长郡中学2021-2022学年高一下学期期末考试数学试题（word原卷）

长郡中学2021-2022 学年度高一第二学期期末考试 数 学 时量：120 分钟 满分：150 分 得分： 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分．在每小题给出的四个选项中，只有一 个选项是符合题目要求的． 1．当 时，复数 在复平面内对应的点位于（ ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 2．已知a，b 是不共线的向量，且 ， ， ，则（ ） A．A、B、D 三点共线 B．A、B、C 三点共线 C．B、C、D 三点共线 D．A、C、D 三点共线 3．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的 近视形成原因，用分层抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本容量和抽取的高中生中 近视人数分别为（ ） A．200，20 B．100，20 C．200，10 D．100，10 4．如图，已知圆柱的底面直径和高都等于球的直径，圆柱的表面积为 ，则球的体积 为（ ） A． B． C． D． 5．生物实验室有5 只兔子，其中只有3 只测量过某项指标，若从这5 只兔子中随机取出3 只，则恰有2 只测量过该指标的概率为（ ） A． B． C． D． 6．四棱柱ABCD−A1B1C1D1中，A1A⊥平面ABCD，AA1=3，底面是边长为4 且∠DAB=60° 的菱形， ， ，E 是O1A 的中点，则点E 到平面O1BC 的距 离为（ ） A．1 B． C．2 D．3 7．四名同学各掷骰子5 次，分别记录每次骰子出现的点数．根据以下四名同学的统计结果， 可以判断出一定没有出现点数6 的是（ ） A．平均数为3，中位数为2 B．中位数为3，众数为2 C．中位数为3，方差为2.8 D．平均数为2，方差为2.4 8．已知m，n 为异面直线，m⊥平面 ，n⊥平面 ．若直线l 满足 ， ， ， ，则（ ） A． ∥ ，l∥ B． ， C． 与 相交，且交线平行于l D． 与 相交，且交线垂直于l 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分．在每小题给出的选项中，有多项符合 题目要求．全部选对的得5 分，部分选对的得2 分，有选错的得0 分． 9．2015 年7 月，北京成功获得2022 年冬奥会举办权．中国冰雪产业快速发展，冰雪运动 人数快速上升，冰雪运动市场需求得到释放，引领相关户外用品行业市场增长．下面是 2015 年至2021 年中国雪场滑雪人次（万/人次）与同比增长率（与上一年相比）的统计情 况，则下面结论错误的是（ ） A．2016 年至2021 年，中国雪场滑雪人次逐年增加 B．2016 年至2021 年，中国雪场滑雪人次的同比增长率逐年下降 C．2016 年与2021 年相比，中国雪场滑雪人次的同比增长率近似相等，所以同比增长人数 也近似相等 D．2016 年至2021 年，中国雪场滑雪人次增长率为12.6% 10．已知向量a=（1， ），b=（x，2），则（ ） A． B．若 ，则 C．若a∥b，则x=2 D． 11．如图，在长方体ABCD−A1B1C1D1 中，AA1=AB=4，BC=2，M，N 分别为棱C1D1， CC1的中点，则下列说法正确的是（ ） A．平面ADM⊥平面CDD1C1 B．A，M，N，B 四点共面 C．B1M 与BN 所成角为60° D．BN//平面ADM 12．若△ABC 的内角A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且满足 ，则下列结论正确的是（ ） A．角C 可以为锐角 B． C． 的最小值为 D． 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分． 13．甲、乙两人进行乒乓球比赛，约定先连胜两局者赢得比赛，假设每局甲获胜的概率为 ，乙获胜的概率为 ，各局比赛相互独立，则恰好进行了4 局甲获胜的概率为________． 14．某次海上联合作战演习中，红方一艘侦察艇发现在北偏东45°方向，相距12 n mile 的 水面上，有蓝方一艘小艇正以每小时10 n mile 的速度沿南偏东75°方向前进，若红方侦察 艇以每小时14 n mile 的速度，沿北偏东（ ）方向拦截蓝方的小艇，若要在最短的 时间内拦截住，则角 的余弦值为________． 15．骑自行车是一种环保又健康的运动，如图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中 的圆A（前轮），圆D（后轮）的半径均为 ，△ABE，△BEC，△ECD 均是边长为4 的等 边三角形．设点P 为后轮上的一点，则在骑行该自行车的过程中， 的最大值为___ _____． 第15 题图 第16 题图 16．如图，在直三棱柱ABC−A1B1C1 中，点D 为棱A1C1 上的点，且BC1∥平面AB1D，则 ________；已知AB=BC=AA1=1，AC= ，以D 为球心 ，为半径的球面与侧 面AA1B1B 的交线长度为________． 四、解答题：本题共6 小题，共70 分．应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（本小题满分10 分） 某商场举行有奖促销活动，顾客购买一定金额的商品后即可抽奖，抽奖方法是：从装有2 个红球A1，A2和1 个白球B 的甲箱与装有2 个红球 ， 和2 个白球 ， 的乙箱中， 各随机摸出1 个球，若摸出的2 个球都是红球则中奖，否则不中奖． （1）用球的标号列出所有可能的摸出结果； （2）有人认为：两个箱子中的红球比白球多，所以中奖的概率大于不中奖的概率，你认为 正确吗？请说明理由． 18．（本小题满分12 分） 设z 是虚数， 是实数，且 ． （1）求 的值及z 的实部的取值范围； （2）设 ，求证： 为纯虚数． 19．（本小题满分12 分） 如图，在四棱锥P−ABCD 中，平面PAD⊥平面ABCD，AB=AD，∠BAD=60°，E，F 分别是AP，AD 的中点． 求证：（1）直线EF∥平面PCD； （2）平面BEF⊥平面PAD． 20．（本小题满分12 分） 某家庭记录了未使用节水龙头50 天的日用水量数据（单位：m3）和使用了节水龙头 50 天的日用水量数据，得到频数分布表如下： 未使用节水龙头50 天的日用水量频数分布表 日用水量 [0， 0.1） [0.1， 0.2） [0.2， 0.3） [0.3， 0.4） [0.4， 0.5） [0.5， 0.6） [0.6， 0.7） 频数 1 3 2 4 9 26 5 使用了节水龙头50 天的日用水量频数分布表 日用水量 [0，0.1） [0.1， 0.2） [0.2， 0.3） [0.3， 0.4） [0.4， 0.5） [0.5， 0.6） 频数 1 5 13 10 16 5 （1）在下图中作出使用了节水龙头50 天的日用水量数据的频率分布直方图； （2）估计该家庭使用节水龙头后，日用水量小于0.35 m3的概率； （3）估计该家庭使用节水龙头后，一年能节省多少水？（一年按365 天计算，同一组中的 数据以这组数据所在区间中点的值作代表．） 21．（本小题满分12 分） 记△ABC 的内角A，B，C 的对边分别为a，b，c．已知 ，点D 在 边AB 上，且CD⊥AB． （1）证明： ； （2）若 ，求∠ACB． 22．（本小题满分12 分） 如图所示的几何体中，PD 垂直于梯形ABCD 所在的平面，∠ADC=∠BAD= ，F 为 PA 的中点，PD= ，AB=AD= CD=1，四边形PDCE 为矩形，线段PC 交DE 于点N． （1）求证：AC∥平面DEF； （2）在线段EF 上是否存在一点Q，使得BQ 与平面BCP 所成角的大小为 ？若存在，求 出FQ 的长；若不存在，请说明理由．