2024年广东省深圳中学自主招生数学试卷

2024 年广东省深圳中学自主招生数学试卷 一、填空题。 1．（3 分） ＝ ． 2．（3 分）方程在 的正解为 ． 3．（3 分）等腰△B 的底边长为30，腰上的高为24，则△B 的腰长为 ． 4．（3 分）已知实数m，满足20m2+24m+1＝0，2+24+20＝0 且m≠1，则 ＝ ． 5．（3 分）若x 为全体实数，则函数y＝x2﹣2|x|+3 与y＝2x2﹣4x+3 的交点有 个． 6．（3 分）若b≠0， ，则 ＝ ． 7．（3 分）K 为△B 内一点，过点K 作三边的垂线KM，K，KP，若M＝3，BM＝5，B＝4，＝2，P＝4， 则P2＝ ． 8．（3 分）已知，b，，令，b，的最小值为m{，b，}，已知f（x）＝m{4x+1，x+2，﹣2x+4}，若f（x） 的最大值为M，则6M＝ ． 9．（3 分）已知正方形B，以B 为半径作圆，过的直线交⊙于M，Q，交B 与P，R 为PQ 中点，若P＝ 18，PR＝7，则B＝ ． 第1 页（共2 页） 10．（3 分）若，b，，d，e 为两两不同的整数，则（﹣b）2+（b﹣）2+（﹣d）2+（d﹣e）2+（e﹣f）2的 最小值为 ． 11．（3 分）P，PB 分别为⊙1和⊙2的切线，连接B 交⊙1于交⊙2于D，且＝BD，已知⊙1和⊙2的半径分别 为20 和24，则 ＝ ． 12．（3 分）已知，b，正整数，且只要 则 ，设m 的最小值为 （ 为最简分 数），则r+s＝ ． 13．（3 分）对于任意实数x，y，定义运算符号*，且x*y 有唯一解，满足（*b）+＝（*）+（b*），0* （+b）＝（0*）+（0*b），则20*24＝ ． 14．（3 分）已知正整数，B，且＞B＞，满足 + + ＝879897，则 ＝ ． 15．（3 分）等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12 倍，则所有可能的等腰三角形的 腰长之和为 ． 第2 页（共2 页） 2024 年广东省深圳中学自主招生数学试卷 参考答与试题解析 一、填空题。 1．（3 分） ＝ 54 ． 【分析】利用同底数幂的乘法法则，有理数的混合运算法则进行计算，即可解答． 【解答】解： ＝ ＝ ＝ ＝ ＝54， 故答为：54． 【点评】本题考查了有理数的混合运算，同底数幂的乘法，准确熟练地进行计算是解题的关键． 2．（3 分）方程在 的正解为 x ＝ 5 ． 【分析】根据解无理方程的步骤求解即可． 【解答】解：首先，考虑方程的两边统一分母． 给定的方程是： ， 第3 页（共2 页） 通过通分，我们可以将左边的两个分数合并为一个分数： ， 展开并化简分母和分子： 分母： ＝x2﹣（32﹣x2）＝2x2﹣32， 分子： ， 于是原方程简化为： ， 进一步简化得到：18x＝x（2x2﹣32）， 移项并除以x（假设x≠0）， 得：18＝2x2﹣32， 解这个二次方程得到x 的值：2x2＝50， x2＝25 x＝±5， 方程的正解为x＝5． 故答为：x＝5． 【点评】本题考查无理方程，解题的关键是掌握无理方程的解题方法． 3．（3 分）等腰△B 的底边长为30，腰上的高为24，则△B 的腰长为 25 ． 【分析】根据等腰三角形的性质和勾股定理即可得到结论． 【解答】解：∵等腰△B 的底边长为30，腰上的高为24， ∴D＝ ＝ ＝18， ∵B2＝D2+BD2， ∴B2＝（B﹣18）2+242， ∴B＝25， 故答为：25． 第4 页（共2 页） 【点评】本题考查了等腰三角形的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解题的关键． 4．（3 分）已知实数m，满足20m2+24m+1＝0，2+24+20＝0 且m≠1，则 ＝ 50 ． 【分析】由两个方程的形式可知，m， 是方程20x2+24x+1＝0 的两个根，根据根与系数的关系得到 m+1 与的数量关系并代入计算即可． 【解答】解：由题意可知，m， 是方程20x2+24x+1＝0 的两个根， ∴m+ ＝﹣ ＝﹣ ，即 ＝﹣ ， ∴1+m＝﹣ ， ∴| |＝| |＝50． 故答为：50． 【点评】本题考查考查根与系数的关系、绝对值，确定m， 是方程20x2+24x+1＝0 的两个根、掌握根 与系数的关系是解题的关键． 5．（3 分）若x 为全体实数，则函数y＝x2﹣2|x|+3 与y＝2x2﹣4x+3 的交点有 2 个． 【分析】根据二次函数的性质，分x≥0 和x＜0 两种情况把两函数解析式整理成一般形式，求x 的值， 确定交点个数即可． 【解答】解：方法①：∵y＝x2﹣2|x|+3， ∴当x≥0 时，y＝x2﹣2x+3， 联立方程组 ， 第5 页（共2 页） ∴x2﹣2x+3＝2x2﹣4x+3， 整理，得x2﹣2x＝0， 解得：x1＝0，x2＝2； 当x＜0 时，y＝x2+2x+3， 联立方程组 ， ∴x2+2x+3＝2x2﹣4x+3， 整理，得x2﹣6x＝0， 解得：x3＝0，x4＝6， ∴交点有2 个． 故答为：2． 方法②：图象法，在同一坐标系中画两个函数的图象． 如图，两函数的交点有2 个． 【点评】本题考查了二次函数的性质，利用分类讨论的思想，解题关键是根据x 的取值范围去掉绝对 值符号，整理成一般形式求解． 6．（3 分）若b≠0， ，则 ＝ 0 ． 【分析】利用“代1”法将 进行变形处理即可求得答． 【解答】解：∵b≠0， ， ∴+b+ ＝（+b+）（ ） ＝ +（b+）• + +（+）• + +（+b）• 第6 页（共2 页） ＝ +（+b+）， 所以 ＝0． 故答为：0． 【点评】本题主要考查了分式的化简求值，解题的技巧性在于“1”的巧妙应用． 7．（3 分）K 为△B 内一点，过点K 作三边的垂线KM，K，KP，若M＝3，BM＝5，B＝4，＝2，P＝4， 则P2＝ 12 ． 【分析】连接K、BK、K，由∠MK＝∠BMK＝∠BK＝∠K＝∠PK＝∠PK＝90°，得K2﹣M2＝BK2﹣BM2＝ KM2，BK2﹣B2＝K2﹣2＝K2，K2﹣P2＝K2﹣P2＝KP2，求得K2＝BK2﹣16，BK2＝K2+12，K2＝K2﹣ P2+16，可推导出K2＝K2﹣P2+12，则P2＝12，于是得到问题的答． 【解答】解：连接K、BK、K， ∵KM⊥B 于点M，K⊥B 于点，KP⊥于点P， ∴∠MK＝∠BMK＝∠BK＝∠K＝∠PK＝∠PK＝90°， ∴K2﹣M2＝BK2﹣BM2＝KM2，BK2﹣B2＝K2﹣2＝K2，K2﹣P2＝K2﹣P2＝KP2， ∵M＝3，BM＝5，B＝4，＝2，P＝4， ∴K2＝BK2﹣52+32＝BK2﹣16，BK2＝K2﹣22+42＝K2+12，K2＝K2﹣P2+42＝K2﹣P2+16， ∴K2＝K2+12﹣16＝K2﹣4， ∵K2﹣4＝K2﹣P2+16﹣4＝K2﹣P2+12， ∴K2＝K2﹣P2+12， ∴P2＝12， 故答为：12． 第7 页（共2 页） 【点评】此题重点考查勾股定理的应用，正确地作出辅助线并且求得K2＝BK2﹣16，BK2＝K2+12，K2 ＝K2﹣P2+16 是解题的关键． 8．（3 分）已知，b，，令，b，的最小值为m{，b，}，已知f（x）＝m{4x+1，x+2，﹣2x+4}，若f（x） 的最大值为M，则6M＝ 14 ． 【分析】根据题意，令y1＝4x+1，y2＝x+2，y3＝﹣2x+4，联立方程组可求得直线y1＝4x+1 与直线y2＝ x+2 的交点为 ，直线y1＝4x+1 与y3＝﹣2x+4 的交点为 ，直线y2＝x+2 与y3＝﹣2x+4 的交 点为 ， 再分情况进行分析：当 时，f（x） ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ．进而求出M 的值，即可得出答． 【解答】解：由题意，令y1＝4x+1，y2＝x+2，y3＝﹣2x+4， 由 ， 第8 页（共2 页） 解得： ， 由 ， 解得： ， 由 ， 解得： ， ∴直线y1＝4x+1 与直线y2＝x+2 的交点为 ， 直线y1＝4x+1 与y3＝﹣2x+4 的交点为 ， 直线y2＝x+2 与y3＝﹣2x+4 的交点为 ， ∴当 时，f（x）＝4x+1， 当 时，f（x）＝x+2， 当 时，f（x）＝﹣2x+4， 当 时，f（x）＝4x+1， 第9 页（共2 页） 即f（x）＝ ， ∴当 时，f（x） ； 当 时， ； 当 时， ； 当 时， ． 综上所述， ，即f（x）的最小值为 ， ∴M＝ ， ∴6M＝ ． 故答为：14． 【点评】本题考查了一次函数与二元一次方程组，解二元一次方程组，熟练掌握一次函数与二元一次 方程组，解二元一次方程组的方法是解题的关键． 9．（3 分）已知正方形B，以B 为半径作圆，过的直线交⊙于M，Q，交B 与P，R 为PQ 中点，若P＝ 18，PR＝7，则B＝ ． 第10 页（共2 页） 【分析】过P 作直径F，延长交⊙于E，先证明△M～△QM，故2＝M•Q．再证明△MP～△QFP，故 P•PF＝MP•PQ．最后证明△BP≌△BP，故P＝P＝18．再换算即可． 【解答】解：过P 作直径F，延长交⊙于E，连M、ME、M、FQ． ∵正方形B， ∴∠M+∠ME＝90°， ∵E 为直径， ∴∠E+∠ME＝90°， ∴∠M＝∠E＝∠Q， 又∠M＝∠M， ∴△M～△QM， ∴2＝M•Q． ∵∠MP＝∠FQP，∠MP＝∠QFP， 第11 页（共2 页） ∴△MP～△QFP， ∴P•PF＝MP•PQ． ∵正方形B， ∴B＝B，∠BP＝∠BP， 又BP＝BP， ∴△BP≌△BP（SS）， ∴P＝P＝18． 由2＝M•Q 得2＝（P﹣MP）•（P+PQ）＝（18﹣MP）•（18+7+7）＝32（18﹣MP）． 由P•PF＝MP•PQ 得（+P）•（F﹣P）＝MP•（7+7）， 即2﹣P2＝14MP， ∴2＝14MP+182， ∵＝， ∴32（18﹣MP）＝14MP+182， ∴MP＝ ， ∴2＝32（18﹣MP）＝ ， ∴＝ ， ∴B＝ ＝ ． 故答为： ． 【点评】本题考查了正方形综合题，运用正方形性质，结合相似是解题关键． 10．（3 分）若，b，，d，e 为两两不同的整数，则（﹣b）2+（b﹣）2+（﹣d）2+（d﹣e）2+（e﹣f）2的 最小值为 14 ． 【分析】根据题意，，b，，d 为两两不同的整数，可得（﹣b）2＞0，（b﹣）2＞0，（﹣d）2＞0， （d﹣e）2＞0，（e﹣f）2＞0，即可得（﹣b）2+（b﹣）2+（﹣d）2+（d﹣e）2+（e﹣f）2的最小值为： 1+3+5+4+2＝14． 【解答】解：∵，b，，d 为两两不同的整数， ∴（﹣b）2＞0，（b﹣）2＞0，（﹣d）2＞0，（d﹣e）2＞0，（e﹣f）2＞0， ∴（﹣b）2+（b﹣）2+（﹣d）2+（d﹣e）2+（e﹣f）2的最小值为：1+3+5+4+2＝14． 第12 页（共2 页） 故答为：14． 【点评】本题考查了整式的混合运算，完全平方公式，熟练掌握整式混合运算法则，完全平方公式是 解题的关键． 11．（3 分）P，PB 分别为⊙1和⊙2的切线，连接B 交⊙1于交⊙2于D，且＝BD，已知⊙1和⊙2的半径分别 为20 和24，则 ＝ 125 ． 【分析】作PG⊥B，1E⊥，2F⊥BD，证E＝BF，证∠E1＝∠PG，∠FB2＝∠BPG，证△PG∽△1E， △BPG∽△2BF，得出 ，即可解答． 【解答】解：作PG⊥B，1E⊥，2F⊥BD， ∵1E⊥，2F⊥BD， ∴E＝E，DF＝BF，∠E1＝∠BF2＝90°， ∵＝BD， ∴E＝BF， 第13 页（共2 页） ∵P，PB 分别为⊙1和⊙2的切线， ∴∠P1＝90°，∠PB2＝90°， ∵PG⊥B， ∴∠GP＝∠BGP＝90°， ∴∠E1＝∠PG，∠FB2＝∠BPG， ∴△PG∽△1E，△BPG∽△2BF， ∴ ， ∴ ， ∴ ， ∴ ． 故答为：125． 【点评】本题考查切线的性质，垂径定理，相似三角形的判定和性质，作辅助线，构造相似三角形是 解题的关键． 12．（3 分）已知，b，正整数，且只要 则 ，设m 的最小值为 （ 为最简分 数），则r+s＝ 3 ． 【分析】根据题意，＞1，b＞1，＞1，可得 ， ， ，进而得出 ，结合 已知可得出 ，即 的最大值为2，即可得出m 的值，即 的值，根据最简分数定 义，即可得出答． 【解答】解：∵＞1，b＞1，＞1， ∴ ， ， ， ∴ ， 又∵ ， 第14 页（共2 页） ∴ ，即 的最大值为2， ∴m＝2， ∴ ， ∵ 为最简分数， ∴r+s＝2+1＝3． 故答为：3． 【点评】本题考查了分式的加减，最简分数定义，代数式求值，掌握分式的加减运算法则，最简分数 定义是解题的关键． 13．（3 分）对于任意实数x，y，定义运算符号*，且x*y 有唯一解，满足（*b）+＝（*）+（b*），0* （+b）＝（0*）+（0*b），则20*24＝ 0 ． 【分析】根据新定义把20*24 变成（*b）+＝（*）+（b*）据此解答即可． 【解答】解：令＝0，则（*b）+0＝*0+b*0，即*b＝*0+b*0， 令＝b＝0， ∴*b＝*0+b*0， ∴20*24＝0． 故答为：0． 【点评】本题考查了实数的运算、数与式中的新定义问题，理解“*”的规定是关键． 14．（3 分）已知正整数，B，且＞B＞，满足 + + ＝879897，则 ＝ 832 ． 【分析】根据平方的尾数和特征，从而得出B 三个数的可能，再代入验证即可． 【解答】解：12＝1，22＝4，32＝9，42＝16，52＝25，62＝36，72＝49，82＝64，92＝81， 若尾数为7，则在1、4、9、6、5、6、9、4、1 中， 1+1+5＝7，此时、B、三个数为9、5、1， 6+5+6＝17，此时、B、三个数为6、5、4， 4+9+4＝17，此时、B、三个数为8、3、2，或8、7、2， 下面开始验证， 9512+5192+1952＝1211787，不符合题意， 6542+5462+4652＝942057，不符合题意， 第15 页（共2 页） 8322+3282+2832＝879897，符合题意， 8722+7282+2872＝1372737，不符合题意， 综上， ＝832． 故答为：832． 【点评】本题主要考查尾数平方的特征，利用尾数和得出、B、三个数的可能性是解题的关键． 15．（3 分）等腰三角形边长均为整数，其的面积在数值上是周长的12 倍，则所有可能的等腰三角形的 腰长之和为 560 ． 【分析】根据题意将腰长和底边设出来，通过面积和周长的关系建立关于和b 的等式，再利用分式取 整的计算方法求解即可． 【解答】解：如图，作D⊥B 于点D， 设腰长B＝b，底边B＝2，则BD＝， 在Rt△BD 中，D＝ ， ∴S△B＝• ，△B＝2+2b， ∴12•2（+b）＝• ， 故 ＝ ， ∴2b﹣3＝576b+576， ∴b＝ ＝+ ＝+ ＝+ ＝+ + ， ∵，b 为整数， ∴＝40，b＝85 或＝48，b＝80 或＝72，b＝90 或＝120，b＝130 或＝168，b＝175， 第16 页（共2 页） ∴可能的腰长之和为：85+80+90+130+175＝560． 故答为：560． 【点评】本题主要考查了等腰三角形的性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 声明：试题解析著作权属所有，未经书面同意，不得复制发布日期：2024/11/10 9:24:11；用户：数学刘老师；邮箱：13826587689；学号：8048534 第17 页（共2 页）