江苏省扬州中学2021-2022学年高二上学期12月月考试题 数学

2021-2022 学年度高二数学12 月月考卷 一、单选题 1. 已知直线l 经过点 ，且不经过第四象限，则直线l 的斜率k 的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由斜率公式数形结合可得. 【详解】如图，可知当直线位于阴影部分所示的区域内时，满足题意，又 ，所以 直线l 的斜率满足 ． 故选：D. 2. 已知等差数列 中， ， ，则 的值是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列性质得到 ， ，得到答案. 【详解】 ， ，则 ，故 ， . 故选：C. 3. 经过直线 与圆 的两个交点，且面积最小的圆的方 程是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小.由已知圆可得 圆心半径，可得弦长，再求出过圆心且垂直于已知直线的直线方程，解方程组可得圆心， 可得圆的方程． 【详解】由题可知，当所求圆的直径就是已知圆与直线相交的弦时，所求圆的面积最小. 圆 配方可得 ， 圆心坐标为 ，半径为2， 弦心距 ，弦长为 ， 过圆 的圆心和直线 垂直的直线方程为 ，即 ． 最小的圆的圆心为 与直线 的交点，解方程组可得 ， ， 所求面积最小的圆方程为： ， 故选：C． 4. 已知 ，则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】求导得到导函数，计算 ，再代入 计算得到答案. 【 详解】 ，则 ， ， . ， . 故选：B 5. 设 为抛物线 的焦点， ， ， 为该抛物线上三点，若 ， 则 （ ） A. 6 B. 4 C. 3 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】设 ， ， ．由 ，得 是 的 重心，从而求得 ，然后由焦半径公式求得结论． 【详解】设 ， ， ． 由题意得抛物线焦点坐标为 ，准线方程为 ． 因为 ， 所以点 是 的重心，故 ， ． 故选：A． 6. 已知函数 ，则不等式 的解集为 （ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分析可知函数 为偶函数，且在 上为增函数，由已知可得出 ， 解此不等式即可得解. 【详解】函数 的定义域为 ， ，即函数 为 偶函数， ，当 时， ，则 ， 所以，函数 在 上为增函数， 由 ，可得 ，得 ， 即 ，解得 . 故选：D. 7. 已知数列 满足 ， （ ， ），定义：使乘积 为正整数的 （ ）叫做“幸运数”，则在 内的所有“幸运数” 的和为（ ） A. 2046 B. 4083 C. 4094 D. 2036 【答案】D 【解析】 【分析】利用换底公式与叠乘法把 化为 ，然后根据 为整数，可得 ，最后由等比数列前 项和公式求解． 【详解】解： ， ， ， 又 为整数， 必须是2 的 次幂 ，即 ． 内所有的“幸运数”的和： ， 故选：D． 8. 过双曲线 （ ， ）的右焦点 作双曲线渐近线的垂线段 ，垂 足为 ，线段 与双曲线交于点 ，且满足 ，则双曲线离心率等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用渐近线的斜率，求出 ， ，进而利用相似和 求出点点 A 的坐标，代入到双曲线方程中，得到关于的方程，求出离心率即可 【详解】因为双曲线渐近线方程为 ，所以 ，如图，在直角三角 形 中， ， ，又因为  故 ， ，过 、A 分别作 的垂线，垂足分别为 、 ， 则由 得： ，又 ，故 ， ，故可得点A 的坐标为 ， 所以 ，整理得 ，解得 ， 故选： ． 二、多选题 9. 下列说法正确的有（ ） A. 若直线的倾斜角为 ，则直线的斜率为 B. 点 关于直线 的对称点为 C. 圆 与圆 可能内含、内切或相交 D. 若圆 与圆 相离，则 【答案】BC 【解析】 【分析】根据斜率与倾斜角的定义判断A，设对称点的坐标为 ，依题意得到方程组 解得 、 ，即可判断B，求出两圆心之间的距离，即可判断C、D； 【详解】解：对于A：当直线的倾斜角 时，直线的斜率不存在， 无意义， 故A 错误； 对于B：设点 关于直线 对称的点的坐标为 ，则 ， 解得 ，故对称的点的坐标为 ，故B 正确； 对于C：圆 的圆心为 ，半径为 ，圆 的 圆心为 ，半径为 ，所以圆心之间的距离 ，则两圆不会 相外切与相离，可能内含、内切或相交，故C 正确； 对于D：圆 圆心 ，半径为，圆 圆心 ，半径为 ，若两圆相离， 因为 ，所以 或 ， 所以 或 ，故D 错误. 故选：BC 10. 已知等比数列 的前 项和为 ，且 ， 是 与 的等差中项，数 列 满足 ，数列 的前 项和为 ，则下列命题正确的是（ ） A. 数列 的通项公式为 B. C. 的取值范围是 D. 数列 的通项公式 【答案】BCD 【解析】 【分析】根据已知条件求出等比数列 的首项和公比，利用等比数列的通项公式与求和 公式可判断AB 选项的正误；求出数列 的通项公式，利用裂项求和法结合数列的单调 性可判断CD 选项的正误. 【详解】设等比数列 的公比为 ，则 ，可得 ， 因为 ，即 ，解得 ， ，A 错； ，B 对； ，D 对； ， ，所以，数列 为单调递增数列，则 ，故 ，C 对. 故选：BCD. 11. 已知 是椭圆 上的一动点，离心率为，椭圆与 轴的交点 分别为 、 ，左、右焦点分别为 、 .下列关于椭圆的四个结论中正确的是（ ） A. 若 、 的斜率存在且分别为 、 ，则 为一定值 B. 若椭圆 上存在点 使 ，则 C. 若 的面积最大时， ，则 D. 根据光学现象知道：从 发出的光线经过椭圆反射后一定会经过 .若一束光线从 出 发经椭圆反射，当光线第 次到达 时，光线通过的总路程为 【答案】AC 【解析】 【分析】根据椭圆的几何性质，作出图像对选项进行分析，由此确定正确选项． A：设P 点坐标，结合P 点在椭圆上和斜率计算公式即可计算； B：由椭圆性质知，当M 为上下顶点时， 最大，保证最大这个角大于或等于 90°，则在椭圆上存在点M 满足题意； C：当P 为上顶点或下顶点时， 面积最大，结合几何关系即可求此时离心率； D：根据椭圆的定义即可求出光线走过的路程. 【详解】依题意 ， ， A，设 ， ，则 ， 为定值，A 正确．  B，若椭圆 上存在点 使 ，设 为上顶点，如图： 则 ，B 错误． C，若△ 的面积最大时， ，P 位于椭圆上顶点或下顶点， ， ，C 正确． D，结合椭圆的定义可知，光线第 次到达 时，光线通过的总路程为 ，D 错误． 故选：AC. 12. 已知 ， ， 是 的导函数，则下列结论正确的是（ ） A. 在 上单调递增． B. 在 上两个零点 C. 当 时， 恒成立，则 D. 若函数 只有一个极值点，则实数 【答案】ACD 【解析】 【分析】求出导函数 ，由 确定增区间，判断A，然后可得 ，再利用 导数确定 的单调性与极值，结合零点存在定理得零点个数，判断B，构造函数 ，由 在 上递减，求得 范围，判断C，利用导数研究 的单调性与极值点，得 的范围，判断D． 【详解】 ，令 ， 得 ，故A 正确 ， ，令 得 ， 得 ， 故 在 上为减函数，在 上为增函数． 当 时， ；当 时， 且 的大致图象为 只有一个零点，故B 错． 记 ，则 在 上为减函数， 对 恒成立 对 恒成立 ． 故C 正确． ， ，设 ， 只有一个极值点， 只有一个解，即直线 与 的图象只有一个 交点． ， 在 上为增函数，令 ，得 ， 当 时， ；当 时， ． 在 上为减函数，在 上为增函数， ， 时， ，即 ，且 时， ， 又 时， ，因此 的大致图象如下（不含原点）： 直线 与它只有一个交点，则 ．故D 正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：本题考查用导数研究函数的性质，解题关键是由导数确定函数的单 调性，得出函数的极值，对于零点问题，需要结合零点存在定理才能确定零点个数．注意 数形结合思想的应用． 三、填空题 13. 古希腊数学家阿基米德利用“逼近法”得到椭圆的面积除以圆周率等于椭圆的长半轴长 与短半轴长的乘积．若椭圆C 的中心为原点，焦点 均在x 轴上，C 的面积为 ，且 离心率为 ，则C 的标准方程为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设C 的标准方程为 ，由已知建立方程组，求解可得答案. 【详解】解：设C 的标准方程为 ，则 解得 所以C 的标准方程为 ． 故答案为： . 14. 已知数列 的前 项和为 ， ，则数列 的前 项和 __ ____． 【答案】 【解析】 【分析】由已知得 ，当 时， ，两式相减，得 ，可得数列 是首项为2，公比为2 的等比数列，继而求得数列 的通项 公式，运用错位相减法可求得数列的和． 【详解】当 时，解得 ． 又由已知可得 ，当 时， ，两式相减， 得 ， 又因为 ，所以数列 是首项为2，公比为2 的等比数列， 所以 ，所以 ， 所以 ， ， 两式相减得 ， 解得 ． 故答案为： ． 15. 已知函数 ，其中 ，若函数 在 处取得极大值， 则 __________. 【答案】1 【解析】 【分析】由题设得 显然 有 不合题设，知： ， 根据极大值有 求 ，再将所求 代入原函数验证 处是否取得极大值. 【详解】由题设， ， 当 时， ，则 递增，无极大值，与题设矛盾， ∴ ，此时， ，要使 在 处取得极大值， ∴ ，可得 或 . 当 时， ，则 当 得 或 ，即 上 递增； 当 得 ，即 上 递减； ∴ 为极大值点，符合题设. 当 时， ，则 当 得 或 ，即 上 递增； 当 得 ，即 上 递减； ∴ 为极小值点，不合题设. 综上， . 故答案为：1 16. 如图，一列圆 逐个外切，且所有的圆均与直线 相切，若 ，则 ___， ______ 【答案】 ①. . ② 【解析】 【分析】利用直线与圆相切可求得正数 的值，利用圆与圆外切得到 ， 利用直线与圆相切可得出 ，可推导出数列 为等比数列，确定该数列的首项和 公比，可求得数列 的通项公式，进而可求得数列 的通项公式. 【详解】由题意可知，圆 与直线 相切，则 ，可得 ， 因为圆 与圆 外切，则 ， 另一方面，由于圆 与直线 相切，则 ，可得 ， 又因为 ，则 ， 整理可得 ，所以，数列 是以 为首项，以 为公比的 等比数列， 因此， ，故 . 故答案为： ； . 四、解答题 17. 已知数列{an}的前n 项和Sn=n2+2n(n∈N*). （1）求数列{an}的通项公式； （2）数列{bn}满足bn=ansin(an )，求{bn}的前2n 项和T2n 【答案】（1） ；（2） . 【解析】 【分析】(1)先求 时，再利用 ,再验证 是否符合，即可. (2)对n 分奇偶讨论，得到 的通项公式，再利用并项求和，即可求解. 【详解】 时 ，得 当 时 成立， 即 ， 当 时, 当 时, 故 18. 已知圆 ： ，直线： . （1）当 为何值时，直线与圆 相切； （2）当直线与圆 相交于 ， 两点，且 时，求直线的方程. 【答案】（1） （2） 或 【解析】 【分析】（1）由圆的方程求出圆心和半径，利用圆心到直线的距离等于半径列方程即可求 解； （2）由（1）知圆心到直线的距离 ，由 求出 的值，再解 方程即可求解. 【小问1 详解】 由圆 ： ，可得 ，其圆心为 ，半径 ， 若直线与圆 相切，则圆心 到直线： 距离 ，即 ，可得： 【小问2 详解】 由（1）知圆心到直线的距离 ， 因为 ，即 ，解得： ， 所以 ，整理可得： ，解得： 或 ， 则直线的方程为 或 . 19. 已知点 在抛物线 上，且点 的纵坐标为1，点 到抛物线焦点 的距离为2 （1）求抛物线 的方程； （2）若抛物线的准线与 轴的交点为 ，过抛物线焦点 的直线与抛物线 交于 ， ，且 ，求 的值. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由抛物线定义，点 到抛物线焦点 的距离为2，故 ，可得解 （2） 可转化为 ，代入坐标可得 ，即 ， 可得解 【详解】（1）设 ，由抛物线定义，点 到抛物线焦点 的距离为2 故 故抛物线 的方程为： ； （2）抛物线 的焦点为 ，准线方程为 ， ； 设 ， 直线 的方程为 ，代入抛物线方程可得 ， ∴ ， ，…① 由 ，可得 ， 又 ， ， ∴ ， ∴ ， 即 ， ∴ ，…② 把①代入②得， ， 则 . 【点睛】本题考查了直线和抛物线综合，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算能力， 属于中档题 20. 已知函数 ， ； ( ) Ⅰ若函数 在[1,2]上是减函数，求实数 的取值范围； ( ) Ⅱ令 ，是否存在实数 ，当 ( 是自然对数的底数)时，函数 的最小值是 ．若存在，求出 的值；若不存在，说明理由． 【答案】（Ⅰ） ；（Ⅱ） 【解析】 【详解】试题分析：(1) 在[1,2]上恒成立 令h(x)＝2x2＋ax－1，x [1,2] ∈ ，∴h(x)≤0 在[1,2]上恒成立 得 ， . (2)假设存在实数a，使g(x)＝f(x)－x2，x (0 ∈ ，e]有最小值3 g(x)＝ax－lnx，x (0 ∈ ，e]，g′(x)＝a－ ＝ ①当a≤0 时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减 g(x) ∴ min＝g(e)＝ae－1＝3，∴a＝ (舍去) ②当0< <e 即a> 时，在(0， )上，g′(x)<0；在( ，e]上，g′(x)>0 g(x) ∴ 在(0， ]上单调递减，在( ，e]上单调递增 g(x) ∴ min＝ ＝1＋lna＝3，∴a＝e2满足条件 ③当 ≥e 即0<a≤ 时，g′(x)<0，g(x)在(0，e]上单调递减 g(x)min＝g(e)＝ae－1＝3 a ∴＝ > (舍去) 综上所述，存在a＝e2使得当x (0 ∈ ，e]时，g(x)有最小值3. 考点：函数导数判定单调性求最值 点评：第一小题已知函数在某一区间上是减函数得到结论 ，学生解题时容易忽 略等号写成 ，第二问要分情况讨论极值点与区间(0，e]的关系从而确定在区间 (0，e]上的单调性求出函数最值 21. 已知椭圆 的左右焦点分别为 ， ，且 椭圆C 上的点M 满足 ， ． （1）求椭圆C 的标准方程； （2）点 是椭圆 的上顶点，点 在椭圆C 上，若直线 ， 的斜率分别为 ， 满足 ，求 面积的最大值． 【答案】（1） ；（2） ． 【解析】 【 分 析 】 （ 1 ） 由 ， 结 合 可得解； （2）设 ，直线 ，将直线与椭圆联立，用坐标表示 ，代入韦达定理可解得 ，借助韦达定 理表示 ，用均值不等式即得解. 【详解】（1）依题意得： ， ． 由椭圆定义知 ， 又 ，则 ， 在 中， ，由余弦定理得： 即 ，解得 又 故所求椭圆方程为 （2）设 ，直线 联立方程组 ，得 ， ，得 ， ， ， ， 由题意知 ，由 ， ，代入化简得 ， 故直线 过定点 ， 由 ，解得 ， ， 令 ，则 ，当且仅当 ，即 时等号 成立，所以 面积的最大值为 ． 22. 已知函数 ． （1）若函数 的图象在点 处的切线在 轴上的截距为 ，求 ； （2）当 时，关于 的不等式 恒成立，求满足条件的示数 的最大整 数值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求 ，利用导数的几何意义求得在点 处切线方程，由在 轴上的截距为 列方程即可得 的值； （2）由所给的不等式分离 可得 ，令 ，利用导 数判断 的单调性和最小值，由 即可求解. 【 小问1 详解】 函数 的定义域为 ， ， 则在点 处切线的斜率为 ，又 ， 所以函数 的图象在点 处的切线方程为： ， 即 ，所以 ， 因为其在 轴上的截距为 ，所以 ，解得 ． 【小问2 详解】 即 ， 又 ，所以 ，可得 对于 恒成立， 当 时，令 ，则 ． 再令 ，则 ， 所以 在 上单调递增； 又 ， ， 所以 使 ，即 ，使 ， 当 时， ， ；当 时， ， ， 所以 在 上单调递减，在 上单调递增， 所以 ， 所以 ，又因为 ，所以实数 的最大整数值是 ． 【点睛】方法点睛： 若不等式 （ 是实参数）恒成立，将 转化为 或 恒成立，进而转化为 或 ，求 的最值即可.