学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M ∴B＝EB＝ED﹣BD＝6 2 ﹣＝4． 变式训练 【变式1-1】．如图， 是劣弧，M 是 的中点，B 为 上任意一点．自M 向B 弦引垂 线，垂足为D，求证：B+BD＝D． 证明：在D 上取点，使＝B，连接M，M ∵M 是 的中点， ∴ ＝ ， ∴M＝M（等弧对等弦）， 又∵∠BM＝∠BM， 在△BM 和△M 中， ， ∴△BM≌△M（SS）， ∴BM＝M， ∴△BM 为等腰三角形（B 为等腰三角形（B 为底）， 又∵MD⊥B， ∴D 为B 中点（等腰三角形三线合一）， ∴BD＝D ∴B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE⊥B 交△B

圆 模型（三十九）——折弦定理模型 如图，B B，像是一条折断的弦 ◎结论：B、B 是⊙的两条弦，M 为^ ABC的中点，MD⊥B，垂足为D， 则B＋BD＝D 【证明】 如图 在D 上取点E，使DE＝DB,连接BM,ME,,M,M, BD ∵ ＝DE,MD⊥BE, MB ∴ ＝ME M ∵ 为^ ABC的中点 B，证明见解析 (4) 【分析】（1）根据已知补全图形即可，根据平行线性质和同圆中，同弧所对的圆周角相等，即可得∠F＝∠BE，从 而可得∠M＝90°； （2）分两种情况：当D 在弦B 上方的圆上时，画出图形可得∠M＝∠B；当D 在弦B 下方的圆上时，可得∠M+∠B ＝180°； （3）延长M 到K，使K＝M，连接K，P，由三角形中位线定理可得P＝ K，证明△B≌△K（SS），有B＝K，即 得P＝ B； ∴∠F+∠E＝90°，即∠M＝90°； （2） （2）∠B＝∠M 或∠M+∠B＝180°，理由如下： 当D 在弦B 上方的圆上时，如图： ∵ ， ∴∠F＝∠D， ∵ ， ∴∠D＝∠BD， ∴∠F＝∠BD， ∵ ， ∴∠BD＝∠BE， ∴∠F＝∠BE， ∴∠F+∠E＝∠BE+∠E， 即∠M＝∠B； 当D 在弦B 下方的圆上时，如图： ∵ ， ∴∠F＝∠D， ∵ ， ∴∠BD＝∠BE， ∵∠D+∠BD＝180°，

学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M ∴B＝EB＝ED﹣BD＝6 2 ﹣＝4． 变式训练 【变式1-1】．如图， 是劣弧，M 是 的中点，B 为 上任意一点．自M 向B 弦引垂 线，垂足为D，求证：B+BD＝D． 证明：在D 上取点，使＝B，连接M，M ∵M 是 的中点， ∴ ＝ ， ∴M＝M（等弧对等弦）， 又∵∠BM＝∠BM， 在△BM 和△M 中， ， ∴△BM≌△M（SS）， ∴BM＝M， ∴△BM 为等腰三角形（B 为等腰三角形（B 为底）， 又∵MD⊥B， ∴D 为B 中点（等腰三角形三线合一）， ∴BD＝D ∴B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE⊥B 交△B

学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M 的长． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图， 是劣弧，M 是 的中点，B 为 上任意一点．自M 向B 弦引垂 线，垂足为D，求证：B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 外接圆于E，连接E，则∠E＝ °． 【例2】．如图，，B 是⊙的两条弦，M 是 的中点，作MF⊥，垂足为F，若B＝ ， ＝3，则F＝ ． 【变式2-1】．如图，△B 内接于⊙，＞B，点D 为 的中点．求证：D2＝•B+D2． 【变式2-2】．如图，△B 内接于⊙，B＝2，B＝，点D 为 上的动点，且s∠B＝ ． （1）求B 的长度； （2）在点D 的运动过程中，弦D 的延长线交B 延长线于点E，问D•E 的值是否变化？

圆 模型（三十九）——折弦定理模型 如图，B B，像是一条折断的弦 ◎结论：B、B 是⊙的两条弦，M 为^ ABC的中点，MD⊥B，垂足为D， 则B＋BD＝D 【证明】 如图 在D 上取点E，使DE＝DB,连接BM,ME,,M,M, BD ∵ ＝DE,MD⊥BE, MB ∴ ＝ME M ∵ 为^ ABC的中点 上的动点， 且 (1)求 的长度； (2)在点D 运动的过程中，弦D 的延长线交B 的延长线于点E，问D•E 的值是否变化？若不变，请求出D•E 的值；若变化，请说明理由 (3)在点D 的运动过程中，过点作⊥BD，求证： 1．（2022 年河南省社旗县九年级数学一模考试试题）请阅读下面材料，并完成相应的任务： 阿基米德折弦定理 阿基米德（rmedes 公元前287—公元前212 年，古 斯并称为三大数学王子． 阿拉伯l-Br（973 年—1050 年）的译文中保存了阿基米德折弦定理的内容，苏联在1964 年根据-Bru 译本出 版了俄文版《阿基米德全集》，第一题就是阿基米德的折弦定理． 阿基米德折弦定理：如图1，B 和B 是 的两条弦（即折线B 是圆的一条折弦）， ，M 是弧B 的中点，则从点M 向B 所作垂线的垂足D 是折弦B 的中点，即 ． 这个定理有很多证明方法，下面是运用“截长法”证明

学家之一，他与牛顿、高斯并称为三大数学王子． 折弦定义:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 阿基米德折弦定理：一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点 在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如下图所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则 从M 向B 所作垂线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M 的长． 例题精讲 变式训练 【变式1-1】．如图， 是劣弧，M 是 的中点，B 为 上任意一点．自M 向B 弦引垂 线，垂足为D，求证：B+BD＝D． 【变式1-2】．定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德 折弦定理： 如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF⊥B 于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 外接圆于E，连接E，则∠E＝ °． 【例2】．如图，，B 是⊙的两条弦，M 是 的中点，作MF⊥，垂足为F，若B＝ ， ＝3，则F＝ ． 【变式2-1】．如图，△B 内接于⊙，＞B，点D 为 的中点．求证：D2＝•B+D2． 【变式2-2】．如图，△B 内接于⊙，B＝2，B＝，点D 为 上的动点，且s∠B＝ ． （1）求B 的长度； （2）在点D 的运动过程中，弦D 的延长线交B 延长线于点E，问D•E 的值是否变化？

圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。 模型1 阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图1 所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则从M 向B 所作垂 线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M B C A D M B C A D F M B C A D G H M B C A D G 有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折 弦定理：如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF B ⊥于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE B ⊥交△B 的外接圆于E，连接E，则 ∠E＝ °． 【答】60°． 【分析】连接、、E，由已知条件，根据阿基米德折弦定理，可得到点E 为弧B

圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。 模型1 阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图1 所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则从M 向B 所作垂 线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M B C A D M B C A D F M B C A D G H M B C A D G 至F，使BF=B； 2）截长法：如图3，在D 上截取DG=DB； 3）垂线法：如图4，作M⊥射线B，垂足为。 例1．（2023·广东·统考一模）定义：圆中有公共端点的两条弦组成的折线称为圆的一条折弦．阿基米德折 弦定理：如图1，B 和B 组成圆的折弦，B＞B，M 是弧B 的中点，MF B ⊥于F，则F＝FB+B． 如图2，△B 中，∠B＝60°，B＝8，B＝6，D 是B 上一点，BD＝1，作DE B ⊥交△B

重难点12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理） 目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 顶点共圆 适用范围：双直角三角形共斜边 模型 连接、D 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 可得=B==D ∴点、B、、D 四点共圆 在⊙中，若弦B、D 相交于点P , 且P•DP=BP•P，则,B,,D 四点 共圆（相交弦定理的逆定理） 在△PB 和△PD 中 P•DP=BP•P ∠3=∠4 △PB∽△PD ∠1=∠2 ∴ ∴ 则、B、、D 四点共圆 在⊙中，若B、D 及三角形的外角性质等知识，本题综合性强，熟练掌握圆周角定理，证明四点共圆是解题的关键，属于中 考常考题型． 题型02 圆幂定理 【模型介绍】相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理 1 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 已知 图形 结论 证明过程 【基础】在⊙ 中，弦B、D 相 交于点P P•DP=BP•P 在△PB 和△PD 中 ∠1=∠2 （同弧所对圆周角相 等） ∠3=∠4

重难点突破12 与圆有关的6 种模型 （四点共圆、圆幂定理、垂径定理、定弦定角、定角定高、 阿基米德折弦定理）目 录 题型01 四点共圆 题型02 圆幂定理 题型03 垂径定理 题型04 定弦定角 题型05 定角定高模型（探照灯模型） 题型06 阿基米德折弦定理 题型01 四点共圆 1 四点共圆的判定 判定方法 图形 证明过程 若四个点到一个定点的距离相 等，则这四个点共圆（圆的定 顶点共圆 适用范围：双直角三角形共斜边 模型 连接、D 根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半 可得=B==D ∴点、B、、D 四点共圆 在⊙中，若弦B、D 相交于点P , 且P•DP=BP•P，则,B,,D 四点 共圆（相交弦定理的逆定理） 在△PB 和△PD 中 P•DP=BP•P ∠3=∠4 △PB∽△PD ∠1=∠2 ∴ ∴ 则、B、、D 四点共圆 在⊙中，若B、D BD交于点E，E为AC中点，若 BD=6，BE=4，则AC=¿ ． 题型02 圆幂定理 【模型介绍】相交弦定理、切割线定理和割线定理统称为圆幂定理 1 相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等 已知 图形 结论 证明过程 【基础】在⊙ 中，弦B、D 相 交于点P P•DP=BP•P 在△PB 和△PD 中 ∠1=∠2 （同弧所对圆周角相 等） ∠3=∠4