衡阳市2021-2022学年高一下学期期中考试数学试题（word原卷）

2022 年高中一年级期中考试 数 学 卷 注意事项： 1．本试卷共四道大题，满分150 分，考试用时120 分钟。 2．请同学们科学、合理地安排好答题时间。 3．本卷为试题卷，答案必须答在答题卡的指定位置，答在试题卷上无效。 一、选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有 一个选项是符合题目要求的． 1．复数 （ ） A． B． C． D． 2．集合 （ ） A．{0，1，2} B．{ ， ，0} C．（ ，1） D．（ ，3） 3．若 ，且 ，则sin2x=（ ） A． B． C． D． 4．函数 的大致图象为（ ） A． B． C． D． 5．在△ABC 中，D 为AC 的中点， ， ，则（ ） A ． ， B． ， C． ， D． ， 6． ， ， 的大小关系为（ ） A． B． C． D． 7．△ABC 中，“ ”是“ ”的（ ） A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件 8．《九章算术》把底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”，把底面 为矩形且有一侧棱垂直于底面的四棱锥称为“阳马”．现有如图所示的“堑堵”ABC- A1B1C1，其中AC BC ⊥ ，AA1=AC=1，当“阳马”（即四棱锥B-A1ACC1）体积为 时，则 “堑堵”即三棱柱ABC-A1B1C1的外接球的体积为（ ） A． B． C． D． 二、多项选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分，在每小题给出的四个选项中，有 多项符合题目要求，全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9．已知 ，若 ，则实数a 的值可为（ ） A．−1 B．−3 C．9 D．27 10．设m，n 为不重合的两条直线， ， 为不重合的两个平面，下列命题正确的是（ ） A．若 且 ，则 B．若 且 ，则 C．若 ， ，且 ，则 D．若 ， ，且 不垂直于 ，则m 不可能垂直n 11．关于函数 ，有如下命题，其中正确的有（ ） A． 的最小正周期为 B． 的图象关于点（ ，0）对称 C． 的图象关于直线 对称 D． 在（ ， ）上单调递增 12．如图，正方体ABCD−A1B1C1D1的棱长为4，线段B1D1上有两个动点E、F 且EF=1， 则下列结论中正确的是（ ） A．AC1⊥EF B．△AEF 的面积与△BEF 的面积之比为 ：2 C．A1C⊥平面AEF D．二棱锥E−FAB 的体积会随着E、F 的运动而变化 三、填空题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．复数 在复平面内对应的点位于第________象限． 14．若正三棱锥的底面边长为2，其体积为 ，则该正三棱锥的侧棱长为________． 15．斐波那契螺旋线被誉为自然界最完美的“黄金螺旋”，它的画法是：以斐波那契数： 1，1，2，3，5，…为边的正方形拼成长方形，然后在每个正方形中画一个圆心角为90°的 圆弧，这些圆弧所连起来的弧线就是斐波那契螺旋线．自然界存在很多斐波那契螺旋线的 图案，例如向日葵、鹦鹉螺等．如图为该螺旋线的前一部分，如果用接下来的一段圆弧所 对应的扇形做圆锥的侧面，则该圆锥的体积为________． 16．设a，b 均为单位向量，则 ________； 的取值范围 为________． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分、解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）． 17．（本小题满分10 分）已知 的顶点A（−1，−2），B（3，−1），D（1， 5）． （1）求顶点C 的坐标； （2）求cos∠ACD． 18．（本小题满分12 分）已知复数 ， ． （1）求 的最小值． （2）若复数 为纯虚数，复数 满足 ， ，求 ． 19．（本小题满分12 分）如图所示，三棱柱ABC−A1B1C1 中，侧棱AA1 垂直底面， ∠ACB=90°，AA1=AC=BC=2，D 为C1B 的中点，P 为AB 的中点． （1）请判断直线PD 与平面AA1C1C 的位置关系，并证明； （2）求点C1到平面PCD 的距离， 20．（本小题满分12 分）在△ABC 中，内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，已知 a=2． （ ， ）， （ ， ）， ． （1）求A； （2）若△ABC 的面积为 ，角A 的内角平分线交BC 于D，求AD． 21．（本小题满分12 分）某赛事公路自行车比赛赛道平面设计图为五边形ABCDE（如图 所示），DC，CB，BA，AE，ED 为赛道．根据比赛需要，在赛道设计时需设计AC、AD 两条服务通道（不考虑宽度），现测得：∠ABC=∠AED= ，∠CAD=∠BAC= ，BC= 千米，CD= 千米． （1）求服务通道AD 的长； （2）如何设计才能使折线赛道AED（即AE+ED）的长度最大？并求出最大值． 22．（本小题满分12 分）如图，长方体ABCD−A1B1C1D1的对角线D1B 与顶点D1处的三个 面所成的角分别为 ， ， ． （1）证明： 为定值； （2）若 ，求实数 的最大值．