最大角——米勒问题 一、方法突破 【问题描述】 1471 年，德国数学家米勒向诺德尔提出这样一个问题： 如图，点、B 直线l 的同一侧，在直线l 上取一点P，使得∠PB 最大，求P 点位置． P B A l 【问题铺垫】 圆外角：如图，像∠PB 这样顶点在圆外，两边和圆相交的角叫圆外角． C D A B O P 相关结论：圆外角等于这个角所夹两条弧的度数差（大减小）的一半．

C 故事背景：米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔授提出了如 下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

C 故事背景：米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔授提出了如 下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

C 故事背景：米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔授提出了如 下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

C 故事背景：米勒问题和米勒定理1471 年，德国数学家米勒向诺德尔授提出了如 下十分有趣的问题：在地球表面的什么部位，一根垂直的悬杆呈现最长？即在 什么部位，视角最大？最大视角问题是数学史上100 个著名的极值问题中第一 个极值问题而引人注目，因为德国数学家米勒曾提出这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M 上不同于点的任意一点，连结，B，因为∠’B 是圆外角， ∠B 是圆周角，易证∠’B 是圆周角，易证∠’B 小于∠B，故∠B 最大。 模型介绍 D B A O N M C C' 米勒定理在解题中的应用 常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖 出隐含其中的米勒问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶 颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解题长度，从而使问题顺利解决。 否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大。 D B A O N M C C' 在三角形’D 中， 又 【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒 问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解 题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2023

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大。 D B A O N M C C' 在三角形’D 中， 又 【解题关键】常常以解析几何、平面几何和实际应用为背景进行考查。若能从题设中挖出隐含其中的米勒 问题模型，并能直接运用米勒定理解题，这将会突破思维瓶颈、大大减少运算量、降低思维难度、缩短解 题长度，从而使问题顺利解决。否则这类问题将成为考生的一道难题甚至一筹莫展，即使解出也费时化力。 例1．（2023

242 读书《亲密关系》 口播推荐语 书名：《亲密关系》 作者：[美] 罗兰·米勒 豆瓣评分：9.4 何为爱情 这是一本可以重塑爱情观的书。作者以两性关系为主导，结合大量科学依据而 非主观感受，向我们娓娓道出亲密关系的形成秘诀。相信不论我们和另一半处 于何种阶段，这本书都能让我们享受到两性关系中的安逸与和谐。希望每个看 过此书的朋友都不会忘记：欣赏你的伴侣、表达你的感激，并持续重复以上两

（注：本题不允许使用弦切角定理） 15．（2023 秋·山西吕梁·九年级校考期末）阅读与思考：阅读下列材料，并完成相应的任务． 米勒定理 米勒（ ）是德国的数学家，是欧洲最有影响的数学家之一，米勒发表的《三角全书》，是使得三 角学在欧洲取得独立地位的第一部系统性著作．下面是米勒定理（又称切割线定理）的证明过程 已知：如图1， 与 相切于点， 与 相交于点B，． 求证： ． 证明：如图2，连接 ．

brgs peple rud m ppess d lugter 【答】()umrus/()ppy 【详解】句意：米勒先生是一个幽默的/快乐的人，总是给周围的人带来快乐和笑声。根据“lys brgs peple rud m ppess d lugter”可知，米勒经常给别人带来欢笑，所以米勒是一个幽默或者快乐的人，umrus“幽默 的”、ppy“快乐的”。故填()umrus/()ppy。 五、选词填空