正方形内部，M⊥EF，则M=EF ★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 ★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等 模型介绍 例题精讲 考点一、正方形中的十字模型 【例1】．如图，正方形BD 中，点E，F 分别在边D，D 上，BE⊥F 于点G，若B＝4，F ＝1，则GF 的长为_______ 解：∵正方形BD 的边B＝4， ∴B＝D＝D＝4，∠BE＝∠DF＝90°， 中，由勾股定理可得： 2+E2＝E2， 即82+（x+3）2＝（x+5）2， 解得：x＝12， ∴D＝12，D＝B＝BE+E＝5+x+3＝20， ∴＝ ＝ ＝4 ， 故答为：4 ． 考点二：矩形中的十字模型 【例2】．如图，在矩形BD 中，点E 是边B 上一点，将△BE 沿E 折叠，使点B 落在D 边 上的点F 处，连接BF．已知D＝5，B＝3，求折痕E 的长． 解：由翻折的性质可知，BE＝EF，B＝F＝D＝5，

正方形内部，M⊥EF，则M=EF ★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 ★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等 模型介绍 例题精讲 考点一、正方形中的十字模型 【例1】．如图，正方形BD 中，点E，F 分别在边D，D 上，BE⊥F 于点G，若B＝4，F ＝1，则GF 的长为_______ 解：∵正方形BD 的边B＝4， ∴B＝D＝D＝4，∠BE＝∠DF＝90°， 中，由勾股定理可得： 2+E2＝E2， 即82+（x+3）2＝（x+5）2， 解得：x＝12， ∴D＝12，D＝B＝BE+E＝5+x+3＝20， ∴＝ ＝ ＝4 ， 故答为：4 ． 考点二：矩形中的十字模型 【例2】．如图，在矩形BD 中，点E 是边B 上一点，将△BE 沿E 折叠，使点B 落在D 边 上的点F 处，连接BF．已知D＝5，B＝3，求折痕E 的长． 解：由翻折的性质可知，BE＝EF，B＝F＝D＝5，

正方形内部，M⊥EF，则M=EF ★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 ★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等 模型介绍 例题精讲 考点一、正方形中的十字模型 【例1】．如图，正方形BD 中，点E，F 分别在边D，D 上，BE⊥F 于点G，若B＝4，F ＝1，则GF 的长为_______ 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，点E 是边B 上的一点，点F 在边D 的延长线上， 且BE＝DF，连接EF 交边D 于点G．过点作⊥EF，垂足为点M，交边D 于点．若BE＝ 5，＝8，则线段的长为 ． 考点二：矩形中的十字模型 【例2】．如图，在矩形BD 中，点E 是边B 上一点，将△BE 沿E 折叠，使点B 落在D 边 上的点F 处，连接BF．已知D＝5，B＝3，求折痕E 的长． 变式训练 【变式2-1】．如图，把边长为

正方形内部，M⊥EF，则M=EF ★模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 ★点拨：无论怎么变，只要垂直，十字架就相等 模型介绍 例题精讲 考点一、正方形中的十字模型 【例1】．如图，正方形BD 中，点E，F 分别在边D，D 上，BE⊥F 于点G，若B＝4，F ＝1，则GF 的长为_______ 变式训练 【变式1-1】．如图，在正方形BD 中，点E 是边B 上的一点，点F 在边D 的延长线上， 且BE＝DF，连接EF 交边D 于点G．过点作⊥EF，垂足为点M，交边D 于点．若BE＝ 5，＝8，则线段的长为 ． 考点二：矩形中的十字模型 【例2】．如图，在矩形BD 中，点E 是边B 上一点，将△BE 沿E 折叠，使点B 落在D 边 上的点F 处，连接BF．已知D＝5，B＝3，求折痕E 的长． 变式训练 【变式2-1】．如图，把边长为

热点素材：20 个八字短句+10 个十字短句 八字短句 1.当为秋霜，无为槛羊。——范晔《后汉书·广陵思王荆传》 适用主题：独立自主、有主见等 示例：屈原“鸷鸟不群兮”，举世皆浊而独清，不做乱世洪荒的柳絮；鲁迅“猛兽独行”，以清醒之 光照亮蒙昧国人。正如《后汉书》所言，“当为秋霜，无为槛羊”，即使个人命运被时代洪流所裹挟，也 要有勇于冲破枷锁，行走自己的人生之路。 2.鸢飞戾天，鱼跃于渊。——《诗•大雅•旱麓》 族浩浩荡荡的历史画卷，我们可以窥探到数不胜数的 璀璨明星。洒脱不羁者如嵇康，乐观旷达者如苏轼，浪漫奔放者如李太白，婉约含蓄者如柳三变……他们 怀瑾握瑜，风禾尽起，足以让代代华夏子民观瞻仰望。 十字短句 1、人生如逆旅，我亦是行人。——苏轼 注释：人生就是一座旅舍，你我都是匆匆过客，（又何必在乎得失）。 适用主题：豁达、乐观等 示例：人生如逆旅，我亦是行人。来人间一趟，纵使满目黑暗，也要找到心里的太阳。江梦南自幼失

老子做人十字诀： “德”字诀：若能甘苦如饴，宅心仁厚，功德常修，正心抱一，自能反朴还 真，明心见性。 “养”字诀：少言语以养内气，寡色欲以养精气，薄滋味以养血气，咽津液 以养脏气，戒嗔怒以养肝气，节饮食以养胃气，匀胎息以养肺气，少思虑以 养肾气，慎行藏以养神气。 “心”字诀：心涵动静，心不动则虚极静笃，明心见性，人我两忘，心无其 心，无正其心，不为名动心，无心可动则近道矣。 “善”

专题18 全等与相似模型之十字模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几 何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生 更好地理解和掌握。 模型1 正方形的十字架模型（全等模型） “十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角 及一组全等的三角形。 中，若E、F、G 分别是B、D、B 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 3）如图3，在正方形BD 中，若E、F、G、分别是B、D、B、D 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 例1．（22·23 下·广东·课时练习）如图，将一边长为12 的正方形纸片 的顶点折叠至 边上的点 E，使 ，若折痕为 ，则 的长为（ ） ．13 B．14 【点睛】本题考查正方形的性质、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角 形面积与正方形面积的计算等知识，熟练掌握正方形的性质，通过作辅助线构建平行四边形是解题的关 键． 模型2 矩形的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关 系。

专题18 全等与相似模型之十字模型 几何学是数学的一个重要分支，研究的是形状、大小和相对位置等几何对象的性质和变换。在初中几 何学中，十字模型就是综合了上述知识的一个重要模型。 本专题就十字模型相关的考点作梳理，帮助学生 更好地理解和掌握。 模型1 正方形的十字架模型（全等模型） “十字形”模型，基本特征是在正方形中构成了一个互相重直的 “十字形”，由此产生了两组相等的锐角 及一组全等的三角形。 中，若E、F、G 分别是B、D、B 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 3）如图3，在正方形BD 中，若E、F、G、分别是B、D、B、D 上的点，E⊥GF；则 E=GF。 模型巧记：正方形内十字架模型，垂直一定相等，相等不一定垂直 例1．（22·23 下·广东·课时练习）如图，将一边长为12 的正方形纸片 的顶点折叠至 边上的点 E，使 ，若折痕为 ，则 的长为（ ） ．13 B．14 中，点E，F 分别在B，D 上， ，BF，E 相交于点G．若 ，图中阴影部分的面积与正方形BD 的面积之比为2：3，则 的面积为______， 的周长为_____ _． 模型2 矩形的十字架模型（相似模型） 矩形的十字架模型：矩形相对两边上的任意两点联结的线段是互相垂直的，此时这两条线段的的比等于矩 形的两边之比。通过平移线段构造基本图形，再借助相似三角形和平行四边的性质求得线段间的比例关 系。

平行四边形 模型（三十）——十字架模型 ◎结论1：正方形内部，E⊥BF，则 E=BF, BE BF △ ≌△ BF ME BE MF Q △ ≌△ △ ≌△ ∠＝∠PK，△PK Q ≌△ 相等未必垂直 过点作P⊥D 与P，作关于P 对称点Q,虽然＝K，但Q≠K 1．（2021·全国·八年级课时练习）如图，将一边长为12

平行四边形 模型（三十）——十字架模型 ◎结论1：正方形内部，E⊥BF，则 E=BF, BE BF △ ≌△ BF ME BE MF Q △ ≌△ △ ≌△ ∠＝∠PK，△PK Q ≌△ 相等未必垂直 过点作P⊥D 与P，作关于P 对称点Q,虽然＝K，但Q≠K 1．（2021·全国·八年级课时练习）如图，将一边长为12