA＝gt2，vy＝gt， 又tan θ＝＝，解得xA′B＝＝. (2019·平顶山市高一下学期期末)如图7 所示为某公园的喷水装置，若水从喷水口中 水平喷出，忽略空气阻力及水之间的相互作用，下列说法中正确的是( ) 图7 A.喷水口高度一定，喷水速度越大，水从喷出到落入池中的时间越短 B.喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越近 C.喷水速度一定，喷水口高度越高，水喷得越近 D.喷水口高度一定，无论喷水速度多大，水从喷出到落入池中的时间都相等 答案 D 解析 由题意可将水的运动看成平抛运动，竖直方向做自由落体运动，水平方向做匀速直线 运动，则竖直方向有：h＝gt2，得t＝，可知水从喷出到落入池中的时间由喷水口高度决定， 与喷水速度无关，所以喷水口高度一定，运动时间一定，故A 错误，D 正确.水平方向有：x ＝v0t＝v0，则知喷水口高度一定，喷水速度越大，水喷得越远；喷水速度一定，喷水口高度 越高，水喷得越远，故B、C 错误. 以30 m/s 的初速度水平抛出一个物体，经过一段时间后，物体的速度方向与水平方 向成30°角，不计空气阻力，g 取10 m/s2.求： (1)此时物体相对于抛出点的水平位移大小和竖直位移大小； (2)再经过多长时间，物体的速度方向与水平方向的夹角为60°.(物体的抛出点足够高) 答案 (1)30 m 15 m (2)2 s 解析 (1)设物体在A 点时速度方向与水平方向成30°角，如图所示，tan 30°＝＝，tA＝＝ s 所以在此过程中水平方向的位移xA＝v0tA＝30 m 竖直方向的位移yA＝gtA 2＝15 m. (2)设物体在B 点时速度方向与水平方向成60°角，总运动时间为tB，则tB＝＝3 s 所以物体从A 点运动到B 点所经历的时间Δt＝tB－tA＝2 s. 三、平抛运动的临界问题 (多选)(2019·定远育才学校第二学期期末)如图8 所示，水平屋顶高H＝5 m，围墙高 h＝3.2 m，围墙到房子的水平距离L＝3 m，围墙外马路宽x＝10 m，为使小球从屋顶水平飞 出落在围墙外的马路上，小球离开屋顶时的速度v0的大小的可能值为(围墙厚度忽略不计， 忽略空气阻力，g 取10 m/s2)( ) 图8 A.6 m/s B.12 m/s C.4 m/s D.2 m/s 答案 AB 解析 刚好能越过围墙时，水平方向：L＝v0t 竖直方向：H－h＝gt2 解得v0＝5 m/s 刚好能落到马路外边缘时，水平方向：L＋x＝v0′t′ 竖直方向：H＝gt′2 解得v0′＝13 m/s， 所以为使小球从屋顶水平飞出落在围墙外的马路上，速度的取值5 m/s≤v≤13 m/s，故选A、B. 分析平抛运动中的临界问题时一般运用极限分析的方法，即把要求的物理量设定为极大或极 小，让临界问题突显出来，找出满足临界状态的条件. 针对训练 一阶梯如图9 所示，其中每级台阶的高度和宽度都是0.4 m，一小球以水平速度 v 从图示位置飞出，不计空气阻力，g 取10 m/s2，欲打在第4 级台阶上，则v 的取值范围是( ) 图9 A. m/s<v≤2 m/s B.2 m/s<v≤3.5 m/s C. m/s<v< m/s D.2 m/s<v< m/s 答案 A 解析 若恰好打在第3 级台阶的边缘，则有： 3h＝gt3 2，3l＝v3t3 解得v3＝ m/s 若恰好打在第4 级台阶的边缘， 则有4h＝gt4 2，4l＝v4t4 解得v4＝2 m/s 所以打在第4 级台阶上应满足的条件： m/s<v≤2 m/s. 四、斜抛运动 1.斜抛运动的规律 (1)斜抛运动的性质：斜抛运动是加速度恒为重力加速度g 的匀变速曲线运动，轨迹是抛物 线. 图10 (2)斜抛运动的基本规律(以斜上抛为例说明，如图10 所示) ①水平方向：v0x＝v0cos θ，F 合x＝0. ②竖直方向：v0y＝v0sin θ，F 合y＝mg. (3)斜上抛运动可以看成水平方向的匀速直线运动和竖直方向的竖直上抛运动的合运动. ①速度公式：vx＝v0x＝v0cos θ vy＝v0y－gt＝v0sin θ－gt ②位移公式：x＝v0cos θ·t y＝v0sin θ·t－gt2 2.斜抛运动的对称性 (1)时间对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的上升时间等于下降时间. (2)速度对称：相对于轨迹最高点，两侧对称的两点速度大小相等. (3)轨迹对称：斜抛运动的轨迹相对于过最高点的竖直线对称. 苏格兰的塞尔海峡位于欧洲大陆与塞尔岛之间，这个海峡宽约6 m，假设有一位运 动员，他要以与水平面成37°的角度斜向上进行“越海之跳”，可使这位运动员越过这个海 峡的初速度的最小值是多少？(忽略空气阻力.sin 37°＝0.6，cos 37°＝0.8，g 取10 m/s2) 答案 m/s 解析 设该运动员的最小初速度为v0，其在水平方向运动的距离恰为6 m，则其水平分速度： v0x＝v0cos 37° 水平位移：x＝v0xt 竖直分速度：v0y＝v0sin 37° 运动时间：t＝2 联立并代入数据得：v0＝ m/s. 1.(平抛运动的理解)(多选)关于平抛运动，下列说法正确的是( ) A.平抛运动是一种在恒力作用下的曲线运动 B.平抛运动的速度方向与合力方向的夹角保持不变 C.平抛运动的速度大小是时刻变化的 D.平抛运动的速度方向与加速度方向的夹角一定越来越小 答案 ACD 解析 做平抛运动的物体只受重力作用，故A 正确；平抛运动是曲线运动，速度时刻变化， 由v＝知，合速度v 在增大，故C 正确；对平抛物体的速度方向与加速度(合力)方向的夹角 θ，有tan θ＝＝，因t 一直增大，所以tan θ 变小，θ 变小，故D 正确，B 错误. 2.(平抛运动规律的应用)(多选)(2018·南充市高一检测)如图11 所示，在网球的网前截击练习 中，若练习者在球网正上方距地面H 处，将球以速度v 沿垂直球网的方向击出，球刚好落 在底线上，已知底线到网的距离为L，重力加速度为g，将球的运动视作平抛运动，下列表 述正确的是( ) 图11 A.球的速度v 等于L B.球从击出至落地所用时间为 C.球从击球点至落地点的位移等于L D.球从击球点至落地点的位移与球的质量有关 答案 AB 解析 由平抛运动规律知，在水平方向上有：L＝vt，在竖直方向上有：H＝gt2，联立解得t ＝ ，v＝L，所以A、B 正确；球从击球点至落地点的位移为s＝，C、D 错误. 3.(平抛运动规律的应用)(2019·永春一中高一下学期期末)如图12 所示，喷枪水平放置且固定， 图中虚线分别为水平线和竖直线.A、B、C、D 为喷枪射出的打在墙上的四个液滴，四个液 滴均可以视为质点；不计空气阻力，已知D、C、B、A 与水平线的间距依次为1 cm、4 cm、9 cm、16 cm，则下列说法正确的是( ) 图12 A.A、B、C、D 四个液滴的射出速度相同 B.A、B、C、D 四个液滴在空中的运动时间是相同的 C.A、B、C、D 四个液滴出射速度之比应为1∶2∶3∶4 D.A、B、C、D 四个液滴出射速度之比应为3∶4∶6∶12 答案 D 解析 液滴在空中做平抛运动，水平方向做匀速直线运动，竖直方向做自由落体运动.设喷 枪到墙的水平距离为x，液滴到墙时下落的高度为h，则有：x＝v0t，h＝gt2，可得：t＝，v0 ＝x，由题图知：A、B、C、D 四个液滴的水平距离x 相等，下落高度h 不等，则四个液滴的 运动时间及射出的初速度一定不同，故A 、B 错误；四个液滴下落高度之比为 16∶9∶4∶1，由v0＝x 和数学知识可得：液滴出射速度之比应为3∶4∶6∶12，故C 错误，D 正确. 4.(平抛运动的临界问题)如图13 所示，M、N 是两块挡板，挡板M 高h′＝10 m，其上边缘与 挡板N 的下边缘在同一水平面.从高h＝15 m 的A 点以速度v0水平抛出一小球(可视为质点)， A 点与两挡板的水平距离分别为d1＝10 m，d2＝20 m.N 板的上边缘高于A 点，若能使小球直 接进入挡板M 的右边区域，则小球水平抛出的初速度v0的大小 可能是下列给出数据中的哪个(g 取10 m/s2，空气阻力不计)( ) 图13 A.8 m/s B.4 m/s C.15 m/s D.21 m/s 答案 C 解析 要让小球落到挡板M 的右边区域，下落的高度为Δh＝h－h′＝5 m，由t＝得t＝1 s， 由d1＝v01t，d2＝v02t，得v0的范围为10 m/s≤v0≤20 m/s，故C 正确，A、B、D 错误. 考点一 平抛运动的理解 1.(2018·三明市三地三校高一下期中)关于平抛运动，下列说法中正确的是( ) A.平抛运动是一种不受任何外力作用的运动 B.平抛运动是曲线运动，其速度方向不断改变，不可能是匀变速运动 C.做平抛运动的物体质量越小，落点就越远，质量越大，落点就越近 D.平抛运动可以分解为水平方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动 答案 D 解析 做平抛运动的物体受重力的作用，故A 错误；平抛运动是曲线运动，其速度方向沿 轨迹的切线方向，不断改变，所以平抛运动是变速运动；由于其加速度为g，保持不变，所 以平抛运动是匀变速曲线运动，故B 错误；由平抛运动规律知，做平抛运动的物体的落点 远近只与其初速度和下落高度有关，与其质量无关，故C 错误；平抛运动可以分解为水平 方向的匀速直线运动和竖直方向的自由落体运动，故D 正确. 2.从离地面h 高处投出A、B、C 三个小球，A 球自由下落，B 球以速度v 水平抛出，C 球以 速度2v 水平抛出，不计空气阻力，它们落地时间tA、tB、tC的关系是( ) A.tA<tB<tC B.tA>tB>tC C.tA<tB＝tC D.tA＝tB＝tC 答案 D 解析 平抛运动物体的飞行时间仅与高度有关，与水平方向的初速度大小无关，故tB＝tC， 而平抛运动的竖直分运动为自由落体运动，所以tA＝tB＝tC，D 正确. 3.(2019·林州一中期中)物体做平抛运动时，下列描述物体速度变化量大小Δv 随时间t 变化 的图像，可能正确的是( ) 答案 D 解析 根据平抛运动的规律Δv＝gt，可得Δv 与t 成正比，Δv 与t 的关系图线为一条过原点 的倾斜直线，选项D 正确. 考点二 平抛运动规律的应用 4.在平坦的垒球运动场上，击球手挥动球棒将垒球水平击出，垒球飞行一段时间后落地.若 不计空气阻力，则( ) A.垒球落地时瞬时速度的大小仅由初速度决定 B.垒球落地时瞬时速度的方向仅由击球点离地面的高度决定 C.垒球在空中运动的水平位移仅由初速度决定 D.垒球在空中运动的时间仅由击球点离地面的高度决定 答案 D 解析 垒球被击出后做平抛运动，设垒球在空中运动时间为t，由h＝gt2得t＝，故t 仅由高 度h 决定，选项D 正确；水平位移x＝v0t＝v0，故水平位移x 由初速度v0和高度h 共同决定， 选项C 错误；落地速度v＝＝，故落地速度v 由初速度v0和高度h 共同决定，选项A 错误； 设落地速度v 与水平方向的夹角为θ，则tan θ＝，故落地速度v 的方向由初速度v0和高度h 共同决定，选项B 错误. 5.羽毛球运动员林丹曾在某综艺节目中表演羽毛球定点击鼓，如图1 所示是他表演时的羽毛 球场地示意图.图中甲、乙两鼓等高，丙、丁两鼓较低但也等高.若林丹各次发球时羽毛球飞 出位置不变且均做平抛运动，则( ) 图1 A.击中甲、乙两鼓的两球初速度v 甲＝v 乙 B.击中甲、乙两鼓的两球初速度v 甲>v 乙 C.假设某次发球能够击中甲鼓，用相同速度发球可能击中丁鼓 D.击中四鼓的羽毛球中，击中丙鼓的初速度最大 答案 B 解析 甲、乙两鼓距飞出点的高度相同，击中甲、乙两鼓的羽毛球的运动时间相同，由于水 平位移x 甲>x 乙，所以v 甲>v 乙，故A 错误，B 正确；由题图可知，羽毛球的发球点与甲、丁 两鼓，三个点不在同一直线上，所以用能够击中甲鼓的速度，不可能击中丁鼓，故C 错误； 由于丙、丁两鼓的高度相同，但丁鼓距离发球点的水平距离更大，所以击中丁鼓的初速度一 定大于击中丙鼓的初速度，故D 错误. 6.(2019·田家炳实验中学高一下学期期末)如图2 所示，a、b 和c 三个小球从同一竖直线上的 A、B 两点水平抛出，落到同一水平面上，其中b 和c 是从同一点抛出的，a、b 两球落在同 一点.设a、b 和c 三个小球的初速度分别为va、vb、vc，运动时间分别为ta、tb、tc，不考虑 空气阻力，则( ) 图2 A.va>vb＝vc，ta>tb>tc B.va>vb>vc，ta<tb＝tc C.va<vb<vc，ta＝tb>tc D.va>vb>vc，ta>tb＝tc 答案 B 解析 a、b、c 三个小球做平抛运动，竖直方向为自由落体运动，即h＝gt2，则t＝，即小球 运动时间由抛出点的高度决定，故ta<tb＝tc；水平方向为匀速直线运动，即x＝v0t，则v0 ＝，由于tb＝tc，xb>xc，故vb>vc；由于ta<tb，而且xa＝xb，故va>vb，综