高中物理新教材同步选择性必修第二册 第1章 3 带电粒子在匀强磁场中的运动

3 带电粒子在匀强磁场中的运动 [学习目标] 1.知道带电粒子初速度方向和磁场方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中做匀速 圆周运动.2.会根据洛伦兹力提供向心力推导半径公式和周期公式.3.会分析带电粒子在匀强磁 场中运动的基本问题． 一、带电粒子在匀强磁场中的运动 1．若v∥B，带电粒子以速度v 做匀速直线运动，其所受洛伦兹力F＝0. 2．若v⊥B，此时初速度方向、洛伦兹力的方向均与磁场方向垂直，粒子在垂直于磁场方向 的平面内运动． (1)洛伦兹力与粒子的运动方向垂直，只改变粒子速度的方向，不改变粒子速度的大小． (2)带电粒子在垂直于磁场的平面内做匀速圆周运动，洛伦兹力提供向心力． 二、带电粒子在磁场中做圆周运动的半径和周期 1．由qvB＝m，可得r＝. 2．由r＝和T＝，可得T＝.带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径和运动 速度无关． 1．判断下列说法的正误． (1)运动电荷进入磁场后(无其他场)可能做匀速圆周运动，不可能做类平抛运动．( √ ) (2)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径跟粒子的速率成正比．( √ ) (3)带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的周期与轨道半径成正比．( × ) (4)运动电荷在匀强磁场中做圆周运动的周期随速度的增大而减小．( × ) 2. 质子和α 粒子由静止出发经过同一加速电场加速后，沿垂直磁感线方向进入同一匀强磁场， 则它们在磁场中的速度大小之比为________；轨道半径之比为________；周期之比为______ __． 答案 ∶1 1∶ 1∶2 一、带电粒子在匀强磁场中运动的基本问题 导学探究 如图1 所示，可用洛伦兹力演示仪观察运动电子在匀强磁场中的偏转． 图1 (1)不加磁场时，电子束的运动轨迹如何？加上磁场后，电子束的运动轨迹如何？ (2)如果保持出射电子的速度不变，增大磁感应强度，轨迹圆半径如何变化？如果保持磁感 应强度不变，增大出射电子的速度，轨迹圆半径如何变化？ 答案 (1)一条直线 圆 (2)变小 变大 知识深化 1．分析带电粒子在磁场中的匀速圆周运动，要紧抓洛伦兹力提供向心力，即qvB＝m. 2．同一粒子在同一磁场中做匀速圆周运动，由r＝知，r 与v 成正比；由T＝知，T 与速度 无关，与半径无关． 质子p(H)和α 粒子(He)以相同的速率在同一匀强磁场中做匀速圆周运动，轨道半径 分别为Rp和Rα，周期分别为Tp和Tα，则下列选项中正确的是( ) A．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2 B．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶1 C．Rp∶Rα＝1∶1，Tp∶Tα＝1∶2 D．Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶1 答案 A 解析 质子p(H)和α 粒子(He)的带电荷量之比为qp∶qα＝1∶2，质量之比mp∶mα＝1∶4.由带 电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的规律可知，轨道半径R＝，周期T＝，因为两粒子速 率相同，代入q、m，可得Rp∶Rα＝1∶2，Tp∶Tα＝1∶2，故选项A 正确． 针对训练1 粒子甲的质量与电荷量分别是粒子乙的4 倍与2 倍，两粒子均带正电．让它们 在匀强磁场中同一点以大小相等、方向相反的速度开始运动．已知磁场方向垂直纸面向里． 以下四幅图中，能正确表示两粒子运动轨迹的是( ) 答案 B 解析 根据洛伦兹力提供向心力有Bqv＝m，得r＝，由于粒子甲的质量与电荷量分别是粒 子乙的4 倍与2 倍，可知甲的轨迹半径是乙的轨迹半径的2 倍，由于两粒子均带正电，由左 手定则可知，B 正确． 二、带电粒子在匀强磁场中的圆周运动 1．圆心的确定 圆心位置的确定通常有以下两种基本方法： (1)已知入射方向和出射方向时，可以过入射点和出射点作垂直于入射方向和出射方向的直 线，两条直线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图2 甲所示，P 为入射点，M 为出射点)． (2)已知入射方向和出射点的位置时，可以过入射点作入射方向的垂线，连线入射点和出射 点，作其中垂线，这两条垂线的交点就是圆弧轨道的圆心(如图乙所示，P 为入射点，M 为 出射点)． 图2 2．半径的确定 半径的计算一般利用几何知识解直角三角形．做题时一定要作好辅助线，由圆的半径和其他 几何边构成直角三角形．由直角三角形的边角关系或勾股定理求解． 3．粒子在匀强磁场中运动时间的确定 (1)粒子在匀强磁场中运动一周的时间为T，当粒子运动轨迹的圆弧所对应的圆心角为α 时， 其运动时间t＝T(或t＝T)． 确定圆心角时，利用好几个角的关系，即圆心角＝偏向角＝2 倍弦切角． (2)当v 一定时，粒子在匀强磁场中运动的时间t＝，l 为带电粒子通过的弧长． 如图3 所示，一带电荷量为2.0×10－9C、质量为1.8×10－16 kg 的粒子，从直线上一 点O 沿与PO 方向成30°角的方向进入磁感应强度为B 的匀强磁场中，经过1.5×10－6 s 后到 达直径上的P 点，求： 图3 (1)粒子做圆周运动的周期； (2)磁感应强度B 的大小； (3)若O、P 之间的距离为0.1 m，则粒子的运动速度的大小． 答案 见解析 解析 (1)作出粒子的运动轨迹，如图所示，由图可知粒子由O 到P 的大圆弧所对的圆心角 为300°， 则＝＝， 周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s (2)由T＝知B＝＝ T＝0.314 T. (3)由几何知识可知，半径r＝＝0.1 m 故粒子的运动速度v＝＝ m/s≈3.49×105 m/s. 针对训练2 如图4 所示，一束电子(电子电荷量为e)以与上边界夹角为60°的速度v 由A 点 射入磁感应强度为B、宽度为d 的平行边界的匀强磁场中，在C 点穿出磁场时的速度方向与 磁场下边界垂直．则电子的质量是多少？电子穿过磁场的时间是多少？ 图4 答案 解析 过A 点和C 点分别作速度的垂线，两者相交于O 点，即为电子做圆周运动的圆心， 则有θ＝30°， 由几何知识知Rsin 30°＝d 所以R＝2d 根据evB＝m 所以m＝＝ 由于 所对圆心角是30°， 因此电子在磁场区域运动的时间t＝T＝T， 又由于T＝，故t＝·＝. (2019·全国卷Ⅲ)如图5，在坐标系的第一和第二象限内存在磁感应强度大小分别为 B 和B、方向均垂直于纸面向外的匀强磁场．一质量为m、电荷量为q(q>0)的粒子垂直于x 轴射入第二象限，随后垂直于y 轴进入第一象限，最后经过x 轴离开第一象限．粒子在磁场 中运动的时间为( ) 图5 A. B. C. D. 答案 B 解析 设带电粒子进入第二象限的速度为v，在第二象限和第一象限中运动的轨迹如图所示， 对应的轨迹半径分别为R1和R2，由洛伦兹力提供向心力，有qvB＝m、T＝，可得R1＝、R2 ＝、T1＝、T2＝，带电粒子在第二象限中运动的时间为t1＝，在第一象限中运动的时间为t2 ＝T2，又由几何关系有cos θ＝＝，可得t2＝，则粒子在磁场中运动的时间为t＝t1＋t2，联立 以上各式解得t＝，选项B 正确，A、C、D 错误． 1．(带电粒子在匀强磁场中的运动)关于带电粒子在匀强磁场中的运动，下列说法正确的是( ) A．带电粒子飞入匀强磁场后，一定做匀速圆周运动 B．静止的带电粒子在匀强磁场中将会做匀加速直线运动 C．带电粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动时洛伦兹力的方向总是和运动方向垂直 D．当洛伦兹力方向和运动方向垂直时，带电粒子在匀强磁场中的运动一定是匀速圆周运动 答案 C 解析 若带电粒子的速度方向与磁场方向平行(同向或反向)，此时洛伦兹力为零，带电粒子 做匀速直线运动，A 错误；静止的带电粒子不受洛伦兹力，仍将静止，B 错误；带电粒子在 匀强磁场中做匀速圆周运动，洛伦兹力总跟速度方向垂直，即和运动方向垂直，C 正确；如 果带电粒子以与磁场方向成某一角度进入匀强磁场，洛伦兹力与运动方向垂直，带电粒子不 是做匀速圆周运动，D 错误． 2．(半径公式、周期公式)(多选)两个粒子A 和B 带有等量的同种电荷，粒子A 和B 以垂直于 磁场的方向射入同一匀强磁场，不计重力，则下列说法正确的是( ) A．如果两粒子的速度vA＝vB，则两粒子的半径RA＝RB B．如果两粒子的动能EkA＝EkB，则两粒子的周期TA＝TB C．如果两粒子的质量mA＝mB，则两粒子的周期TA＝TB D．如果两粒子的质量与速度的乘积mAvA＝mBvB，则两粒子的半径RA＝RB 答案 CD 解析 因为粒子在匀强磁场中做匀速圆周运动的半径r＝，周期T＝，又粒子电荷量相等且 在同一磁场中，所以q、B 相等，r 与m、v 有关，T 只与m 有关，所以A、B 错误，C、D 正确． 3.(带电粒子做匀速圆周运动的分析)如图6 所示，有界匀强磁场边界线SP∥MN，速率不同的 同种带电粒子从S 点沿SP 方向同时射入磁场．其中穿过a 点的粒子的速率v1与MN 垂直； 穿过b 点的粒子的速率v2与MN 成60°角，设两粒子从S 点到a、b 两点所需时间分别为t1和 t2，则t1∶t2为(粒子的重力不计)( ) 图6 A．1∶3 B．4∶3 C．1∶1 D．3∶2 答案 D 解析 如图所示，可求出从a 点射出的粒子对应的圆心角为90°，从b 点射出的粒子对应的 圆心角为60°，由t＝T，式中α 为圆心角，可得t1∶t2＝3∶2，故D 正确． 4.(带电粒子做匀速圆周运动的分析)如图7 所示，匀强磁场方向竖直向下、磁感应强度大小 为B.一带电粒子质量为m、电荷量为＋q，此粒子以某水平速度经过P 点，方向如图，经过 一段时间粒子经过Q 点，已知P、Q 在同一水平面内，P、Q 间距离为L，P、Q 连线与过P 点时的速度的反向延长线夹角为θ，不计重力，求： 图7 (1)粒子的运动速度大小； (2)粒子从P 第一次到Q 所用的时间． 答案 (1) (2) 解析 (1)如图所示，作PQ 的中垂线，过P 作初速度的垂线，交点为O，则OP 等于带电粒 子做圆周运动的半径r，由数学知识可知r＝，带电粒子受到的洛伦兹力提供向心力， 有qv0B＝，解得v0＝. (2)粒子做圆周运动的圆心角 α＝2π－2θ T＝ t＝T 联立解得t＝. 考点一 周期公式与半径公式的基本应用 1．质子和一价钠离子分别垂直进入同一匀强磁场中做匀速圆周运动．如果它们的圆周运动 半径恰好相等，这说明它们在刚进入磁场时( ) A．速率相等 B．质量和速率的乘积相等 C．动能相等 D．质量相等 答案 B 解析 根据Bqv＝m 得r＝，因为质子与一价钠离子电荷量相同，又是进入同一磁场，B 也 相同，要使半径r 相同，必然是质量和速率的乘积mv 相同，所以选B. 2.如图1 所示，水平导线中有恒定电流I 通过，导线正下方的电子初速度的方向与电流I 的 方向相同，则电子将( ) 图1 A．沿路径a 运动，轨迹是圆 B．沿路径a 运动，轨迹半径越来越大 C．沿路径a 运动，轨迹半径越来越小 D．沿路径b 运动，轨迹半径越来越小 答案 B 解析 电流在导线下方产生的磁场方向垂直纸面向外，由左手定则可知电子运动轨迹向下弯 曲，又由r＝可知，B 减小，r 越来越大，则电子的轨迹是a，故选B. 3.质量和电荷量都相等的带电粒子M 和N，以不同的速率经小孔S 垂直进入匀强磁场并最终 打在金属板上，运动的半圆轨迹如图2 中虚线所示，不计重力，下列表述正确的是( ) 图2 A．M 带负电，N 带正电 B．M 的速率小于N 的速率 C．洛伦兹力对M、N 做正功 D．M 的运动时间大于N 的运动时间 答案 A 解析 根据左手定则可知N 带正电，M 带负电，A 正确；因r＝，而M 的轨迹半径大于N 的 轨迹半径，所以M 的速率大于N 的速率，B 错误；洛伦兹力不做功，C 错误；M 和N 的运 动时间都为t＝，D 错误． 考点二 带电粒子做匀速圆周运动的分析 4.两个质量相同、所带电荷量相等的带电粒子a、b，以不同的速率对准圆心O 沿着AO 方向 射入圆形匀强磁场区域，其运动轨迹如图3 所示．若不计粒子的重力，则下列说法正确的是 ( ) 图3 A．a 粒子带正电，b 粒子带负电 B．a 粒子在磁场中所受洛伦兹力较大 C．b 粒子动能较大 D．b 粒子在磁场中运动时间较长 答案 C 解析 粒子向右运动，根据左手定则，b 粒子向上偏转，应当带正电，a 粒子向下偏转，应 当带负电，A 错误；根据洛伦兹力提供向心力，有qvB＝，解得r＝，故半径较大的b 粒子 的速度大，动能也大，C 正确；由F 洛＝qvB 可知，速度大的b 粒子受到的洛伦兹力较大，B 错误；粒子在磁场中做圆周运动的周期T＝，可知a、b 两粒子做圆周运动的周期相同，则 在磁场中偏转角大的粒子运动时间长，a 粒子的偏转角大，因此运动的时间长，D 错误． 5.如图4 所示，粒子a 和粒子b 所带的电荷量相同，以相同的动能从A 点射入匀强磁场中， 做圆周运动的半径ra＝2rb，则下列说法正确的是(重力不计)( ) 图4 A．两粒子都带正电，质量之比＝ B．两粒子都带负电，质量之比＝ C．两粒子都带正电，质量之比＝ D．两粒子都带负电，质量之比＝ 答案 B 解析 由qa＝qb、Eka＝Ekb，动能Ek＝mv2和粒子做圆周运动的半径r＝，可得m＝，可见质 量m 与半径r 的平方成正比，故＝，再根据左手定则可知两粒子都带负电，故B 正确． 6.如图5 所示，MN 为铝质薄平板，铝板上方和下方分别有垂直于纸面的匀强磁场(未画出)， 一带电粒子从紧贴铝板上表面的P 点垂直于铝板向上射出，从Q 点穿越铝板后到达PQ 的中 点O.已知粒子穿越铝板时，其动能损失一半，速度方向和电荷量不变，不计重力．铝板上 方和下方的磁感应强度大小之比为( ) 图5 A．2 B. C．1 D. 答案 D 解析 根据几何关系可知，带电粒子在铝板上方做匀速圆周运动的轨迹半径r1是其在铝板下 方做匀速圆周运动的轨迹半径r2的2 倍，设粒子在P 点的速度大小为v1，根据牛顿第二定律 可得qv1B1＝，则B1＝＝；同理，B2＝＝＝，则＝＝，D 正确． 7．氕、氘、氚的电荷数相同，质量之比为1∶2∶3，它们由静止经过相同的加速电压加速， 之后垂直进入同一匀强磁场，不计重力和它们间的相互作用，则( ) A．运动半径之比为∶∶1 B．运动半径之比为3∶2∶1 C．运动周期之比为1∶2∶3 D．运动周期之比为3∶2∶1 答案 C 解析 经过电压U 加速后速度v＝，根据半径公式r＝＝，半径与质量的平方根成正比，即 运动半径之比为1∶∶，A、B 错；根据周期公式T＝，可知周期之比等于质量之比，为 1∶2∶3，C 对，D 错． 8.如图6 所示，一束质量、速度和电荷量不同的正离子垂直地射入匀强磁场和匀强电场正交 的区域里，结果发现有些离子保持原来的运动方向，有些发生偏转．如果让这些不偏转的离 子进入另一匀强磁场中，发现这些离子又分裂成几束，对这些进入另一磁场的离子，可得出 结论( ) 图6 A．它们的动能一定各不相同 B．它们的电荷量一定各不相同 C．它们的质量一定各不相同 D．它们的电荷量与质量之比一定各不相同 答案 D 解析 从第一个磁场进入另一磁场的离子一定满足qE＝qvB1，即v＝，这些离子速度相同． 在另一磁场中，r＝，由于v、B2相同，而r 不同，所以一定不同，故D 项正确． 9.如图7 所示，在x 轴上方存在垂直于纸面向里的匀强磁场，磁场的磁感应强度为B，在 xOy 平面内，从原点O 处与x 轴正方向成θ 角(0<θ<π)，以速率v 发射一个带正电的粒子(重 力不计)，则下列说法正确的是( ) 图7 A．若v 一定，θ 越大，则粒子离开磁场的位置距O 点越远 B．若v 一定，θ 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 C．若θ 一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的角速度越大 D．若θ 一定，v 越大，则粒子在磁场中运动的时间越短 答案 B 解析 画出粒子在磁场中运动的轨迹如图所示，由几何关系得，轨迹对应的圆心角α＝2π－ 2θ，粒子在磁场中运动的时间t＝T＝·＝，可得，若v 一定，θ 越大，粒子在磁场中运动的 时间t 越短，若θ 一定，则粒子在磁场中的运动时间一定，故B 正确，D 错误；设粒子的轨 迹半径为r，则r＝，由图有，AO＝2rsin θ＝，可得，若θ 是锐角，θ 越大，AO 越大，若θ 是钝角，θ 越大，AO 越小，故A 错误；粒子在磁场中运动的角速度ω＝，又T＝，则得ω ＝，与速度v 无关，故C 错误． 10．(多选)(2020·天津卷)如图8 所示，在Oxy 平面的第一象限内存在方向垂直纸面向里，磁 感应强度大小为B 的匀强磁场．一带电粒子从y 轴上的M 点射入磁场，速度方向与y 轴正方 向的夹角θ＝45°.粒子经过磁场偏转后在N 点(图中未画出)垂直穿过x 轴．已知OM＝a，粒 子电荷量为q，质量为m，重力不计．则( ) 图8 A．粒子带负电荷 B．粒子速度大小为 C．粒子在磁场中运动的轨道半径为a D．N 与O 点相距(＋1)a 答案 AD 解析 由题意可知，粒子在磁场中做顺时针圆周运动，根据左手定则可知粒子带负电荷，故 A 正确；粒子的运动轨迹如图所示，O′为粒子做匀速圆周运动的圆心，其轨道半径R＝a， 故C 错误；由洛伦兹力提供向心力可得qvB＝m，则v＝，故B 错误；由图可知，ON＝a＋a ＝(＋1)a，故D 正确． 11.带电粒子的质量m＝1.7×10－27 kg，电荷量q＝＋1.6×10－19 C，以速度v＝3.2×106 m/s 沿 垂直于磁场同时又垂直于磁场边界的方向进入匀强磁场中，磁场的磁感应强度为B＝0.17 T，磁场的宽度L＝10 cm，如图9 所示．(粒子重力忽略不计，结果保留两位有效数字) 图9 (1)带电粒子离开磁场时的速度多大？ (2)带电粒子在磁场中运动多长时间？ (3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离d 为多大？ 答案 (1)3.2×106 m/s (2)3.3×10－8 s (3)2.7×10－2 m 解析 (1)由于洛伦兹力不做功，所以带电粒子离开磁场时速度仍为3.2×106 m/s. (2)由qvB＝m 得， 轨道半径r＝＝ m＝0.2 m. 由题图可知偏转角θ 满足：sin θ＝＝＝0.5， 所以θ＝30°＝， 带电粒子在磁场中运动的周期T＝， 所以带电粒子在磁场中运动的时间t＝·T＝T， 所以t＝＝ s≈3.3×10－8 s. (3)带电粒子在离开磁场时偏离入射方向的距离 d＝r(1－cos θ)＝0.2×(1－) m≈2.7×10－2 m. 12. (2020·鸡泽县第一中学高二月考)一个重力不计的带电粒子，以大小为v 的速度从坐标 (0，L)的a 点，平行于x 轴射入磁感应强度大小为B、方向垂直纸面向外的圆形匀强磁场区 域，并从x 轴上b 点射出磁场，射出速度方向与x 轴正方向夹角为60°，如图10，求： 图10 (1)带电粒子在磁场中运动的轨迹半径； (2)带电粒子的比荷及粒子从a 点运动到b 点的