手拉手模型构造全等三角形 【专题说明】 两个具有公共顶点的相似多边形，在绕着公共顶点旋转的过程中，产生伴随的全等或相似三角形，这样的 图形称作共点旋转模型；为了更加直观，我们形象的称其为“手拉手”模型。 【知识总结】 【基本模型】 一、等边三角形手拉手-出全等 图1 2=B D 2+D E 2∵△ADE 为等腰三角形，∴DE=❑ √2 AD即 D E 2=2 A D 2∴B E 2=B D 2+D E 2=B D 2+2 A D 2 手拉手模型构造全等三角形 1、已知△B 和△BDE 都是等腰直角三角形，∠B＝∠BED＝90°，B＝2BD，连接E． （1）如图1，若点D 在B 边上，点F 是E 的中点，连接BF．当＝4 时，求BF 的长；

瓜豆原理中动点轨迹直线型最值问题以及逆向构造 【专题说明】 近些年的中考中，经常出现动点的运动轨迹类问题，通常出题以求出轨迹的长度或最值最为常见。 很多考生碰到此类试题常常无所适从，不知该从何下手。 动点轨迹问题是中考的重要压轴点受学生解析几何知识的局限和思维能力的束缚,该压轴点往往成为学 生在中考中的一个坎,致使该压轴点成为学生在中考中失分的一个黑洞掌握该压轴点的基本图形,构建问题 ，对于 选填题，可找出从动点的始末位置，从而快速定位轨迹，若要说理则需要构造手拉手 证明 第二层：点P’的运动长度和点P 的运动长度相同吗？ 答：因为点P’与点P 到定点的距离相等，则有运动路径长度相等，若要说理则同样需 要构造手拉手结构，通过全等证明 第三层：手拉手模型怎么构造？ 答：以旋转中心为顶点进行构造，其实只要再找一组对应的主从点即可，简单来说就是从 P 点的轨迹即线段D 大气层：前面提到，如果是选填题，可以通过找从动点的始末位置快速定位轨迹线段， 或者通过构造手拉手，通过全等或相似得出相等角然后得出轨迹，这两种方法都是先 找出从动点P’的轨迹，再作垂线段并求出垂线段的长得到最小值，那么还有其他方法 吗？ 答：还可以对关键点进行旋转来构造手拉手模型，从而代换所求线段，构造如下． 将点E 绕点顺时针旋转60°，构造手拉手模型(SS 全等型)，从而得到P’E＝PG，最小值即 为点G

【例2】．如图，已知点（1，2）是反比例函数y＝ 图象上的一点，连接并延长交双曲线 的另一分支于点B，点P 是x 轴上一动点；若△PB 是等腰三角形，则点P 的坐标是 （﹣ 3 ， 0 ）或（ 5 ， 0 ）或（ 3 ， 0 ）或（﹣ 5 ， 0 ） ． 解：∵反比例函数y＝ 图象关于原点对称， ∴、B 两点关于对称， 为腰的三角形有2 个； 以B、B 为腰的三角形有2 个． 故选：D． 2．如图，已知函数y＝ x+ 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点P 是x 轴上一 点，若△PB 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） ．（﹣3 2 ﹣ ，0）B．（3，0） ．（﹣1，0） D．（2 ，0） 解：如下图所示： ∵函数y＝ x+ 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B， 在y＝ x+ 中，令y＝0 上，能使△BP 为等腰三角形的点P 的个数有 3 个． 解：以点B 为圆心线段B 长为半径做圆，交抛物线于点、M、点，连接、B，如图所示． 令一次函数y＝﹣ x+3 中x＝0，则y＝3， ∴点的坐标为（0，3）； 令一次函数y＝﹣ x+3 中y＝0，则﹣ x+3＝0， 解得：x＝ ， ∴点B 的坐标为（ ，0）． ∴B＝2 ． ∵抛物线的对称轴为x＝ ， ∴点的坐标为（2

的值为 或4 或14，使△B 为直角三角形，面积为 或20 或50． 1．在平面直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P 在反比例函数 y＝ 的图象上．若△PB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（ ） ．2 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 解：设点P 的坐标为（x，y）， 当∠PB＝90°时，以B 为直径作圆，如图所示， 解：（1）如图所示： （2）满足条件的点有2 个，（0，﹣2）或（0，0）． 5．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（6，0），点B 坐标为（2，﹣2），直线B 与y 轴交于点． （1）求直线B 的函数表达式及线段的长； （2）点B 关于y 轴的对称点为点D． ①请直接写出点D 的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ； ②在直线BD 上找点E，使△E 是直角三角形，请直接写出点E 综上所述，点Q 的坐标为（﹣1， ）或（1， ）或（﹣7， ）． 9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+经过（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y 轴相交于点，直 线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点、点的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△M 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．

【例2】．如图，已知点（1，2）是反比例函数y＝ 图象上的一点，连接并延长交双曲线 的另一分支于点B，点P 是x 轴上一动点；若△PB 是等腰三角形，则点P 的坐标是 （﹣ 3 ， 0 ）或（ 5 ， 0 ）或（ 3 ， 0 ）或（﹣ 5 ， 0 ） ． 解：∵反比例函数y＝ 图象关于原点对称， ∴、B 两点关于对称， 为腰的三角形有2 个； 以B、B 为腰的三角形有2 个． 故选：D． 2．如图，已知函数y＝ x+ 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B，点P 是x 轴上一 点，若△PB 为等腰三角形，则点P 的坐标不可能是（ ） ．（﹣3 2 ﹣ ，0）B．（3，0） ．（﹣1，0） D．（2 ，0） 解：如下图所示： ∵函数y＝ x+ 的图象与x 轴交于点，与y 轴交于点B， 在y＝ x+ 中，令y＝0 上，能使△BP 为等腰三角形的点P 的个数有 3 个． 解：以点B 为圆心线段B 长为半径做圆，交抛物线于点、M、点，连接、B，如图所示． 令一次函数y＝﹣ x+3 中x＝0，则y＝3， ∴点的坐标为（0，3）； 令一次函数y＝﹣ x+3 中y＝0，则﹣ x+3＝0， 解得：x＝ ， ∴点B 的坐标为（ ，0）． ∴B＝2 ． ∵抛物线的对称轴为x＝ ， ∴点的坐标为（2

的值为 或4 或14，使△B 为直角三角形，面积为 或20 或50． 1．在平面直角坐标系中，点、B 的坐标分别为（﹣3，0）、（3，0），点P 在反比例函数 y＝ 的图象上．若△PB 为直角三角形，则满足条件的点P 的个数为（ ） ．2 个 B．4 个 ．5 个 D．6 个 解：设点P 的坐标为（x，y）， 当∠PB＝90°时，以B 为直径作圆，如图所示， 解：（1）如图所示： （2）满足条件的点有2 个，（0，﹣2）或（0，0）． 5．如图，在平面直角坐标系中，点坐标为（6，0），点B 坐标为（2，﹣2），直线B 与y 轴交于点． （1）求直线B 的函数表达式及线段的长； （2）点B 关于y 轴的对称点为点D． ①请直接写出点D 的坐标为 （﹣ 2 ，﹣ 2 ） ； ②在直线BD 上找点E，使△E 是直角三角形，请直接写出点E 综上所述，点Q 的坐标为（﹣1， ）或（1， ）或（﹣7， ）． 9．如图，已知抛物线y＝x2+bx+经过（﹣1，0）、B（3，0）两点，且与y 轴相交于点，直 线l 是抛物线的对称轴． （1）求抛物线的函数关系式； （2）设点P 是直线l 上的一个动点，当点P 到点、点的距离之和最短时，求点P 的坐标； （3）点M 也是直线l 上的动点，且△M 为直角三角形，请直接写出所有符合条件的点M 的坐标．

题型16 11 类数列通项公式构造解题技巧 技法01 用an与Sn关系求通项公式的解题技巧 知识迁移 an={ s1,n=1 sn−sn−1,n≥2 技法01 用an 与Sn关系求通项公式的解题技巧 技法02 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 技法03 已知an+1=an⋅f (n) 用累乘法求通项公式的解题技巧 技法04 已知an+1=pan+q 1 an + m p 求通项公式的解题技巧 技法10 已知an+1= pa nq ( p>0,an>0)用lg an+1=q lg an+lg p 求通项公式的解题技巧 技法11 构造常数列求通项公式的解题技巧 用an 与Sn 关系求通项公式是高考数列中经常考查的知识点，难度不大，需要同学们按公式解题即可. 例1．（2022·全国·统考高考真题）记 为数列 的前n 项和．已知 已知an+1=an+f (n)用累加法求通项公式的解题技巧 知识迁移 形如an+1=an+f (n),a1=A ，若{ f (n)为常数，构造成等差数列 f (n)为一次函数，构造等差求和 f (n)为指数函数，构造等比求和 f (n)为分式函数，构造裂项相消求和 例2．（2023·全国·高三专题练习）在数列{ }中， ， ，求通项公式 ． 原递推式可化为 ，则 ， ，…， ，逐项相加，得