3 万有引力理论的成就 [学习目标] 1.了解万有引力定律在天文学上的重要应用.2.了解“称量”地球质量、计算太阳质量的基本 思路，会用万有引力定律计算天体的质量.3.理解运用万有引力定律处理天体运动问题的思路 和方法. 一、“称量”地球的质量 1.思路：地球表面的物体，若不考虑地球自转的影响，物体的重力等于地球对物体的引力. 2.关系式：mg＝G . 3.结果：m 地＝，只要知道g、R、G 的行星绕太阳做匀速圆周运动时，行星与太阳间的万有引力充当向心力. 2.关系式：＝mr. 3.结论：m 太＝，只要再知道引力常量G，行星绕太阳运动的周期T 和轨道半径r 就可以计算 出太阳的质量. 4.推广：若已知引力常量G，卫星绕行星运动的周期和卫星与行星之间的距离，可计算出行 星的质量. 三、发现未知天体 1.海王星的发现：英国剑桥大学的学生亚当斯和法国年轻的天文学家勒维耶根据天王星的观 测资料，利用万有引力定律计算出天王星外“新”行星的轨道 (1)地球表面的物体的重力必然等于地球对它的万有引力.( × ) (2)若知道某行星的自转周期和行星绕太阳做圆周运动的轨道半径，则可以求出太阳的质量.( × ) (3)已知地球绕太阳转动的周期和轨道半径，可以求出地球的质量.( × ) (4)海王星的发现表明了万有引力理论在太阳系内的正确性.( √ ) (5)海王星的发现和彗星的“按时回归”确立了万有引力定律的地位.( √ ) 2.已知引力常量G＝6

2 万有引力定律 [学习目标] 1.知道太阳对行星的引力提供了行星做圆周运动的向心力，能利用开普勒第三定律、牛顿运 动定律推导出太阳与行星之间引力的表达式.2.了解月—地检验的内容和作用.3.理解万有引 力定律内容、含义及适用条件.4.认识引力常量测定的重要意义，能应用万有引力定律解决实 际问题. 一、行星与太阳间的引力 行星绕太阳的运动可看作匀速圆周运动.设行星的质量为m，速度为v，行星到太阳的距离为 ，遵从相 同的规律. 三、万有引力定律 1.内容：自然界中任何两个物体都相互吸引，引力的方向在它们的连线上，引力的大小与物 体的质量 m 1 和 m 2 的乘积成正比，与它们之间距离 r 的二次方 成反比. 2.表达式：F ＝ G ， 其中G 叫作引力常量. 四、引力常量 牛顿得出了万有引力与物体质量及它们之间距离的关系，但没有测出引力常量G × 10 － 11 N·m2/kg2. 1.判断下列说法的正误. (1)万有引力不仅存在于天体之间，也存在于普通物体之间.( √ ) (2)牛顿发现了万有引力定律，并测出了引力常量.( × ) (3)质量一定的两个物体，若距离无限小，它们间的万有引力趋于无限大.( × ) (4)把物体放在地球中心处，物体受到的引力无穷大.( × ) (5)由于太阳质量大，太阳对行星的引力大于行星对太阳的引力

卡文迪许用实验测出了万有引力常量G 的数值，验证了万有引力定律 D. 亚当斯和勒维耶各自独立利用万有引力定律计算出海王星的轨道 【答案】A 【解析】 【详解】A．托勒密提出了“地心说”，哥白尼提出“日心说”，故A 错误，符合题意； B．第谷坚持对行星进行20 余年的系统观测，而开普勒通过研究第谷的观测数据，最终发现有关行星运动 的三大定律，故B 正确，不符合题意； C．牛顿提出了万有引力定律，将 C．牛顿提出了万有引力定律，将地面上和天上物体的运动统一起来，奠定了天体力学的基础，卡文迪许 用实验测出了万有引力常量G 的数值，验证了万有引力定律，故C 正确，不符合题意； D．亚当斯和勒维耶各自独立利用万有引力定律计算出海王星的轨道，属于万有引力定律的应用，故D 正 确，不符合题意。 故选A。 2. 已知中国天宫空间站的圆形轨道距地球表面高度为400~450 公里，下列说法正确的是（ ） A. 航天员在空间站内均处于平衡状态 航天员在空间站内所受重力为零 C. 天宫空间站相对地球表面是静止的 D. 天宫空间站在轨运行的速度小于地球第一宇宙速度 【答案】D 【解析】 【详解】AB．航天员在空间站内仍受到万有引力，即重力，此时万有引力提供向心力，处于失重状态，故 AB 错误； C．空间站轨道半径小于同步卫星轨道半径，根据开普勒第三定律可知，空间站周期小于同步卫星周期， 所以不会相对地球表面静止，故C 错误； D．根据

力作用),万有引力不再等于向心力，卫星 将变轨运行: (1)当卫星的速度突然增大时， G Mm r2 万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离 原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v=√ GM r 可知其运行速度比原轨道时 减小. (2)当卫星的速度突然减小时， G Mm r2 >m v2 r ;即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱 球都较远，因此其它星球对它们的万 有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这 种结构叫做双星。 [特点] (1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm1m2 L2 =m1ω 12r1 ， Gm1m2 L2 =m2ω 22r2 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L (5)双星的运动周期 T=2π√ L3 G (m1+m2) (6)双星的总质量公式 m1+m2= 4 π2 L3 T 2G △双星系统问题的误区 (1)不能区分星体间距与轨道半径:万有引力定律中的r 为两星体间距离，向心力公式中的r 为所研究星球 做圆周运动的轨道半径. (2)找不准物理现象的对应规律. 【模型训练】 【例1】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的

行星带，发射速度应大于地球的第二宇宙速度，故A 错 误； B．根据万有引力提供向心力，可得 解得 显然，各小行星绕太阳运动的轨道半径大于地球绕太阳运行的轨道半径，所以周期均大于一年，故B 错误； D．根据万有引力提供向心力，可得 解得 显然，不在同一轨道上的小行星的角速度是不同的，故D 错误； C．根据万有引力提供向心力，可得 解得 显然，小行星带内侧小行星的轨道半径小于外侧小 B. 地球的向心力变为缩小前的一半 C. 地球绕太阳公转周期变为缩小前的一半 D. 地球绕太阳公转周期与缩小前的相同 【4 题答案】 【答案】D 【解析】 【详解】地球绕太阳做圆周运动，万有引力做向心力，故有 由于天体直径缩小到原来的 一半，故天体质量为 故天体质量缩小到原来的 ， 地球的向心力为 地球做圆周运动的周期为 天体直径和天体之间距离都缩小到原来的一半后运动周期为 正确。 故选B。 6. 假设未来某一天科技水平足够高，人们能够在地球赤道上建一座高度等于地球同步卫星轨道高度（约 36000 km）的房子，在这座房子的某一层住户对地板的压力等于其在该楼层所受地球万有引力的 ，已知 地球半径约为6400 km，则该楼层离地面的高度大概为（ ） A. 6400 km B. 21200 km C. 18000 km D. 14800 km 【6 题答案】 【答案】D

英国物理学家卡文迪什在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G 的数值 C.20 世纪初建立的量子力学理论，使人们认识到经典力学理论一般不适用于微观粒子的运 动 D.开普勒行星运动定律是开普勒在第谷留下的观测记录的基础上整理和研究出来的 答案 A 解析 牛顿发现万有引力定律，于1687 年发表在其传世之作《自然哲学的数学原理》中， 英国物理学家卡文迪什在实验室里通过几个铅球之间万有引力的测量，得出了引力常量G 在探测器“奔 向”月球的过程中，用h 表示探测器与地球表面的距离，F 表示它所受的地球引力，能够描 述F 随h 变化关系的图像是( ) 答案 D 解析 在嫦娥四号探测器“奔向”月球的过程中，根据万有引力定律，可知随着h 的增大， 探测器所受的地球引力逐渐减小但并不是均匀减小的，故能够描述F 随h 变化关系的图像是 D. 3.(2019·中央民大附中芒市国际学校高一期末)某行星绕太阳运动的轨道如图1 火，由此可以判定( ) A.a 金>a 地>a 火 B.a 火>a 地>a 金 C.v 地>v 火>v 金 D.v 火>v 地>v 金 答案 A 解析 金星、地球和火星绕太阳公转时万有引力提供向心力，则有G＝man，解得an＝G， 由于R 金a 地>a 火，选项A 正确，B 错误；同理有G＝m，解得v＝，由R 金v 地>v

(1)稳定运行 卫星绕天体稳定运行时，万有引力提供了卫星做圆周运动的向心力，即G＝m. (2)变轨运行 卫星变轨时，先是线速度大小v 发生变化导致需要的向心力发生变化，进而使轨道半径r 发 生变化. ①当卫星减速时，卫星所需的向心力F 向＝m 减小，万有引力大于所需的向心力，卫星将做 近心运动，向低轨道变轨. ②当卫星加速时，卫星所需的向心力F 向＝m 增大，万有引力不足以提供卫星所需的向心力， 的速度，A 正确；从轨道Ⅰ的A 点进入轨道Ⅱ需减速，使万有引力大于所需要的向心力，做 近心运动，所以在轨道Ⅱ上经过A 的速度小于在轨道Ⅰ上经过A 的速度，B 正确；根据开普 勒第三定律＝k，椭圆轨道的半长轴小于圆轨道的半径，所以在轨道Ⅱ上运动的周期小于在 轨道Ⅰ上运动的周期，C 正确；在轨道Ⅱ上和在轨道Ⅰ上通过A 点时所受的万有引力相等， 根据牛顿第二定律，加速度相等，D 错误. 二、双星或多星问题 所示，宇宙中有相距较近、质量相差不大的两个星球，它们离其他星球都较远， 其他星球对它们的万有引力可以忽略不计.在这种情况下，它们将围绕其连线上的某一固定 点做周期相同的匀速圆周运动，通常，我们把这样的两个星球称为“双星”. 图5 (2)特点 ①两星围绕它们之间连线上的某一点做匀速圆周运动，两星的运行周期、角速度相同. ②两星的向心力大小相等，由它们间的万有引力提供. ③两星的轨道半径之和等于两星之间的距离，即r1＋r2＝L，轨道半径与两星质量成反比

力作用),万有引力不再等于向心力，卫星 将变轨运行: (1)当卫星的速度突然增大时， G Mm r2 万有引力不足以提供向心力，卫星将做离心运动，脱离 原来的圆轨道，轨道半径变大，当卫星进入新的轨道稳定运行时由 v=√ GM r 可知其运行速度比原轨道时 减小. (2)当卫星的速度突然减小时， G Mm r2 >m v2 r ;即万有引力大于所需要的向心力，卫星将做近心运动，脱 球都较远，因此其它星球对它们的万 有引力可以忽略不计。在这种情况下，它们将围绕它们连线上的某一固定点做同周期的匀速圆周运动。这 种结构叫做双星。 [特点] (1)各自需要的向心力由彼此间的万有引力相互提供，即 Gm1m2 L2 =m1ω 12r1 ， Gm1m2 L2 =m2ω 22r2 (2)两颗星的周期及角速度都相同，即T 1=T 2,ω1=ω2 (3)两颗星的半径与它们之间的距离关系为:r1+r2=L (5)双星的运动周期 T=2π√ L3 G (m1+m2) (6)双星的总质量公式 m1+m2= 4 π2 L3 T 2G △双星系统问题的误区 (1)不能区分星体间距与轨道半径:万有引力定律中的r 为两星体间距离，向心力公式中的r 为所研究星球 做圆周运动的轨道半径. (2)找不准物理现象的对应规律. 【模型训练】 【例1】某人造地球卫星绕地球做匀速圆周运动，其轨道半径为月球绕地球运动半径的

关于物理学史的叙述，下列说法错误的是（ ） A. 托勒密提出了“日心说”，哥白尼提出“地心说” B. 第谷坚持对行星进行20 余年的系统观测 C. 卡文迪许用实验测出了万有引力常量G 的 数值，验证了万有引力定律 D. 亚当斯和勒维耶各自独立利用万有引力定律计算出海王星的轨道 2. 已知中国天宫空间站的圆形轨道距地球表面高度为400~450 公里，下列说法正确的是（ ） A. 航天员在空间站内均处于平衡状态 火车转弯时受到重力、支持力、摩擦力和向心力的作用 D. 若火车行驶速度等于 ，则内外轨道均不受车轮轮缘挤压 4. 两个完全相同的实心匀质小铁球紧靠在一起，它们之间的万有引力为F；若将两个用同种材料制成的半 径是小铁球3 倍的两个实心大铁球紧靠在一起，则两大铁球之间的万有引力为（ ） A. 81F B. 27F C. 9F D. 3F 5. 均匀分布在地球赤道平面上空的三颗同步通信卫星能够实现除地球南北极的少数地区外 景屏前，拍下了小球在做平抛运动过程中的多张照片，经合成后，照片如图乙所示。a、b、c、d 为连续四 次拍下的小球位置，已知照相机连续拍照的时间间隔是 ，照片中坐标为物体运动的实际距离，已知 万有引力常量G，则： （1）由以上信息，可知a 点_______（选填“是”或“不是”）小球的抛出点； （2）由以上及图信息可以算出小球平抛的 初速度是_______ ； （3）该星球质量为_________（用G、R

所示，把物体从高山上水平抛出，如果速度足够大，物体就不再落回地面，它将绕地 球运动，成为人造地球卫星. 图1 2.第一宇宙速度的推导 (1)已知地球质量m 地和半径R，物体绕地球的运动可视为匀速圆周运动，万有引力提供物体 运动所需的向心力，即＝m，可得v＝. (2)已知地面附近的重力加速度g 和地球半径R，由mg＝m 得：v＝. (3)三个宇宙速度及含义 数值 意义 第一宇 宙速度 7.9 km/s 什么？ 答案 一般不同.由＝m 得，第一宇宙速度v＝，可以看出，第一宇宙速度的值取决于中心天 体的质量M 和半径R，与卫星无关. 知识深化 1.第一宇宙速度 (1)两个表达式 思路一：万有引力提供向心力，由G＝m 得v＝ 思路二：重力提供向心力，由mg＝m 得v＝ (2)含义 ①近地卫星的圆轨道运行速度，大小为7.9 km/s，也是卫星圆轨道的最大运行速度. ②人造卫星的最小发 二、人造地球卫星 1.人造地球卫星 (1)卫星的轨道平面可以在赤道平面内(如同步轨道)，可以通过两极上空(极地轨道)，也可以 和赤道平面成任意角度，如图2 所示. 图2 (2)因为地球对卫星的万有引力提供了卫星绕地球做圆周运动的向心力，所以地心必定是卫 星圆轨道的圆心. 2.近地卫星 (1)v1＝7.9 km/s；T＝≈85 min. (2)7.9 km/s 和85 min 分别是人造