2020级高二上期中考试题（数学）答案_20211101142045

第1页（共4页） 广东实验中学2021—2022 学年（上）高二级期中考试数学 答案及说明 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 C D C A A C B D BCD AD ABC ACD 13. OC OB OA 2 1 2 1    14. 5 15. 13 16. 13 10 6  17.解： （1）由 ，求得 ， 可得两直线l1：3x+4y﹣2＝0 和l2：2x+y+2＝0 的交点为（﹣2，2） ． 由直线l 与直线3x+y﹣1＝0 垂直，设l 的方程为x-3y+m＝0， 把点（﹣2，2）代入求得m＝8， 可得l 的方程为x-3y+8＝0． （2） 当l 的斜率不存在时， 直线l 的方程为x＝﹣2， 满足点A （3， 1） 到直线l 的距离为5． 当l 的斜率存在时，设直限l 的方程为y﹣2＝k（x+2） ，即kx﹣y+2k+2＝0， 则点A 到直线l 的距离为 ＝5，求得k＝ ， 故l 的方程为 x﹣y+2k+2＝0，即12x﹣5y+34＝0． 综上，直线l 的方程为x＝﹣2 或12x﹣5y+34＝0． 18.解： （1）因为c2﹣a2＝bccosA﹣ ab， 所以c2﹣a2＝bc• ﹣ ab，整理可得b2+a2﹣c2＝ab， 可得cosC＝ ＝ ＝ ， 又C∈（0，π） ，所以C＝ ． （2）∵c＝ ，C＝ ，∴ ＝ 2 3 3 ＝2， 可得：a＝2sinA，b＝2sinB＝2sin（ ﹣A） ， 第2页（共4页） ∴a+b＝2sinA+2sin（ ﹣A）＝2sinA+2（ cosA+ sinA）＝2 sin（A+ ） ， ∵A∈（0， ） ，可得A+ ∈（ ， ） ，∴sin（A+ ）∈（ ，1]， ∴a+b＝2 sin（A+ ）∈（ ，2 ]． 19 解： （1）当k＝ 时，∵圆心O 到直线l 的距离为 ， 且直线l 与圆O 恰好相切，∴r＝2． 设圆心O 直线l 的距离为d， 则弦长为 2 4 2 2  d ，解得d＝ 2 14 ，即 2 14 1 | 4 | 2    k k ，解得k＝ 5 7  ， 故l 的方程为 ) 4 ( 5 7    x y ． （2）①当直线l 与圆O 有公共点时，即 ， 当点P 与点M（或N）重合时，满足 ，符合题意， ②当直线l 与圆O 无公共点时，即 或k＞ ， ∵ ，∴P 在以MN 为直角的圆上， 设MN 中点为Q（x0，y0） ，则圆Q 的方程为 ， 圆Q 与圆O 有公共点，则 ， 只需O 到直线l 的距离d＝ ，解得 或 ， 综上所述，k 的取值范围为 ． 20.（1）证明：∵BC＝CD，E 为BD 的中点，∴C′E⊥BD， 又平面BC'D⊥平面ABD，且平面BC'D∩平面ABD＝BD， ∴C′E⊥ABD，∵FA⊥平面ABD，∴FA∥C′E，而C′E⊂平面BC'D，FA⊄平面BC'D， ∴FA∥平面BC'D； 第3页（共4页） （2）解：以DB 所在直线为x 轴，AE 所在直线为y 轴，EC′所在直线为z 轴建立空间直 角坐标系，则B（1，0，0） ，A（0， ，0） ，D（﹣1，0，0） ，F（0，﹣ ， ） ， C′（0，0， ） ， ∴ ， ． 设平面FBC′的一个法向量为 ， 则 ，取z＝1，则 ． 又平面ABD 的一个法向量为 ． ∴cos＜ ＞＝ ＝ ． 则平面ABD 与平面FBC'所成角的余弦值为 ； （3）解：线段AD 上不存点M，使得C'M⊥平面FBC． 假设在线段AD 上存在M（x，y，z） ，使得C'M⊥平面FBC， 设 ，则（x，y ，z）＝λ（﹣1， ，0）＝（﹣λ， ，0） ， ∴x＝﹣λ，y＝ ，z＝0．则 ＝（﹣λ， ，﹣ ） ． 由 ，得 ，即 错误． ∴线段AD 上不存点M，使得C'M⊥平面FBC． 21 解： （Ⅰ）设点M 的坐标为（x，y） ，对应的点P 的坐标为（ ， ） 由于点P 在椭圆C 上， 得， 即曲线Cλ标准方程为 ． （2）当过点P（x1，y1）切线的斜率存在时，设该切线的方程为y﹣y1＝k（x﹣x1） ， 即y＝kx+（y1﹣kx1）把式子代入椭圆C： ＝1 得（ ）x2+2k（y1﹣kx1）x+[（y1﹣kx1）2﹣1]＝0 ，由△＝0，得1+4k2＝（y1﹣kx1）2，此关于k 方程有唯一解∴k＝﹣ ． 此时过点A（x1，y1）的切线方程为 第4页（共4页） 过点P 切线的斜率不存在时， 切点为 （±2， 0） ， 方程为x＝±2， 符合方程为 ． ∴过点P 的切线方程为 ． 设A（x2，y2） ，B（x3，y3）联立 ，结合 得4x2﹣8x1x+16﹣16 ＝0 ∴|AB|＝ ×|x3﹣x4| ＝ ． 原点O 到直线AB 的距离d＝ ∴△OAB 的面积s＝ |AB|×d＝ × ＝2 故△OAB 的面积是定值2 22.解： （1）由已知得，h（x）+h（x+π）＝cosx+cos（x+π）＝cosx﹣cosx＝0 又由于： 所以h（x）同时具有“性质P1”和“性质P2” （2）①若a＜0，此时取n＝m 即可； ②若a＝0，采取反证法，若不存在n∈R，使得g（n）＜0，则g（x）≥0 恒成立， 又 ∵g（x）≥0， ， ∴ ， 再由g（x）+g（x+π）＝0⇒bcos2x+dcos8x＝0 恒成立， 故b＝d＝0，进而c＝0，与b，c，d 是不全为0 矛盾； 故存在n∈R，使得g（n）＜0． ③若a＞0，由 ，g（m）＝4a 得 ，命题成立．