湖北省鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校2022-2023学年高二上学期期中联考试题数学

2022 年秋季鄂东南省级示范高中教育教学改革联盟学校期中联考高二数学试卷 题号 一 二 三 四 总分 得分 一、单选题（本大题共8 小题，共40 分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项） 1. 已知复数z满足¿ z−1−i∨¿1，则¿ z+1+i∨¿的最大值是( ) A. 2❑ √2−1 B. 2❑ √2+1 C. 2 D. 2❑ √2 2. 下列说法正确的是( ) A. 零向量没有方向 B. 若⃗ a⋅⃗ b=⃗ a⋅⃗ c，(a ⃗ ≠0 ⃗ )，则b ⃗ =c ⃗ C. 长度相等的向量叫做相等向量 D. 两个有共同起点而且相等的向量，其终点必相同 3. 高二某班参加了“中国神舟十三号载人飞船航空知识答题”竞赛，10位评委的打分如下： 5，6，6，7，7，8，9，9，10，10，则( ) A. 该组数据第60百分位数为8 B. 该组数据第60百分位数为8.5 C. 该组数据中位数为7和8 D. 该组数据中位数为8 4. 若直线l:cos θ 2 x−sin θ 2 y+1=0，(0≤θ<π )，则直线l的倾斜角为( ) A. θ 2 B. θ C. 3 π 2 −θ 2 D. π 2 −θ 2 5. 在空间四边形OABC中，E、F分别是OA、BC的中点，P为线段EF上一点，且 PF=2 EP，设⃗ OA=⃗ a，⃗ OB=⃗ b，OC ⃗ =c ⃗，则下列等式不成立的是( ) A. OF ⃗ =1 2 b ⃗ + 1 2 c ⃗ B. EP ⃗ =−1 6 a ⃗ + 1 6 b ⃗ + 1 6 c ⃗ C. FP ⃗ =−1 3 a ⃗ + 1 3 b ⃗ + 1 3 c ⃗ D. OP ⃗ =1 3 a ⃗ + 1 6 b ⃗ + 1 6 c ⃗ 1. 若直线kx+ y+2−2k=0与曲线❑ √4−( y −1) 2+1=x有两个不同的交点，则实数k的取值 范围是( ) A. (−∞,−1−2❑ √6 3 )∪¿ B. ( 4 3 ,4¿ C. [−2,−1+ 2❑ √6 3 )∪( 4 3 ,2] D. ( 4 3 ,+∞) 2. 2008年北京奥运会游泳中心(水立方)的设计来于威尔，弗兰泡沫是对开尔文胞体的改进， 如图，开尔文胞体是一种多面体，它由正六边形和正方形围成(其中每一个顶点处有一个正 方形和两个正六边形)，已知该多面体共有24个顶点，且该多面体表面积是6+12❑ √3，则该 多面体的棱长是( ) A. 1 B. 2 C. ❑ √3 D. ❑ √3 2 3. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠A= π 3 ，AD是∠A的平分线， AD=❑ √3，AB>1，则b+2c的最小值是( ) A. 6 B. 3−2❑ √2 C. 3+2❑ √2 D. 10 二、多选题（本大题共4 小题，共20 分。在每小题有多项符合题目要求） 4. 下列描述正确的是( ) A. 若事件A，B满足P( A )+P(B)=1，则A与B是对立事件 B. 若P( AB)=1 9，P( A)=2 3，P(B)=1 3，则事件A与B相互独立 C. 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”是对立事件 D. 一个袋子中有2个红球，3个绿球，采用不放回方式从中依次随机地取出两球第二次取到 红球的概率是2 5 5. 已知O是边长为❑ √3正三角形ABC的外心，沿OB将该三角形折成直二面角A −OB−C， 则下列说法正确的是( ) A. 直线AC垂直直线OB B. 直线AC与平面BOC所成角的大小为π 4 C. 平面AOC与平面BOC的夹角的余弦值是 ❑ √5 5 D. O到平面ABC的距离是 ❑ √3 3 6. 某中学高二学生500人，其中男生300人，女生200人，现希望获得全体学生的身高信息， 按照分层抽样的原则抽取了容量为50的样本，经计算得到男生身高样本均值为171cm，方 差为29c m 2;女生身高样本均值为161cm，所有样本的方差为49c m 2，下列说法中正确的 是( ) A. 男生样本容量为30 B. 每个男生被抽入到样本的概率均为3 5 C. 所有样本的均值为167c m 2 D. 女生身高的样本方差为19c m 2 7. “奔驰定理”是平面向量中一个非常优美的结论，因为这个定理对应的图形与“奔驰”轿 车( Mercedesbenz)的logo很相似，故形象地称其为“奔驰定理”.奔驰定理：已知O是 △ABC内一点，△BOC，△AOC，△AOB的面积分别为S A，SB，SC，且 S A⋅OA ⃗ +SB⋅OB ⃗ +SC⋅OC ⃗ =0 ⃗ .设O是锐角△ABC内的一点，∠BAC，∠ABC，∠ACB 分别是的△ABC三个内角，以下命题正确的有 ( ) A. 若⃗ OA+2⃗ OB+3⃗ OC=⃗ 0，则S A:SB:SC=1:2:3 B. 若¿⃗ OA∨¿∨⃗ OB∨¿2，∠AOB=5 π 6 ，2⃗ OA+3⃗ OB+4⃗ OC=⃗ 0，则S△ABC=9 2 C. 若O为△ABC的内心，3⃗ OA+4⃗ OB+5⃗ OC=⃗ 0，则∠C= π 2 D. 若O为△ABC的垂心，3⃗ OA+4⃗ OB+5⃗ OC=⃗ 0，则cos∠AOB=− ❑ √6 6 三、填空题（本大题共4 小题，共20 分） 1. 在△ABC中，D是BC边上的点且AC ⃗ +2 AB ⃗ =3 AD ⃗，若BC ⃗ =λ DC ⃗则λ=¿ ． 2. 写出与圆x 2+ y 2=1和( x−4) 2+( y −3) 2=16都相切的一条直线的方程 ． 3. 已知△ABC的顶点A(1,❑ √3)，∠ACB的平分线所在的直线方程为❑ √3 x+3 y −2❑ √3=0， 边AC的高所在的直线方程为❑ √3 x−3 y=0，则直线BC的方程为 ． 4. 在四棱锥P−ABCD中，∠APB=∠BPC=∠CPD=∠DPA= π 3 ， ∠APC=∠BPD，PB=PD，PA=2❑ √6; (1)若PA=PB=PC，P点到面ABCD的距离是 ． (2)若该四棱锥内存在半径为2的球，PC的最小值是 ． 四、解答题（本大题共6 小题，共70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤） 5. (本小题10分) 已知圆的方程x 2+ y 2=4; (1)求3 x+4 y −12的范围; (2)已知A(−2,−2)，B(−2,6)，C(4 ,−2)，P为圆上的动点，求 ¿ PA ¿ 2+¿ PB¿ 2+¿ PC ¿ 2的最大值． 6. (本小题12分) 新高考实行“3+1+2”模式，其中“3”为语文、数学，外语这3门必选科目，“1”由考生 在物理、历史2门首选科目中选择1门，“2”由考生在政治、地理、化学、生物这4门再选 科目中选择2门。已知武汉大学临床医学类招生选科要求是首选科目为物理，再选科目为化 学、生物至少1门。 (1)从所有选科组合中任意选取1个，求该选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求 的概率; (2)假设甲、乙、丙三人每人选择任意1个选科组合是等可能的，求这三人中恰好有一人的 选科组合符合武汉大学临床医学类招生选科要求的概率． 8. (本小题12分) 已知三棱柱ABC −A1B1C1，侧面A A1C1C是边长为2的菱形，∠CA A1= π 3 ，侧面四边 形AB B1 A1是矩形，且平面A A1C1C ⊥平面AB B1 A1，点D是棱A1B1的中点． (1)在棱AC上是否存在一点E，使得AD/​/¿平面B1C1 E，并说明理由; (2)当三棱锥B−A1 DC1的体积为❑ √3时，求平面A1C1 D与平面C C1 D夹角的余弦值． 9. (本小题12分) 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且1+sin2 A −cos2 A 1+sin2 A+cos2 A =tan B，BC 的中线长为4． (1)证明：∠A=∠B; (2)求△ABC的面积最大值． 10. (本小题12分) 如图，四棱锥P−ABCD的底面ABCD为菱形，且菱形ABCD的面积为4，PD，BE都与平 面ABCD垂直，BE=1，PD=2． (1)求三棱锥E−ABC与四棱锥P−ABCD公共部分的体积大小; (2)若二面角D−AP−B大小为π 2 ，求DE与平面PAD所成角的正弦值． 11. (本小题12分) 在△ABC中，已知A(−1,0)，B(−2,0)，且❑ √2sin B=sinA. (1)求顶点C的轨迹E的方程; (2)曲线E与y轴交于P，Q两点，T是直线y=2❑ √2上一点，连TP，TQ分别与E交于M， N两点(异于P，Q两点)，试探究直线MN是否过定点，若是求定点，若不是说明理由． 答案和解析 1.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查了复数的模、复数的模长¿ z∨¿及几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于中档题． 【解答】 解：∵∨z−1−i∨¿1表示圆心在O (1,1)，半径为1的圆， ¿ z+1+i∨¿表示圆O上的点到点Z0(−1,−1)的距离． 故最大值就是点Z0到(1,1)的距离加上圆O半径长，即2❑ √2+1． 故答案为2❑ √2+1． 2.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查向量的概念、向量的数量积运算，属基础题． 【解答】 解：零向量的方向是任意的，而不是没有方向，故A 不正确； ⃗ b、⃗ c可以是相反向量且都垂直a ⃗，故B 不正确； 长度相等的向量方向不一定同向，故C 不正确； 故选D． 3.【答案】B 【解析】 【分析】 本题考查百分位数，中位数的定义，属于基础题． 【解答】 10×60％=6，∴第60百分位数为第6个数和第7个数的平均数，为8+9 2 =8.5，故B 正确； 中位数为7+8 2 =7.5，故CD 错误． 4.【答案】D 【解析】 【分析】 本题考查直线的倾斜角，属于基础题． 【解答】 解：①当θ=0时，原式可以写为x+1=0，此时倾斜角为π 2 ； ②当θ∈(0,π )时，原式可以写为y= 1 tan θ 2 x+ 1 sin θ 2 ，此时倾斜角为π 2 −θ 2，当θ=0时满足上 式； 综上可知，直线的倾斜角为π 2 −θ 2． 5.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查空间向量的线性运算与表示，结合向量三角形法则进行转化求解是解决本题的关键， 是中档题． 【解答】 解：∵E、F分别是OA、BC的中点， ∴OF ⃗ =1 2 (OB ⃗ +OC ⃗ )=1 2 OB ⃗ + 1 2 OC ⃗ =1 2 b ⃗ + 1 2 c ⃗ ，故A 正确，EF ⃗ =OF ⃗ −OE ⃗ =1 2 b ⃗ + 1 2 c ⃗ −1 2 a ⃗ ， ∵PF=2 EP， ∴EP=1 3 EF，FP=2 3 EF， 即EP ⃗ =1 3 EF ⃗ =1 3 ( 1 2 b ⃗ + 1 2 c ⃗ −1 2 a ⃗ )=−1 6 a ⃗ + 1 6 b ⃗ + 1 6 c ⃗ ，故B 正确， FP ⃗ =−2 3 EF ⃗ =−2 3 ( 1 2 b ⃗ + 1 2 c ⃗ −1 2 a ⃗ )=1 3 a ⃗ −1 3 b ⃗ −1 3 c ⃗ ，故C 错误， OP ⃗ =OE ⃗ +EP ⃗ =1 2 a ⃗ −1 6 a ⃗ + 1 6 b ⃗ + 1 6 c ⃗ =1 3 a ⃗ + 1 6 b ⃗ + 1 6 c ⃗ ，故D 正确． 故选C． 6.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查直线与圆的位置关系及直线的斜率，属于中档题． 【解答】 方程kx+ y+2−2k=0是恒过定点P(2,−2)，斜率为−k的直线， 曲线❑ √4−( y −1) 2+1=x，即( x −1) 2+( y −1) 2=4( x ≥1)， 是圆心为C(1,1)，半径r=2，在直线x=1及右侧的半圆，半圆弧端点A(1,−1)，B(1,3)， 在同一坐标系内作出直线x+ y+2−2k=0与半圆C :( x −1) 2+( y −1) 2=4( x ≥1)，如图， 当直线kx+ y+2−2k=0与半圆C相切时， 由¿3−k∨ ¿ ❑ √1+k 2=2¿，得相切时斜率为2❑ √6 3 +1， 又k PB=−5，所以−k> 2❑ √6 3 +1，或−k ≤−5， 所以k<−1−2❑ √6 6 或k ≥5. 7.【答案】A 【解析】 【分析】 本题考查多面体表面积的求法，考查空间想象能力与思维能力，求出多面体中正方形与正六边形 的个数是关键，属于中档题． 设棱长为x，求出每个正方形及正六边形的面积，再由已知求得正方形及正六边形的个数，即可 求解． 【解答】 解：设棱长为x，正方形的面积为x× x=x 2， 正六边形的面积为6× 1 2 × x× x× ❑ √3 2 =3 ❑ √3 2 x 2， 又正方形有4个顶点，正六边形有6个顶点，该多面体共有24个顶点， 则最多有6个正方形，最少有4个正六边形，一个正六边形与3个正方形相连， 所以该多面体有6个正方形，正六边形有6×4÷3=8个． 故该多面体表面积是6× x 2+8× 3 ❑ √3 2 x 2=12❑ √3+6． 解得x=1，所以棱长为1． 故选：A． 8.【答案】C 【解析】 【分析】 本题主要考查了三角形的面积公式，基本不等式求解三角形中的应用，属于中档试题． 由已知结合三角形的面积公式及基本不等式可求b+2c的最小值． 【解答】 解：设AB=c，AC=b，BC=a， 由S△ABC=S△ADB+S△ADC得1 2 bc sin π 3 =1 2 ×❑ √3c sin π 6 + 1 2 ×❑ √3bsin π 6 ， 整理得bc=b+c ⇒1 b + 1 c =1，c>1 ∴b+2c=(b+2c)( 1 b + 1 c )=3+ 2c b + b c ⩾3+2❑ √2 当且仅当❑ √2c=b=❑ √2+1时等号成立，即b+2c的最小值为3+2❑ √2． 故选C． 9.【答案】BD 【解析】 【分析】 本题考查对立事件的判断，相互独立事件的概率乘法公式的应用，属于基础题． 【解答】 对于选项A，例如，投掷一枚质地均匀的骰子，记事件A为“点数为1，2，3”，事件B为“点 数为2，4，6”，则P( A )+P(B)=1 2 + 1 2=1，但是A，B不是对立事件，故A 错误； P( A )=1−P( A )=1 3，P( AB)=P( A )P(B)=1 3 × 1 3=1 9，故B 正确； 掷两枚质地均匀的骰子，“第一枚出现奇数点”与“第二枚出现偶数点”能同时发生，所以既不 是互斥事件，也不是对立事件，故C 错误； 若第一次摸到红球，则第二次摸到红球的概率为2 5 × 1 4 = 1 10， 若第一次摸到绿球，则第二次摸到红的概率为3 5 × 2 4 = 3 10， 所以第二次摸到红球的概率为2 5，故D 正确． 10.【答案】ABC 【解析】 【分析】 本题考查了空间中线线位置关系，线面角，平面与平面夹角，点到平面距离，属于中档题． 【解答】 解：设D是AC边中点 ①由翻折过程中垂直关系的不变性，可知BD⊥ ADC 平 面，由线面垂直定义可知BD⊥AC， 从而直线AC垂直直线OB； ②由题可知∠ACD即为直线AC与平面BOC所成角，又三角形ADC为等腰直角三角形，所以 ∠ACD= π 4 ，故直线AC与平面BOC所成角的大小为π 4 ； ③以D为坐标原点，以DA，DB，DC所在的方向分别为x，y，z轴，建立直角坐标系，则 A( 3 2 ,0,0),B(0, ❑ √3 2 ,0),C(0,0, ❑ √3 2 ),O( 1 2 ,0,0)，设平面AOC，平面BOC的法向量分别为 ⃗ m, ⃗ n，平面AOC与平面BOC的夹角为θ，则m ⃗ =(0,1,0),n ⃗ =(❑ √3,1,1)， cosθ=¿ m ⃗ ·n ⃗ ¿m ⃗ ∨¿n ⃗ ∨¿∨¿ 1 ❑ √5= ❑ √5 5 ¿ ，平面AOC与平面BOC的夹角的余弦值是 ❑ √5 5 ； ④由③可知，AB ⃗ =(−3 2 , ❑ √3 2 ,0), AC ⃗ =(−3 2 ,0, ❑ √3 2 )，平面ABC的法向量为m1 ⃗ =(1,❑ √3,❑ √3)， 所以O到平面ABC的距离¿¿OC ⃗ ·m1 ⃗ ∨ ¿ ¿m1 ⃗ ∨¿= ❑ √10 10 ¿ ¿． 11.【答案】AD 【解析】 【分析】 本题考查了概率的运算，方差，均值知识点，属中档题． 【解答】 解：男生样本量为50× 300 500=30，故选项A 正确； 每个学生入样的概率均为50 500= 1 10，故选项B 错误； 记男生样本为y1, y2,⋯, y30，均值为y，方差为s男 2 ； 女生样本为z1, z2,⋯, z20，均值为z，方差为s女 2 ； 所有样本均值为x，方差为s 2，则x= ∑ i=1 30 yi+∑ j=1 20 z j 50 =30 y+20 z 50 =3 5 y+ 2 5 z=167cm, s 2= 1 50 [∑ i=1 30 ( yi−x) 2+∑ j=1 20 ( z j−x) 2]¿ 1 50 [∑ i=1 30 ( yi−y+ y −x) 2+∑ j=1 20 ( z j−z+z−x) 2] ¿ 1 50 ¿+∑ j=1 20 ( z j−z) 2+20( z−x) 2+2∑ j=1 20 ( z j−z)( z−x)¿¿ 3 5 s男 2 + 3 5 ( y −x) 2+ 2 5