题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 外接球的表面积为（ ） A． B． C． D． 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给 出一般结论，再对其展开详细应用，大家需重点强化复习. 知识迁移 基本原理 如下图, 所示为四面体 P−ABC, 已知二面角 P−AB−C 大小为 α, 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 △PAB

题型19 10 类球体的外接及内切解题技巧 （特殊几何体、墙角、对棱相等、侧棱垂直底面、侧面垂直底面、 二面角综合、数学文化、最值、内切、球心不确定） 技法01 特殊几何体外接球的应用及解题技巧 知识迁移 球的表面积：S＝4πR2 球的体积：V＝πR3 底面外接圆的半径r 的求法 （1）正弦定理 （2）直角三角形：半径等于斜边的一半 （3）等边三角形：半径等于三分之二高 墙角问题的应用及解题技巧 技法03 对棱相等问题的应用及解题技巧 技法04 侧棱垂直底面问题的应用及解题技巧 技法05 侧面垂直于底面问题的应用及解题技巧 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 技法07 数学文化与球体综合的应用及解题技巧 技法08 最值与球体综合的应用及解题技巧 技法09 内切球综合的应用及解题技巧 技法10 ，确定出三棱锥外接球球心的 位置，进而求得半径. 技法06 二面角与球体综合的应用及解题技巧 知识迁移 基本原理 如下图, 所示为四面体 P−ABC, 已知二面角 P−AB−C 大小为 α, 其外接球问题的步骤如下: (1) 找出 △PAB 和 △ABC 的外接圆圆心, 分别记为 O1 和 O2. 本文梳理以二面角为背景的外接球问题，这类问题难度较大，对空间想象能力要求较高，基于此本文先给

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的 中点． (1)证明： 平面 ； (2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， 因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ， 所以 、 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， ， ， ， ， 所以 ， 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 ； 所以 . 设二面角 的大小为 ，则 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 例1-2．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图 所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 例1-3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O， ，点F 在AC 上， . (1)证明： 平面 ； (2)证明：平面 平面BEF； (3)求二面角 的正弦值. 【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ， ， 则 ， 解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点， 于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形， ，又 平面 平面 ， 所以

性质定理2：两平面互相平行，一平面与两平面相交，则交线互相平行 例1-1．（2022·全国·统考高考真题）如图， 是三棱锥 的高， ， ，E 是 的 中点． (1)证明： 平面 ； (2)若 ， ， ，求二面角 的正弦值． 【详解】（1）证明：连接 并延长交 于点 ，连接 、 ， 因为 是三棱锥 的高，所以 平面 ， 平面 ， 所以 、 ， 又 ，所以 ，即 ，所以 ， 又 ，即 ，所以 ， ， ， ， ， 所以 ， 则 ， ， ， 设平面 的法向量为 ，则 ，令 ，则 ， ，所以 ； 设平面 的法向量为 ，则 ， 令 ，则 ， ，所以 ； 所以 . 设二面角 的大小为 ，则 ， 所以 ，即二面角 的正弦值为 . 例1-2．（2022·全国·统考高考真题）小明同学参加综合实践活动，设计了一个封闭的包装盒，包装盒如图 所示：底面 是边长为8（单位： ）的正方形， 例1-3．（2023·全国·统考高考真题）如图，在三棱锥 中， ， ， ， ，BP，AP，BC 的中点分别为D，E，O， ，点F 在AC 上， . (1)证明： 平面 ； (2)证明：平面 平面BEF； (3)求二面角 的正弦值. 【详解】（1）连接 ，设 ，则 ， ， ， 则 ， 解得 ，则 为 的中点，由 分别为 的中点， 于是 ，即 ，则四边形 为平行四边形， ，又 平面 平面 ， 所以

内部一点（包括 第5 页/共31 页 （北京）股份有限公司 边界），且二面角 的平面角大小为 ，则 面积的最大值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】建立空间直角坐标系，利用向量求得Q 运动轨迹，进而求得 面积的最大值. 【详解】如图以A 为坐标原点建立空间直角坐标系， 由二面角 的平面角大小为30°，可知Q 的轨迹是过点D 的一条直线， 又Q 是四边形ABCD 易知平面APD 的一个法向量为 ， 第6 页/共31 页 （北京）股份有限公司 设平面PDG 的法向量为 ， 则 ，即 ， 令 ，得 ， ， 所以 是平面PDG 的一个法向量， 则二面角 的平面角的余弦值为 ， 解得 或 （舍去）， 所以Q 在DG 上运动， 故 面积的最大值是 . 故选：A． 8. 有很多立体图形都体现了数学的对称美，其中半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体， 如图，四边形ABCD 中， ， ， ， ，将 沿AC 折到 位置，使得平面 平面ADC，则以下结论中正确的是（ ） A. 三棱锥 的体积为8 B. 三棱锥 的外接球的表面积为 C. 二面角 的正切值为 D. 异面直线AC 与 所成角的余弦值为 【答案】ABC 第12 页/共31 页 （北京）股份有限公司 【解析】 【分析】对于A，先四边形ABCD 中，利用已知条件结正弦定理求出

单选题 5 0.8 5 共面向量定理 单选题 5 0.8 6 双曲线定义 单选题 5 0.7 7 椭圆焦点三角形以及椭圆离心率 单选题 5 0.5 8 线面角以及阿氏圆的应用 单选题 5 0.5 9 平面法向量夹角与二面角平面角的关系 多选题 5 0.9 10 圆锥曲线的标准方程 多选题 5 0.9 11 圆的综合应用 多选题 5 0.6 12 立体几何综合 多选题 5 0.4 13 0.4 17 基底法的应用 解答题 10 0.8 18 双曲线方程及中点弦问题 解答题 12 0.8 19 面面垂直的证明及异面直线所成角 解答题 12 0.7 20 线面平行的证明及二面角、线面角 解答题 12 0.6 21 椭圆综合 解答题 12 0.5 22 抛物线综合 解答题 12 0.4 二、难度分布 三、比较 容易题

AD= ，点E 是PB 的中点． （1）证明：AE⊥PC； （2）求二面角C−AE−D 的大小． 【分析】（1）由 平面 ，知 ，结合 ，可证 平面 ， 从而得 ，再证 ，进而知 平面 ，然后由线面垂直的性质定理， 得证； （2）先证平面 平面 ，可知二面角 与二面角 是互余的， 再根据二面角的定义找出二面角 的平面角，并求之，即可得解． 【解析】 （1）证明：因为 平面 ， 平面 ，所以 （2）解：由（1）知， 平面 ， 因为 ，所以 平面 ， 因为 平面 ，所以平面 平面 ，所以二面角 与二面角 是互余的， 问题可转化为求二面角 的大小， 由（2）知， ， ， 因为 ，所以 ，即 ， 又 ，所以 即为二面角 的大小， 因为 ， ，所以 ，即二面角 的大小为 ， 故二面角 的大小为 ． 21．（本小题满分12 分） 向量 （2，2），向量b 与向量a 的夹角为 ，且 （2）设P−AM−D 的大小为 ，若 ，求平面PAM 和平面PBC 夹角余弦值的最 小值． 【分析】（1 ）作出辅助线，证明出四边形 为平行四边形，从而得到 ； （2）作出辅助线，得到 为 的平面角，即 ，建立空间直角坐 标系，用含 的关系式表达出平面 和平面 的法向量，利用空间向量夹角余弦公 式得到 ，结合的取值范围求出余弦值的最小值． 【解析】 解：（1）取 中点 ，连接 ， ，

已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱 AA'上的点（不含端点） ．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B'C 所 成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C 的平面角为γ，则（ ） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 12.如图，在正方形中，点 , E F 分别是线段 , AD BC 上的动点，且 , AE BF AC 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四 边形EFCD 沿直线EF 折起， 使平面EFCD 平面ABFE ， 则下列选项中错误的是 （ ） A． AGC  的角度不会发生变化 B．二面角G AC B   先变大后变小 C．AC 与平面ABFG 所成的角变小 D．AC 与EF 所成的角先变小后变大 试卷第3页，共4页 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13.空间直角坐标系中点 PB  ，则点P 的坐标为___________. 14.方程 2 2 0 x y x y m      表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 15.如图， 在120°的二面角 l    中， , , , A l B l AC BD       且 , AC AB BD AB   ， 垂足分别为A，B，已知 6 AC AB BD    ，则线段CD

已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱 AA'上的点（不含端点） ．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B'C 所 成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C 的平面角为γ，则（ ） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 12.如图，在正方形中，点 , E F 分别是线段 , AD BC 上的动点，且 , AE BF AC 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四 边形EFCD 沿直线EF 折起， 使平面EFCD 平面ABFE ， 则下列选项中错误的是 （ ） A． AGC  的角度不会发生变化 B．二面角G AC B   先变大后变小 C．AC 与平面ABFG 所成的角变小 D．AC 与EF 所成的角先变小后变大 试卷第3页，共4页 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13.空间直角坐标系中点 PB  ，则点P 的坐标为___________. 14.方程 2 2 0 x y x y m      表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 15.如图， 在120°的二面角 l    中， , , , A l B l AC BD       且 , AC AB BD AB   ， 垂足分别为A，B，已知 6 AC AB BD    ，则线段CD

已知直三棱柱ABC﹣A'B'C'的底面是正三角形，侧棱长与底面边长相等，P 是侧棱 AA'上的点（不含端点） ．记直线PB 与直线AC 所成的角为α，直线PB 与直线B'C 所 成的角为β，二面角P﹣B'B﹣C 的平面角为γ，则（ ） A．α＞β＞γ B．α＜β＜γ C．α＞γ＞β D．β＞α＞γ 12.如图，在正方形中，点 , E F 分别是线段 , AD BC 上的动点，且 , AE BF AC 之间滑动，但与AB 和CD 均不重合．在EF 任一确定位置，将四 边形EFCD 沿直线EF 折起， 使平面EFCD 平面ABFE ， 则下列选项中错误的是 （ ） A． AGC  的角度不会发生变化 B．二面角G AC B   先变大后变小 C．AC 与平面ABFG 所成的角变小 D．AC 与EF 所成的角先变小后变大 试卷第3页，共4页 二、填空题（每小题5 分，共20 分） 13.空间直角坐标系中点 PB  ，则点P 的坐标为___________. 14.方程 2 2 0 x y x y m      表示一个圆，则m 的取值范围是_______ 15.如图， 在120°的二面角 l    中， , , , A l B l AC BD       且 , AC AB BD AB   ， 垂足分别为A，B，已知 6 AC AB BD    ，则线段CD