专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。 模型1 阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图1 所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则从M 向B 所作垂 线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M B C A D M B C A D F M B C A D G H M B C A D G 一个圆中一条由两长度不同的弦组成 的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点． 如图1，B 和B 是 的两条弦（即B 是圆的一条折弦）， ．M 是弧 的中点，则从M 向 所作垂线之垂足D 是折弦 的中点，即 ． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从点截取一段线段 ，连接 ． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M 作 于点，连接 任务：(1)请你从小明和

专题34 圆中的重要模型之阿基米德折弦（定理）模型、 婆罗摩笈多（定理）模型 圆在中考数学几何模块中占据着重要地位，也是学生必须掌握的一块内容，本专题就圆形中的重要模 型（阿基米德折弦（定理）模型、婆罗摩笈多（布拉美古塔）（定理）模型）进行梳理及对应试题分析， 方便掌握。 模型1 阿基米德折弦模型 【模型解读】折弦:从圆周上任一点出发的两条弦，所组成的折线，我们称之为该图的一条折弦。 一个圆中一条由两长度不同的弦组成的折弦所对的两段弧的中点在较长弦上的射影，就是折弦的中点。 如图1 所示，B 和B 是⊙的两条弦(即B 是圆的一条折弦)，B>B，M 是 的中点，则从M 向B 所作垂 线之垂足D 是折弦B 的中点，即D=B+BD。 M B C A D M B C A D F M B C A D G H M B C A D G 所作垂线之垂足D 是折弦 的中点，即 ． 小明认为可以利用“截长法”，如图2：在线段 上从点截取一段线段 ，连接 ． 小丽认为可以利用“垂线法”，如图3：过点M 作 于点，连接 任务：(1)请你从小明和小丽的方法中任选一种证明思路，继续书写出证明过程， (2)就图3 证明： ． 模型2 婆罗摩笈多（定理）模型 【模型解读】婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家。 婆罗摩笈

专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598 年 ~ 660 年。他编著了 《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四 边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、 日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的 地位，比如负数。以他命名的 婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈 多”模型。 .................................................................................................................................. ...............2 模型1“婆罗摩笈多”模型..............................................................................................................................2 .........................................

专题16 全等三角形模型之婆罗摩笈多模型 婆罗摩笈多（Brmgupt）是七世纪时的印度数学家，在世时间约是公元 598 年 ~ 660 年。他编著了 《婆罗摩修正体系》《肯达克迪迦》。《婆罗摩修正体系》中有关数学的部分涉及到有关三角形、四 边形、零、负数、一阶和二阶方程的研究，《肯达克迪迦》则是天文方面的著作，研究了关于月食、 日食、行星的合等问题。他提出的一些概念在世界数学史上也有很高的地位，比如负数。以他命名的 地位，比如负数。以他命名的 婆罗摩笈多定理又称“布拉美古塔”定理。本专题我们讲的就是由婆罗摩笈多定理演化而来的“婆罗摩笈 多”模型。 .................................................................................................................................. ...............2 模型1“婆罗摩笈多”模型..............................................................................................................................2 .........................................

轴对称 模型（二十）——婆罗摩笈多模型 一、垂直 中点 【结论1】如图，△B 和△DBE 是等腰直角三角形，M 经过点B， 若M⊥E，则①点是D 的中点，②SΔCBE＝SΔ ABD，③E＝2B 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过作P⊥M，垂足为P，过D 作DQ⊥M 交M 的延长线于Q， 易证：△BP △BM,P ≌ ＝BM ＋∠3＝90° ∠DQP ∴ ＝90° ②如图，由①知SΔCBE＝SΔCBP＋SΔ EBP＝SΔ EMP＋SΔ EBP＝SΔ MEB＝SΔ ABD,得证 ③如图，由①知D＝MB＝2BP，得证。 婆罗摩笈多定理： 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个定理有 另一个名称，叫做“布拉美古塔定理 ” （又译《卜拉美古塔定理”）。

轴对称 模型（二十）——婆罗摩笈多模型 一、垂直 中点 【结论1】如图，△B 和△DBE 是等腰直角三角形，M 经过点B， 若M⊥E，则①点是D 的中点，②SΔCBE＝SΔ ABD，③E＝2B 【证明】如图，（知垂直得中点，一线三垂直） 过作P⊥M，垂足为P，过D 作DQ⊥M 交M 的延长线于Q， 易证：△BP △BM,P ≌ ＝BM ＋∠3＝90° ∠DQP ∴ ＝90° ②如图，由①知SΔCBE＝SΔCBP＋SΔ EBP＝SΔ EMP＋SΔ EBP＝SΔ MEB＝SΔ ABD,得证 ③如图，由①知D＝MB＝2BP，得证。 婆罗摩笈多定理： 若圆内接四边形的对角线相互垂直，则垂直于一边且过对角线交点的直线将平分对边。这个 定理有另一个名称，叫做“布拉美古塔定理 ” （又译“卜拉美古塔定理”）。

不系之舟 《庄子·列御寇》有云：“巧者劳而智者忧，无能者无所求，饱食而遨 游，泛若不系之舟，虚而遨游者也。” 不系之舟，意思是说逍遥自在的人生，如同随水流浮泛的小舟，无拘 无束。 庄子认为，真正的大德之人，顺应环境与自然，通晓世事天理，不为 结果所羁绊，尽人事而听天命。现代社会处处充满竞争，充满诱惑， 很多人因为得不到自己想要的结果，患得患失，压抑苦闷。实际上， 过多的欲望,是一切

不淫之度 《庄子·达生》有云:“彼将处乎不淫之度，而藏乎无端之纪。” 不淫之度，意思是说做事情有个恰如其分的度，举止有度，进退有度 不要过度。 吉藏凶，凶藏吉，人生贵适宜。为事业要努力，但不能无节制牺牲健 康。为感情，要真心付出，但不能丢掉自尊。水满则溢，物极必反， 凡事超过一定的度，往往得不偿失。人生适度，方能坦然。

2025 年广东省揭阳市揭西县河婆街道人教PEP 版小学一年级数学下 学期期末考试卷含答案 一、单项选择题（共10 题，每题2 分） 1. 6 + 4 = ? A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 2. 数字10 写作： A. 十 B. 一十 C. 十零 D. 零十 3. 从1 数到10，缺少的数字是：1,2,3,_,5,6,7,8,9,10 A. 3 B

满分作文：《做**的主人》《掌控自我》《以开放包容之精神 奏时代发展 之凯歌》 做自己的主人 我们是幸运的，生在这个最好的时代。过去人们常说：一寸光阴一寸金，寸金难买寸光阴。也有人常 常感慨：我赢得了所有，唯一赢不过时间，因为时间永远不可能重来。而这个美好的时代，帮助我们停格 生命最美好的瞬间，助力我们最大限度地利用生命有限的时间，去干出最有意义的事情，实现生命最美好 的梦想。随身 形中成为了我们精神的“鸦片”， 我们有限的生命被它一点点榨取，失去了应有的光华，变得宛若“行尸”。李子柒利用它，向世界传播了 中国文化；樊登利用它，教会了人们怎样热爱阅读；丁真利用它，宣传了家乡之美，带动更多的人热爱家 乡、建设家乡……科技不应是我们的主人，它应是我们通向价值之门的骏马。生命只有一次，不为外物所 左右，做自己的主人。时代如何发展，科技如何进步，我们逝去的每分每秒，只能定格，不能重来，因而， 武装我们自己，对自己，对家庭，对社会，对祖国， 做出我们应有的贡献。 掌控自我，才能善用世界 善用技术的人能更好地掌控时间，被技术支配的人则被时间奴役和掌控。造成这种被技术支配、丧失 对时间之把握的现象，恐怕端在对自我的掌控不足。因此我建议，要不断强化自我修为。因为掌控自我， 才能善用世界。《庄子》说，要“物物而不物于物”。我想，用物、役物而不为物役使，靠的是清醒的自 我认识和自我掌控