费马点中三线段模型与最值问题 【专题说明】 费马点”是指位于三角形内且到三角形三个顶点距高之和最短的点。 主要分为两种情况： （1）当三角形三个内角都小于120°的三角形，通常将某三角形绕点旋转60 度，从而将“不等三爪 图”中三条线段转化在同一条直线上，利用两点之间线段最短解决问题。 （2）当三角形有一个内角大于120°时，费马点就是此内角的顶点 费马点问题解题的核心技巧： 旋转60°

重难点突破06 相交线与平行线的5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 题型01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 已知 图示 结论（性质） 直线B、D 被直线EF 所截，且B 与D

重难点突破06 相交线与平行线的5 种模型 （三线八角、铅笔头、锯齿型、翘脚、三角板拼接模型） 目 录 题型01 三线八角模型 题型02 铅笔头模型 题型03 锯齿型模型 题型04 翘脚模型 题型05 三角板拼接模型 题型01 三线八角模型 模型介绍：三条直线相交组成八个角，去讨论它们之间的关系 已知 图示 结论（性质） 直线B、D 被直线EF 所截，且B 与D

压轴题当中，我们不妨称之为“中 点模型”，它往往涉及到平分、平行、垂直等问题，因此探寻这类问题的解题规律对初中几何的学习有着 十分重要的意义。 常见的中点模型：①垂直平分线模型；②等腰三角形“三线合一”模型；③“平行线+中点”构造全 等或相似模型（与倍长中线法类似）；④直角三角形斜边中点模型；⑤中位线模型；⑥中点四边形模型。 本专题就中点模型的后三类模型进行梳理及对应试题分析，方便掌握。 质，勾股 定理的逆定理，三角形内角和定理，三角形外角的性质，角平分线的性质，全等三角形的判定与性质，等 腰三角形的判定与性质是解题的关键． 模型2：等腰三角形的“三线合一” 定理：等腰三角形底边中线、高线、顶角平分线“三线合一”。 如图，等腰三角形B 中，B=，D 为B 边上的中点，则∠BD =∠D，D⊥B， BD=D。 模型运用条件：等腰三角形中有底边上的中点时，常作底边的中线。 ， ∴ ，（等腰三角形“三线合一”）故选项B，，D 正确，故选：． 【点睛】本题考查了线段的垂直平分线的性质，等腰三角形“三线合一”性质，正确掌握线段垂直平分线 的性质是解题关键． 例2．（2023·山东济宁·统考二模）如图， 中， ， 平分 ，点E 是 的中点．若 ， ，则 的长是（ ） ． B． ． D．7 【答】 【分析】先由三线合一定理得到 ，再由勾股定理求出

大写字母的书写规格是：上不顶天下立地。即笔画的上端稍离第一线，笔画的下端必须 紧贴第三线，不许离线也不许出格。 2 小写字母，，e，m，，，r，s，u，v，，x，z 写在中间的一格里，上下抵线，但都不出 格。 3 占一格、二格的小写字母有b, d, , k, l 共5 个，它们笔画的上端必须顶第一线，下端必须 顶第三线，不许离线也不许出格。 4 小写字母和的点、f 和t 的上端都在第一格中间，f

30. “♮” 还原记号 可取消之前的升降号效果。（） 四、简答题（共4 题，每题5 分） 31. 在五线谱高音谱表上画出以下音符位置： - 中央C（C4） - 第三线B4 - 上加二间G5 32. 写出下列音符的时值（以四分音符为1 拍）： - 附点二分音符：______拍 - 十六分音符：______拍 - 附点八分音符：______拍 30 √ ： 31： - 中央C：下加一线 - B4：第三线 - G5：上加二间 32： - 附点二分音符：3 拍 - 十六分音符：0.25 拍 - 附点八分音符：0.75 拍 33： - sol：第二线 - la：第二间 - ti：第三线 34： - ①准确掌握节奏与节拍 - ②理解音乐结构中的时间分配

量发展ꎬ漳 州市政府印发了« 漳州市“ 三线一单” 生态环境分区管控方案» ( 以下简称« 管控方 案» )ꎮ 材料一 «管控方案» 以习近平新时代中国特色社会主义思想为指导ꎬ深入践行习近 平生态文明思想ꎬ结合本市实际情况ꎬ坚持生态优先、绿色发展ꎬ以保障生态安全、持续改 善环境质量为基本出发点ꎬ以减污降碳、协同增效为着力点ꎬ建立覆盖全市的“三线一单” 生态环境分区管控体系ꎮ加快形成节 生态环境分区管控体系ꎮ加快形成节约资源和保护环境的空间格局ꎬ提升生态环境治理体系 和治理能力现代化水平ꎬ推动经济高素质和生态高颜值互促共进发展ꎬ为谱写富美新漳州建 设新篇章奠定坚实的生态环境基础ꎮ 材料二 漳州市政府就«漳州市“三线一单” 生态环境分区管控方案» 印发了解读文 件ꎬ内容如下: «管控方案» 要求根据生态环境特征、自然资源禀赋和经济社会发展实际ꎬ 聚焦生态环境问题和质量改善目标ꎻ全市划定环境管控单元２４７个ꎬ其中陆域１４９个ꎬ海域 环境管理效能ꎬ实施动态更新调整ꎬ建立定期调整与动态更新相结合的机制ꎻ加强宣传培 训ꎬ各县(区) 政府ꎬ要结合地方管理需求与工作推进情况ꎬ开展广泛宣传和培训ꎬ推广 “三线一单” 应用经验ꎬ推动生态环境分区管控体系不断完善ꎮ (注: “三线一单” 指生态保护红线、环境质量底线、资源利用上线和环境管控单元划分) (１) 结合材料一ꎬ运用物质和意识辩证关系的知识ꎬ分析«管控方案» 出台的原因ꎮ (８分)

上，连接 ，使 ，若 ， ， ，求四边形 的面积． 模型2 角平分线垂中间（角平分线+内垂直） 角平分线垂中间模型是可以看作是等腰三角形“三线合一”的逆用，也可以得到两个全等的直角三角形， 进而得到对应边、对应角相等，这个模型巧妙的把三线合一和角平分线联系在一起。但同学们也需要注意， 在解答题中使用时不能利用角平分线+中线得高线，也不能利用角平分线+高线得中线。一定要通过证明全 等 条件：如图1， 为 的角平分线， ， 结论：△≌△B， 是等腰三角形， 是三线合一等。 证明：∵ 为 的角平分线，∴∠=∠B， ∵ ，∠B=∠=90°，∵ ，∴△≌△B（S）， ∴ ，∴ 是等腰三角形，∵ ，∴ 是三线合一。 条件：如图2， 为 的角平分线， ，延长B，E 交于点F 结论：△BE △ ≌BEF， 是等腰三角形、BE 是三线合一等。 证明：同图1 的证法， 例1．（23-24 八年级下·安徽马鞍山·期末）如图， 的长． 18．（23-24 八年级上·江苏无锡·期中）【情境建模】（1）苏科版材八年级上册第60 页，研究了等腰三角 形的轴对称性，我们知道“等腰三角形底边上的高线、中线和顶角平分线重合”，简称“三线合一”． 小明尝试着逆向思考：若三角形一个角的平分线与这个角对边上的高重合，则这个三角形是等腰三角形． 即如图1，已知，点D 在 的边 上， 平分 ，且 ，求证： ．请你帮助 小明完成

开了一场以备战为 主要目的的大规模经济建设——三线建设。三线建设主要通过两种方式：一是建，二是迁。 一方面国家资金大量投入三线地区，在内地建设大型的钢铁、煤炭、水电、机械等工业基 地，并修筑成昆、川黔等重要交通干线；另一方面则是将东部地区的工厂企业，科研单位 等以“一分为二”或者全迁的方式，或并入内地既有企业，或另建新厂。 ——摘编自徐有威等《三线建设对中国工业经济及城市化的影响》 材料三 2023 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （北京）股份有限公司 （1）根据材料一并结合所学知识，指出新中国成立初期为巩固人民政权所采取的措施。 （4 分） （2）根据材料二，概括三线建设的特点。结合所学知识，分析三线建设的历史意义。（5 分） （3）结合所学知识，把特刊信息补充完整，并用一句话概括改革开放与中国命运的关系。 请为特刊新增一个版块。（要求：有概括性的版块名称及两条相关内容）（6 分）

页内容，思考并且完成下列活动： 活动1：请同学们阅读课本“光的反射定律”，回答下面的问题： （1）什么是光的反射？ （2）光在反射时遵守什么规律？ （3）用激光笔发出一束光线射在平面镜上，尝试观察一点、两角、三线。 （4）什么是光路可逆？ 活动2：请同学们阅读课本“镜面反射和漫反射”，并回答下面的问题： （1）什么是镜面反射和漫反射？ （2）镜面反射和漫反射的异同？ （二）基础梳理 42 光的反射 于反射面 的直线（虚线）。 （5）入射角（∠2）：入射光线与 的夹 角。 （6）反射角（∠3）： 光线与法线的夹角。 二、光的反射定律 1 反射定律： （1）三线共面：反射光线与入射光线、法线在 上。 （2）两线异侧：反射光线和入射光线分居于 的两侧。 （3）角等：反射角 入射角。 2 在光的反射过程中光路是 【加油站2】 2 对定律的理解： （1）叙述定律时，一定 要把“反射的”说在“入 射的”前面，不能颠倒。 （2）反射角随着入射角 的增大而增大，减小而减 小。 （3）当光线垂直镜面入 射时，三线合一，两角为 0。 （1）定义：射到反射面上的平行光反射后射向 的方向。 （2）条件：反射面凹凸不平。 （3）应用：能从各个方向看到本身不发光的物体，是由于光射到物体上发生 漫反射的缘故。