这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M

这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M

这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M

这类问题，因此最大视角 问题又称之为“米勒问题” 米勒问题： 已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题 M O N A B C 米勒定理： 已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形 B 的外圆与边M 相切于点时，∠B 最大 证明： 如图1，设’是边M

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 技法04 张角定理的应用及解题技巧 知识迁移 张角定理 sin β AB +sin α AC =sin(α+β) AD 例4-1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知 是 中 的角平分线，交 边于点 . （1）用正弦定理证明： ； （2）若 ， ， ，求 的长. 在解三角形中，应用张角定理能做到快速求解及其秒解，也是高考命题的高频考点，需重点学习. 先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD

题型13 6 类解三角形公式定理解题技巧 （海伦、射影、角平分线、张角、倍角、恒等式） 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 知识迁移 海伦-秦九韶公式 三角形的三边分别是a、b、c，则三角形的面积为 其中 ，这个公式就是海伦公式，为古希腊的几何学家海伦所发现并证明。 我国南宋的秦九韶也曾提出利用三角形三边求三角形面积的秦九韶公式: 技法01 海伦公式的应用及解题技巧 技法02 射影定理的应用及解题技巧 技法03 角平分线定理的应用及解题技巧 技法04 张角定理的应用及解题技巧 技法05 倍角定理的应用及解题技巧 技法06 10 类恒等式的应用及解题技巧 海伦-秦九韶公式能够解决已知三边的三角形的面积求解，是解三角形中必不可少的解题利器，也会作为材 料题在高考及模考中出现，需加以练习. 例1．（2022·浙江·统考高考真题）我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把 的角平分线，求AD 的长. 技法04 张角定理的应用及解题技巧 知识迁移 张角定理 sin β AB +sin α AC =sin(α+β) AD 例4-1．（内蒙古呼和浩特·统考一模）如图，已知 是 中 的角平分线，交 边于点 . （1）用正弦定理证明： ； （2）若 ， ， ，求 的长. 先用面积之和来证明张角定理，然后直接由张角定理求得AD 的长为 ． 例4-2．在 中

专题35 圆中的重要模型之定角定高模型、米勒最大角模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（米勒最大视角（张角）模型、定角定高（探照灯）模型）进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 近几年一些中考几何问题涉及了“最大视角”与“定角定高”模型，问题往往以动点为背景，与最值 相结合，综合性较强，解析难度较大，学生难以找到问题的切入点，不能合理构造辅助圆来求解。实际 中考压轴题的热点和难点，既可以与最值结合考查，也 可以与轨迹长结合考查，综合性较强、难度较大。 模型1 米勒最大张角（视角）模型 【模型解读】已知点，B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的动点，则当在何处时，∠B 最大？对米勒 问题在初中最值的考察过程中，也成为最大张角或最大视角问题。 米勒定理：已知点B 是∠M 的边上的两个定点，点是边M 上的一动点，则当且仅当三角形B 的外圆与边M ． 例4．（2023·陕西西安·校考模拟预测）足球射门时，在不考虑其他因素的条件下，射点到球门B 的张角越 大，射门越好．当张角达到最大值时，我们称该射点为最佳射门点．通过研究发现，如图1 所示，运动员 带球在直线D 上行进时，当存在一点Q，使得 （此时也有 ）时，恰好能使 球门B 的张角 达到最大值，故可以称点Q 为直线D 上的最佳射门点． (1)如图2 所示，B 为球门，当运动员带球沿D

置。 (1)同时闭合开关S1、S2，调节滑动变阻器滑片，使静电计指针有一定的张角，然后只向右 移动A 极板，则静电计指针的张角 ；若保持极板A、B 不动而只将滑动变阻器的滑 片向D 端移动，则静电计指针的张角 (均填“变大”“变小”或“不变) (2)在静电计指针有明显张角的情况下，将开关S2断开，通过移动极板A 或在极板A、B 间 插入电介质，下列说法正确的是 (填正确答案标号)。 A.断开开关S2后，静电计的指针闭合，电容器的电容变为0 B.只将电容器A 极板向上平移，静电计指针的张角变小 C.只在极板A、B 间插入有机玻璃板，静电计指针的张角变小 D.只将电容器A 极板向B 极板靠近，静电计指针的张角变小，表明电容增大 15.(8 分) 某同学欲测量一段金属丝R.的电阻率，待测金属丝粗细均匀，阻值约为100Ω。 备选器材如下：

板和静电计外壳同时接地，对电容器充电， 使静电计指针张开一个角度，撤去电源后，以下说法正确的是（ ） A．仅增大两板间的距离，静电计指针张角变小 B．仅将玻璃板插入两板之间，静电计指针张角变小 C．仅将M 板稍微上移，静电计指针张角变大 D．仅在M、N 之间插入金属板，且不和M、N 接触，静电计指针张角变大 10．用两个相同的小量程电流表G，分别改装成了两个量程不同的大量程电流表 、 ，若 量程大于 ，将 、 解析：静电计的原理是电势差 变大（小）时，指针张角变大（小）。由公式 知，当 变 大时， 变小，再由 得 变大，指针张角变大，A 错误；当插入玻璃板时，相对介电常数 增大， 则 变大， 变小，指针张角变小，B 正确；当 板上移时，极板正对面积 变小，则 变小， 变大， 指针张角变大，C 正确；仅在 之间插入金属板，板间距离减小，则电容 增大，板间电压 减小， 静电计指针张角变小，D 错误。 10．BD

极板不动，将N 极板往下移动一小段距离，油滴保 持 静止，静电计张角变大 B．M 极板不动，将N 极板往右移动一小段距离，油滴向 上 运动，静电计张角不变 C．N 极板不动，将M 极板往左移动一小段距离， 点的电 势增大，静电计张角变大 D．N 极板不动，将M 极板往下移动一小段距离， 点的电势增大，静电计张角变小 第II 卷（非选择题） 三、解答题（38 分） 13.（16 变小，极板所带电荷量Q 不变，由 可知，U 变大，静电计 测量的是两极板间电势差，故张角变大，极板间场强为 故场强与d 无关，保持不变，油滴所受电场力不变， 仍处于平衡状态，A 正确；B．M 极板不动，将N 极板往右移动一小段距 离，S 变小，结合A 解析中的表达式可知，C 变小，U 变大，E 变大，故 油滴向上运动，静电计张角变大，B 错误；C．N 极板不动，将M 极板往 左移动一小段距离，S 变小，可知C 变小，可知C 变小，U 变大，E 变大，P 点的电势 等于P 到N 极板的电势差，即 由于 不变，故 点的电势 增大，静电计张角变大，C 正确；D．N 极板不动，将M 极板往下移 动一小段距离，d 变小，结合AC 的解析可知C 变大，U 变小，E 不变， 故 点的电势不变，静电计张角变小，D 错误。故选AC。 13．（1）1×10-9 F；（2）2×103 V/m；（3）-20 V；（4）-4.8×10-7