长沙市南雅中学2022-2023学年高一上学期入学考试数学试题（word原卷）

数学测试 满分：120 分 考试时间：120 分钟 一、单选题（本大题10 小题，每小题3 分，共30 分） 1．下列运算正确的是（ ） A ． B． C． D． 2．将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1 的度数为（ ） A．5° B．10° C．15° D．20° 3．已知 ，则 （ ） A． B． C． D． 4．世界近代三大数学难题之一哥德巴赫猜想于1742 年由哥德巴赫在给欧拉的信中提出： 任一大于2 的偶数都可写成两个奇素数之和。这个猜想至今没有完全证明，目前最前沿的 成果是1966 年我国数学家陈景润证明了“1+2”，即他证明了任何一个充分大的偶数，都可 以表示为两个数之和，其中一个是素数，另一个或为素数，或为两个素数的乘积，被称为 “陈氏定理”。我们知道素数又叫质数，是指在大于1 的自然数中，除了1 和它本身以外， 不能被其他自然数整除的数。请问同学们，如果我们从不大于8 的自然数中任取两个不同 的数，这个两个数都是素数有多少种不同的情况？（ ） A．6 B．10 C．12 D．16 5．如果 ，且 ．则下列说法中不可能成立的是（ ） A．b 为正数，c 为负数 B．a 为正数，b 为负数 C．a 为正数，c 为负数 D．c 为正数，a 为负数 6．在线段AB 上有P、Q 两点，AB=26，AP=14，PQ=11，求BQ 的长（ ） A．1 B．23 C．1 或23 D．12 7．一条抛物线 的顶点为（4， ），且与x 轴的两个交点的横坐标为一 正一负，则a、b、c 中为正数的（ ） A．只有a B．只有b C．只有c D．只有a 和b 8．反比例函数 与一次函数 （ ， ）在同一坐标系中的图 象只能是（ ） A． B． C． D． 9．如图，用若干根相同的小木棒拼成图形，拼第1 个图形需要6 根小木棒，拼第2 个图形 需要14．根小木棒，拼第3 个图形需要22 根小木棒……若按照这样的方法拼成的第n 个图 形需要2022 根小木棒，则n 的值为（ ） A．252 B．253 C．336 D．337 10．如图所示，已知三角形ABE 为直角三角形，∠ABE=90°，BC 为圆O 切线，C 为切点， CA=CD，则△ABC 和△CDE 面积之比为（ ） A．1：3 B．1：2 C． ：2 D． ：1 第10 题图 第17 题图 二、填空题（本大题8 小题，每小题4 分，共32 分） 11．按一定规律排列的数据依次为 ， ， ， ，…按此规律排列，则第30 个数是__ ______． 12．对于实数a，b，定义符号min{a，b}，其意义为：当 时，min{a，b}=b；当 时，min{a，b}=a．例如：min{ ，1}= ，若关于x 的函数y=min{ ， }，则该函数的最大值为________． 13．火车匀速通过长82 米的铁桥用了22 秒，如果它的速度加快1 倍，通过162 米长的铁 桥就只用了16 秒，求这列火车的长度为________． 14．直线 过点A（0，2）、B（2，0），直线 ： 过点C（1，0），且把 △AOB 分成面积相等的两部分，其中靠近原点的那部分是一个三角形，则直线 的方程为_ _______． 15．已知： ，且 ，求 ________． 16．正方形边长等于1，通过它的中心引一条直线，已知正方形的四个顶点到这条直线的 距离的平方之和恒为定值，则这个定值为________． 17．如图，已知直角三角形ABO 中，AO=1，将△ABO 绕点O 点旋转至△A'B'O 的位置，且 A'在OB 的中点，B'在反比例函数 上，则k 的值为________． 18．在△ABC 中，∠ABC=60°，点P 是△ABC 内的一点，使得∠APB= BPC ∠ = CPA ∠ ，且 PA=8，PC=6，则PB=________． 三、解答题（本大题共7 小题，其中19~24 题每小题8 分，25 题10 分，共58 分） 19．解方程： ． 20．如图，小睿为测量公园的一凉亭AB 的高度，他先在水平地面点E 处用高1.5m 的测角 仪DE 测得∠ADC=31°，然后沿EB 方向向前走3m 到达点G 处，在点G 处用高1.5m 的测角 仪FG 测得∠AFC=42°．求凉亭AB 的高度．（A，C，B 三点共线，AB BE ⊥ ，AC CD ⊥ ， CD=BE ，BC=DE ．结果精确到0.1m ）（参考数据：sin31°≈0.52 ，cos31°≈0.86 ， tan31°≈0.60，sin42°≈0.67，cos42°≈0.74，tan42°≈0.90） 21．如图，在正方形ABCD 的对角线AC 上取一点E，使得∠CDE=15°，连接BE． （1）证明：BE=DE； （2）延长BE 至F，使CF=BC，连接CF，求证：CE+DE=EF． 22．通过实验研究，专家们发现：初中生听课的注意力指标数是随老师讲课时间的变化而 变化的，讲课开始时，学生的兴趣激增，中间有一段时间，学生的兴趣保持平稳的状态， 随后开始分散．学生注意力指标数y 随时间x（分钟）变化的函数图象如图所示（y 越大表 示学生注意力越集中）．当0≤x≤10 时，图象是抛物线的一部分；当10≤x≤20 和20≤x≤40 时， 图象是线段． （1）当0≤x≤10 时，求y 关于x 的函数关系式； （2）一道数学竞赛题需要讲解24 分钟，问老师能否经过适当安排，使学生在听这道题时， 注意力的指标数都不低于36？ 23．若一元二次方程 的两个根都大于2，求实数a 的取值范围． 24．如图，AB 是⊙O 的直径，CD 是⊙O 的一条弦，AB CD ⊥ ，连接AC，OD． （1）求证：∠BOD=2 A ∠； （2）连接DB，过点C 作CE DB ⊥ ，交DB 的延长线于点E，延长DO，交AC 于点F．若F 为AC 的中点，求证：直线CE 为⊙O 的切线． 25．在平面直角坐标系中，抛物线 与x 轴相交于点A，B（点A 在点B 的 左侧），与y 轴相交于点C，连接AC． （1）求点B，点C 的坐标； （2）如图1，点E（m，0）在线段OB 上（点E 不与点B 重合），点F 在y 轴负半轴上， OE=OF，连接AF，BF，EF，设△ACF 的面积为S1，△BEF 的面积为S2，S=S1+S2，当S 取 最大值时，求m 的值； （3）如图2，抛物线的顶点为D，连接CD，BC，点P 在第一象限的抛物线上，PD 与BC 相交于点Q，是否存在点P，使∠PQC= ACD ∠ ，若存在，请求出点P 的坐标；若不存在， 请说明理由．