长沙市雅礼教育集团2021-2022学年高二下学期期末考试数学试题（word原卷）

雅礼教育集团2022 年高二下学期期末考试试卷 数 学 时量：120 分钟 分值：150 分 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的。 1．已知集合 ，集合 ，则 （ ） A． B． C． D． 2．已知复数 ，则其共轭复数 （ ） A． B． C． D． 3．在△ABC 中，AD 是BC 边上的中线，点M 满足 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．紫砂壶是中国特有的手工陶土工艺品，经典的有西施壶，石瓢壶，潘壶等，其中石瓢壶 的壹体可以近似看成一个圆台，如图给了一个石飘壶的相关数据（单位：cm），那么该壶 的容积约为（ ） A． B． C． D． 5．将3 个完全相同的红球和2 个完全相同的黄球随机排在一行，则2 个黄球不相邻的概率 为（ ） A．0.3 B．0.4 C．0.5 D．0.6 6．已知函数 在区间（0， ）上有零点，则实数m 的取值范围 为（ ） A． B． C． D． 7．设 ， ， ，则（ ） A． B． C． D． 8．已知底面为正方形的四棱锥O−ABCD，各侧棱长都为 ，底面面积为36，以O 为球 心，3 为半径作一个球，则这个球与四棱锥O−ABCD 共同部分的体积为（ ） A． B． C． D． 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求。全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分。 9．已知5 个数据 ， ， ， ， ，去掉 （5，13）后，下列说法正确的是（ ） （1，3） （2，4） （4，5） （5，13） （10，12） A．样本相关系数r 变大 B．残差平方和变大 C．R2变大 D．解释变量x 与响应变量y 的相关程度变强 10．等差数列 的前n 项和为 ，若 ，公差 ，则（ ） A．若 ，则 B．若 ，则 是 中最大的项 C．若 ，则 D．若 ，则 11．设椭圆C： 的左、右焦点分别为F1，F2，过F1垂直于x 轴的直线与椭圆C 交于M，N 两点，则（ ） A．椭圆的离心率 B．△F2MN 的周长为12 C．△F2MN 的面积为 D．△F2MN 为等边三角形 12．己知函数 ，则（ ） A．当 时，函数 的定义域为 B．当 时，函数 的值域为R C．当 时，函数 在R 上单调递减 D．当 时，关于x 的方程 有两个解 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分。 13 ．在二项式 的展开式中，若前三项的系数依次成等差数列，则实数 a=________． 14．已知圆C： ，点A 是x 轴上的一个动点，直线AP，AQ 分别与 圆C 相切于P，Q 两点，则圆心C 到直线PQ 的距离的取值范围是________． 15．设 、 分别是双曲线 （ ， ）的左，右焦点，点P 在双曲线 右支上且满足 ，双曲线的渐近线方程为 ，则 _____ ___． 16．“以直代曲”是微积分中最基本、最朴素的思想方法，如在切点附近，可用曲线在该 点处的切线近似代替曲线，曲线 在点（1，0）处的切线方程为________，利用上 述“切线近似代替曲线”的思想方法计算 所得结果为________．（结果用分数表示）． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。 17．（10 分）公差不为零的等差数列 满足 ， ． （1）求 的通项公式； （2）记 的前n 项和为 ，求使 成立的最大正整数n． 18．（12 分） 在△ABC 中，角A，B，C 的对边分别为a，b，c， ． （1）求角B； （2）若 ，b=3，求△ACD 面积的最大值． 19．（12 分）如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1中，AB=AC=1，∠BAC= ，D、D1分别 是BC，B1C1的中点，AG= AD，过点G 作EF∥BC，分别交AB，AC 于点E，F． （1）证明：A1G⊥EF； （2）若二面角A−A1E−F 的大小是 ，求三棱柱ABC−A1B1C1的体积． 20．（12 分）为了应对某传染病，需全民接种某疫苗，欲使该疫苗成功接种，则每个人需 要接种相同剂量的疫苗若干次（其中至少有一次接种成功即视为疫苗成功接种）．假设每 次接种成功与否互不影响，且每次接种相同剂量疫苗的接种成功概率均相等，为了解该疫 苗的接种剂量与接种成功之间的关系，现分成两种剂量组进行对比临床试验，A（B）剂量 组的每 位试验者均接种3 次A（B）剂量的疫苗，统计了试验者的接种情况后，得到以下2×2 列联 表： 单位：人 剂量组 接种情况 合计 接种成功 接种不成功 A 剂量组 110 B 剂量组 20 160 合计 300 （1）将上表中的数据填写完整，依据小概率值 的独立性检验，能否认为B 剂量 组的接种效果比A 剂量组的接种效果好？并解释你所得到的结论； （2）现有一个三口之家需接种该疫苗，若该家庭总共可接种5 次B 剂量的疫苗，每人至少 接种1 次疫苗，假设以对比临床试验中的频率代替概率，以该家庭全部接种成功的概率大 小为决策依据，则该家庭应如何分配接种该疫苗的次数？请说明理由． 附： ，其中 ． 0.1 0.05 0.01 2.706 3.841 6.635 21．（12 分）已知抛物线C： ，点F 为C 的焦点，过F 的直线l 交C 于A，B 两点． （1）设A，B 在C 的准线上的射影分别为P，Q，线段PQ 的中点为R，证明：AR//FQ； （2）在x 轴上是否存在一点T，使得直线AT，BT 的斜率之和为定值？若存在，求出点T 的坐标； 若不存在，请说明理由． 22．（12 分）已知函数 （ ）． （1）求曲线 在点（1， ）处的切线方程； （2）若函数 存在两个极值点 ， ，求实数a 的取值范围，并证明： ， ， 成等差数列．