题型07 3 类导数综合问题解题技巧 （端点效应（必要性探索）、函数的凹凸性、洛必达法则） 技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧 知识迁移 端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 . 技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧 技法02 函数凹凸性解题技巧 技法03 洛必达法则解题技巧 导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题 基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是 当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓 住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围， 获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题. 2.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 ),则 或 . 3.如果函数 (或 , 则 或 . 例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当 时，讨论 的单调性； (2)若 恒成立，求a 的取值范围． 【法一】端点效应一 令 ， 得 ，且 在 上恒成立 画出草图 根据端点效应, 需要满足 ，而 则 , 令 , 得 当 时, 由于 , 只需证 即可 而 含有参数 , 故可对 进行放缩 即 令

题型07 3 类导数综合问题解题技巧 （端点效应（必要性探索）、函数的凹凸性、洛必达法则） 技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧 知识迁移 端点效应的类型 1.如果函数 在区间 上, 恒成立,则 或 . 技法01 端点效应（必要性探索）解题技巧 技法02 函数凹凸性解题技巧 技法03 洛必达法则解题技巧 导数压轴中我们经常遇到恒成立问题，含有参数的不等式恒成立求参数的取值范围问题，是热点和重点题 基于以上两点，我们今天这讲就来解决这两个不足之处，基本对策就是先必要后充分的思想。该思想就是 当参变分离较为困难、带参讨论界点不明时，含参不等式问题还可以采用先必要、后充分的做法，即先抓 住一些关键点（区间端点，可使不等式部分等于零的特殊值等），将关键点代入不等式解出参数的范围， 获得结论成立的必要条件，再论证充分性，从而解决问题. 2.如果函数 在区问 上, 恒成立,且 (或 ),则 或 . 3.如果函数 (或 , 则 或 . 例1．（2023·全国·统考高考真题）已知函数 (1)当 时，讨论 的单调性； (2)若 恒成立，求a 的取值范围． 【法一】端点效应一 令 ， 得 ，且 在 上恒成立 画出草图 根据端点效应, 需要满足 ，而 则 , 令 , 得 当 时, 由于 , 只需证 即可，而 含有参数 , 故可对 进行放缩 即 令

D. 2 6. 正方形绕其中心至少旋转（）度可与原图形重合 A. 60° B. 90° C. 120° D. 180° 7. 线段AB 端点A(2,1)、B(5,4)，绕原点逆时针旋转90°后，新端点 A' 坐标为（） A. (-1,2) B. (1,-2) C. (-2,1) D. (2,-1) 8. 正六边形绕中心旋转60° 后与原图重合，这种性质称为（） 180° C. 270° D. 450° 18. 矩形绕其中心旋转（）度可与原图重合 A. 90° B. 180° C. 270° D. 360° 19. 线段MN 绕端点M 逆时针旋转30° （） A. N 点轨迹是圆弧B. 线段长度不变 C. M 点位置不变D. 旋转中心是M 20. 正五边形绕中心旋转（）度与原图重合 2)逆时针旋转90° 后的图形，标出顶点坐标。 33. 点P(6,8)绕原点逆时针旋转45°后得到点P'，求P'坐标（保留根 号）。 34. 风车叶片端点A(0,0)、B(4,0)，叶片绕中心点(2,0)顺时针旋转 120°后，求新端点B'的坐标。 答案 一、1-5：BACAD 6-10：BABDB 二、11.AC 12.ABC 13.ABC 14.AD 15.D 16.ABD

A. 20° B. 40° C. 80° D. 160° 4. 关于线段垂直平分线的性质，下列说法错误的是： A. 垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等 B. 到线段两端点距离相等的点一定在线段的垂直平分线上 C. 线段的垂直平分线有且只有一条 D. 线段的垂直平分线是线段的对称轴 5. 点M 在线段AB 的垂直平分线上，则一定有： 的距离相等。这个作图是在求作： A. ∠MON 的角平分线 B. 线段MN 的垂直平分线 C. 过点O 的垂线 D. 点O 的对称点 8. 利用尺规作图，求作一点Q，使点Q 到线段CD 的两个端点C、D 的距离相等。这个作图是在求作： A. 线段CD 的垂直平分线 B. ∠CQD 的角平分线 C. 过点C 或D 的垂线 D. 点C 或D 的对称点 9. △ 下列关于线段垂直平分线的说法，正确的有： A. 垂直平分线是一条直线 B. 垂直平分线垂直于这条线段 C. 垂直平分线平分这条线段 D. 线段垂直平分线上任意一点到线段两端点的距离相等 3. 下列图形中，哪些图形一定存在对称轴？ A. 线段 B. 角 C. 直角三角形 D. 等腰三角形 4. 下列条件中，能确定点P ∠ 在 AOB

包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= X A+X B 2 (即：中点等于两端点相加除以2） 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 分别表示﹣15，0，9，点P，Q 分别从点，B 同时开始 沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒4 个单位，点Q 的速度是每秒1 个单位，运动时 间为t 秒．若点P，Q，三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的 一个中点，则运动时间为 或 或 秒． 解：由题知，P 点对应的数为：﹣15+4t，Q 点对应的数为：9+t， （1）当为PQ 中点时， 根据题意得15 4 ﹣t＝9+t， ﹣的值相等； 故答为：﹣2； （3）∵|x+1|+|x 2| ﹣值最小， ∴在数轴上可以看作表示x 的到﹣1 的距离与到2 的距离和最小， ∴数x 只能在﹣1 与2 之间，包括﹣1 与2 两个端点， 1≤ ∴﹣ x≤2． 故答为：﹣1≤x≤2． 11．如图，已知点为数轴的原点，点、B、、D 在数轴上，其中、B 两点对应的数分别为﹣ 1、3． （1）填空：线段B 的长度B＝ 4

包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= X A+X B 2 (即：中点等于两端点相加除以2） 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 分别表示﹣15，0，9，点P，Q 分别从点，B 同时开始 沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒4 个单位，点Q 的速度是每秒1 个单位，运动时 间为t 秒．若点P，Q，三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的 一个中点，则运动时间为 或 或 秒． 解：由题知，P 点对应的数为：﹣15+4t，Q 点对应的数为：9+t， （1）当为PQ 中点时， 根据题意得15 4 ﹣t＝9+t， ﹣的值相等； 故答为：﹣2； （3）∵|x+1|+|x 2| ﹣值最小， ∴在数轴上可以看作表示x 的到﹣1 的距离与到2 的距离和最小， ∴数x 只能在﹣1 与2 之间，包括﹣1 与2 两个端点， 1≤ ∴﹣ x≤2． 故答为：﹣1≤x≤2． 11．如图，已知点为数轴的原点，点、B、、D 在数轴上，其中、B 两点对应的数分别为﹣ 1、3． （1）填空：线段B 的长度B＝ 4

个单位长度后，其纵坐标变为？ 4. 点D(0, 7)关于y 轴对称的点的坐标是？ 5. 若点E(2, -4)先向左平移3 个单位，再向下平移2 个单位，最终坐 标是？ 6. 线段两端点为F(1, 1)和G(4, 1)，将其向下平移3 个单位后新端点 的纵坐标差是？ 7. 点P(a, b)关于原点对称的点坐标是？ 8. 若矩形各顶点横坐标加2，纵坐标减3，其发生的变换是？ 9. 点M(-5, 0)在平移后得到M'(-2 轴对称得到点T'，再将点T'向下平移5 个单位 得到点T''。求点T''的坐标，并说明整个变换后点T 到点T''的平移向 量。 3. 已知线段AB 端点坐标为A(-2, 5)，B(1, 5)。求： (1) 将线段AB 关于y 轴反射后的端点坐标； (2) 反射后得到的新线段CD，求CD 的长度，并说明理由。 4. 在直角坐标系中，点W(3, 0)和点S(0, -4)。 (1) 求点W

mA。把该电流计接成如图所示电路， 有三个端点a、b、c，使之 成为双量程电流表,两个量程是0~0.1A 和0~1A。一次使用a、b 两个端点,一次使用a、c 两个端点,下列判断正确的是（ ） A.使用a、b 两个端点,量程是0~1 A；使用a、c 两个端点,量程是 0~0.1 A B.使用a、b 两个端点,量程是0~0.1 A；使用a、c 两个端点,量程是0~1 A C.R1=1Ω,R2=9Ω

包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= X A+X B 2 (即：中点等于两端点相加除以2） 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 分别表示﹣15，0，9，点P，Q 分别从点，B 同时开始 沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒4 个单位，点Q 的速度是每秒1 个单位，运动时 间为t 秒．若点P，Q，三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的 一个中点，则运动时间为 秒． 【变式2-2】．如图：在数轴上点表示数﹣3，B 点示数1，点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点B 与数表示的点重合； ﹣，（其中为正整数，且1≤≤7），求所有满足 条件的k（p）的和． 13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点B 重合，数轴的单位长 度为1m，如图所示． （1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B 处时、它的右端点在数轴 上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端 点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 5 m

包括无理数．） （3）用数轴比较大小：一般来说，当数轴方向朝右时，右边的数总比左边的数大． ✮（4）数轴上两点间的距离公式：B=XB-X (即：右端点减左端点） ✮（5）数轴上中点数公式：X M= X A+X B 2 (即：中点等于两端点相加除以2） 【例1】如图，点在数轴上表示的数为﹣3，点B 表示的数为2，点P 在数轴上表示的是整 数，点P 不与、B 重合，且P+PB＝5，则满足条件的P 分别表示﹣15，0，9，点P，Q 分别从点，B 同时开始 沿数轴正方向运动，点P 的速度是每秒4 个单位，点Q 的速度是每秒1 个单位，运动时 间为t 秒．若点P，Q，三点在运动过程中，其中一个点恰好是另外两点为端点的线段的 一个中点，则运动时间为 秒． 【变式2-2】．如图：在数轴上点表示数﹣3，B 点示数1，点表示数9． （1）若将数轴折叠，使得点与点重合，则点B 与数表示的点重合； ﹣，（其中为正整数，且1≤≤7），求所有满足 条件的k（p）的和． 13．把一根小木排放在数轴上，木棒左端点与点重合，右端点与点B 重合，数轴的单位长 度为1m，如图所示． （1）若将木棒沿数轴向右移动，当木棒的左端点移动到点B 处时、它的右端点在数轴 上对应的数为20；若将木棒沿数轴向左移动时，当它的右端点移动到点处时，木棒左端 点在数轴上对应的数为5，由此可得木棒的长为 5 m