角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D

因为像奔驰车标 ，所以叫奔驰模型 R【结论】如图 ,等边△B，P=3，PB=4，P=5， 则①∠PB=150º， ②S△B＝ ❑ √3 4 B2＝25 ❑ √3+36 4 R 关键：旋转可以让线段动起来 各种旋法： 模型介绍 R 超酷炫又实用：S= ⑤S∆AOC＋S∆AOB ＝6＋9 4 ❑ √3 其中正确的结论是（ ) ①②③⑤ B ①②③④ ①②③④⑤ D ①②③ 解：如图，连接 ´ ①由奔驰模型推导过程可知∠B´=60°，△B≌△B´，∠②B=150°，△B´为等边三角形，所 以 ´=B=4，故①②③正确 S四边形AOBO´＝S∆AOO´ ＋S∆OBO´＝1 2×3×4 ＋ ❑ √3 BD 中，∠B=60°，对角线平分∠BD，点 P 是△B 内一点，连接 P，PB，P 若 P=6，PB=8，P=10，则菱形 BD 的面积等于 解：过点作⊥BP，交 BP 的延长线于， 由奔驰模型可知∠PB=150°， ∴∠P=30°， ＝1 2P＝3,P＝3❑ √3,∴B=8＋3❑ √3,∴B2＝²＋B²＝100＋48❑ √3 ,S 菱形BD＝2S∆ABC＝2 × ❑ √3 4 ×B2＝50❑

定角定高模型：如图，直线B 外一点，到直线B 距离为定值（定高），∠B 为定角，则D 有最小值，即△B 的面积有最小值 定角夹定高也叫探照灯模型 R 模型剖析 如何确定△B 面积的最小值呢？ 首先我们连接,B, 过点作⊥B 于点（如右上图） 显然+ D，当且仅当,,D 三点共线时取“=”由于∠B 的大小是一个定值， 而且它是圆的圆周角，因此它所对的圆心角∠B 的度数，也是一个定值 因此和 根据“半径+弦心距≥定高”，求r 的取值范围； 3 用r 表示定角定高三角形面积，用r 取值范围求面积最小值 【例1】．如图，在△B 中，∠B＝60°，D⊥B 于点D，且D＝4，则△B 面积的最小值为 模型介绍 例题精讲 ． 解：作△B 的外接圆⊙，连接，B，，过点作E⊥B 于点E， ∵∠B＝60°， ∴∠B＝120°， ∵B＝， ∴∠B＝∠B＝30°， 设⊙的半径为r，则E＝ B＝

边上的高，BD＝3，D＝2， D 的长为 第2 题 第3 题 3．（0,6）B（3,0）在X 轴上有一点P，若∠PB=45°，则P 点坐标为 模型介绍 【“1 2 3”+“4 5”的来源】 此外，还可以得到 【例1】．如图所示的格是正方形格，则∠PB+∠PB＝（ ）°（点，B，P 是格交点）． ．30 B．45 ．60 D．75 解：延长P

全等模型—倍长中线模型 夯实双基，稳中求进 倍长中线模型 题型一：求三角形中线取值范围 【例1】（2021·重庆市暨华中学校八年级月考）在 中， ，中线 ，则 边的取值范围 （ ） ． B． ． D． 【答】 【分析】延长D 至E，使DE=D，然后利用“边角边”证明△BD 和△ED 全等，根据全等三角形对应边相等 可得B=E，再利用三角形的任意两边之和大于第三边，三角形的任意两边之差小于第三边求出E 【变式2-2】（2020·湖南长沙市·月考）如图，已知在 中， 是 边上的中线， 是 上一 点，且 ，延长 交 于 ，求证： F E D C B A 、 【分析】利用中线类倍长的基本模型进行证明，结合等腰三角形的性质进行论证． 【详解】延长 到 ，使 ，连结 ∵ ， ， ∴ ． ∴ ． 又∵ ， ∴ ∴ ，而 ∴ ， 故 ． 【点睛】此题考查的是全等三角形的判定 ∵M＝M， ∴DE＝＝2M， ∵M＝3， ∴DE＝6． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的判定与性质，补角的性质，掌握倍长中线法，构 造全等三角形是解本题的关键． 类倍长中线模型 【例题3】（2020·宜春市宜阳学校八年级月考）阅读理解： （1）如图1，在 中，若 ， ，求 边上的中线 的取值范围． 解决此问题可以用如下方法：延长 到点 ，使得 ，再连接 ，把 ， ，

模型介绍 P m A B m A B m A B P m A B A' n m A B Q P n m A B P' Q' （2）一个点在内侧，一个点在外侧： （3）两个 点都在内侧： （4 ）、 台球两次碰壁模型 变式一：已知点、B 位于直线m （2）点、B 在直线m 异侧： 解：过 B 作关 于直线m 的对称点B’,连接B’交点直线m 于P,此 时PB=PB’，P-PB 最大值为B’ 考点一、两定一动模型 【例1】如图，在△B 中，B 的垂直平分线DE 交B 于点D，垂足为E，M 为DE 上任意一点， B＝3，＝4，B＝6，则△M 周长的最小值为（ ） ．7 B．6 ．9 D．10 解：如图所示，连接BM， ∴＝'，∠'＝2∠＝60°， ' ∴△是等边三角形， ∵点M 是的中点， ' ∴M⊥， ∵点（5，0），∴＝5， ∵点M 是的中点，∴ ， ∴ ，∴ ． 故答为： ． 考点二、一定两动模型 【例2】如图，在Rt△B 中，∠B＝90°，＝3，B＝4，B＝5，D 平分∠B 交B 于D 点，E、F 分别是D，上的动点，则E+EF 的最小值为________ 解：在B 上取一点G，使G＝F，

中，∠B＝90°，D 是斜边B 上的高，有射影定理如下： R 注意：直角三角形斜边上有高时，才能用射影定理！ 【例1】．在矩形BD 中，BE⊥交D 于点E，G 为垂足．若G＝D＝1，则的长是 ． 模型介绍 例题精讲 ①D2＝BD•D； ②B2＝BD•B； 2＝D•B． 解：∵四边形BD 是矩形，∴B＝D＝1，∠B＝90°， ∵BE⊥，∴∠GB＝90°＝∠B， ∵∠BG＝∠B，∴△BG∽△B，∴

如图所示，在BF 上截取BM=DF，易证△BM≌△DF（SS） ②补短：选取两条较短线段中的一条进行延长，使得较短的两条线段共线并寻求解题突破 如图所示，延长G 至，使=DF，易证△DF≌△B（SS） 模型介绍 考点一：截长型 【例1】．如图，△B 中，∠B＝120°，D⊥B 于D，且B+BD＝D，则∠等于_______ 解：在D 上截取DE＝DB，连接E． 设∠B＝α， ∵B+BD＝D，DE＝DB，

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D

角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 角含半角模型，顾名思义即一个角包含着它的一半大小的角。它主要包含：等腰直角 三角形角含半角模型；正方形中角含半角模型两种类型。解决类似问题的常见办法主要有 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 两种：旋转目标三角形法和翻折目标三角形法 类型一：等腰直角三角形角含半角模型 （1）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D，E 在B 上，且∠DE=45°，则：BD2+E2=DE2 图示（1） 作法1：将△BD 旋转90° 作法2：分别翻折△BD, E △ （2）如图，在△B 中，B=，∠B=90°，点D 在B 上，点E 在B 延长线上，且∠DE=45°，则： 图示（2） （3）如图，将等腰直角三角形变成任意等腰三角形时，亦可以进行两种方法的操作处理 模型介绍 任意等腰三角形 类型二：正方形中角含半角模型 （1）如图，在正方形BD 中，点E，F 分别在边B，D 上，∠EF=45°，连接EF，过点作 G⊥于EF 于点G，则：EF=BE+DF，G=D