想起一个朋友， 他总是一副打不倒的样子， 好像一直活的很顺， 有一天，我好奇问他，你有烦心的事儿吗？ 他笑着说， 你看到那些顺风顺水的人， 他们只是没有当着你的面修船补网而已。 我没你看到的那么厉害， 生意上被骗过钱，爱情上被骗过感情。 谁没在生活里碰过一鼻子灰呢， 掉坑里，把脑子里的水放出来， 你就浮上来了。 这些年， 我唯一骄傲的就是不逃避， 虽然辛苦， 但是只要人生滚烫，

方法点睛 我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含 有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及 90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、 内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置 角的计算或证明问题 模型介绍 【例1】．将一副三角尺按如图所示 【变式1-1】．如图，一副三角尺△B 与△DE 的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥， 则∠DFG 的度数为 ． 【变式1-2】．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点与F 重合，边与边FE 叠合，顶点 B、、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转°后（0＜＜180 ），如果DE∥B，那么的值是 ． 【例2】．将一副直角三角尺按如图所示的方式摆放，若直线∥b，则∠1 ． 例题精讲 变式训练 【变式2-1】．一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝43°，则∠2＝ （ ） ．40° B．43° ．45° D．47° 【变式2-2】．在一副三角尺中∠BP＝45°，∠PD＝60°，∠B＝∠＝90°，将它们按如图所示 摆放在量角器上，边PD 与量角器的0°刻度线重合，边P 与量角器的180°刻度线重合． 将三角尺PD 绕点P 以每秒3°的速度逆时针旋转，同时三角尺BP

方法点睛 我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含 有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及 90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、 内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置 角的计算或证明问题 模型介绍 【例1】．将一副三角尺按如图所示 3 ∠＝180° 60° 45° ﹣ ﹣ ＝75°， 因为∠1＝45°， 所以∠2＝180° 1 3 ﹣∠﹣∠＝180° 45° 75° ﹣ ﹣ ＝60°． 变式训练 【变式1-1】．如图，一副三角尺△B 与△DE 的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥， 则∠DFG 的度数为 105° ． 解法一：∵GF∥，∠＝90°， ∴∠FG＝180° 90° ﹣ ＝90°， 解法二：∵GF∥，∠B＝60°， ∴∠FGE＝60°， 又∵∠DFG 是△EFG 的外角，∠FEG＝45°， ∴∠DFG＝∠FGE+∠FEG＝60°+45°＝105°， 例题精讲 故答为：105°． 【变式1-2】．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点与F 重合，边与边FE 叠合，顶点 B、、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转°后（0＜＜180 ），如果DE∥B，那么的值是 75°

方法点睛 我们知道一副三角板是由一块含有锐角分别为30°，60°的直角三角板和另一块含 有两个锐角45°的等腰直角三角板组成,它们提供了较为直观的30°，45°，60°以及 90°,此外这些角度还可以进行一些拼凑。依据平行线的性质，我们可以得到同位角、 内错角、同旁内角之间的关系，今天我们就来学习下由平行线与三角板构成的些位置 角的计算或证明问题 模型介绍 【例1】．将一副三角尺按如图所示 3 ∠＝180° 60° 45° ﹣ ﹣ ＝75°， 因为∠1＝45°， 所以∠2＝180° 1 3 ﹣∠﹣∠＝180° 45° 75° ﹣ ﹣ ＝60°． 变式训练 【变式1-1】．如图，一副三角尺△B 与△DE 的两条斜边在一条直线上，直尺的一边GF∥， 则∠DFG 的度数为 105° ． 解法一：∵GF∥，∠＝90°， ∴∠FG＝180° 90° ﹣ ＝90°， 解法二：∵GF∥，∠B＝60°， ∴∠FGE＝60°， 又∵∠DFG 是△EFG 的外角，∠FEG＝45°， ∴∠DFG＝∠FGE+∠FEG＝60°+45°＝105°， 例题精讲 故答为：105°． 【变式1-2】．一副三角尺按如图的位置摆放（顶点与F 重合，边与边FE 叠合，顶点 B、、D 在一条直线上）．将三角尺DEF 绕着点F 按顺时针方向旋转°后（0＜＜180 ），如果DE∥B，那么的值是 75°

【解题方法】通过一副三角板我们能拼出以下特殊角，如：60°、75°、90°，依据平行线的性质，我们可以 得到同位角、内错角、同旁内角之间的关系，从而求出对应角度数 【针对训练】 例6（2022·广东深圳·统考中考真题）将一副三角板如图所示放置，斜边平行，则∠1的度数为（ ） ．5° B．10° ．15° D．20° 变式1（2022·江苏扬州·统考中考真题）将一副直角三角板如图放置，已知∠E=60°，∠C=45°， °． 变式2（2021·湖北宜昌·统考中考真题）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点F在AC上，其中 ∠ACB=90°，∠ABC=60°，∠EFD=90°，∠≝¿45°，AB/¿ DE，则∠AFD的度数是（ ） ．15° B．30° ．45° D．60° 变式3（2021·贵州黔西·中考真题）将一副三角板按如图所示的位置摆放在直尺上，则∠1 的度数为（ ） ．95° 变式4（2022·山东淄博·统考一模）一副三角板按如图所示叠放，其中∠ACB=∠DCE=90°， ∠A=30°，∠D=45°，且AC ∥DE，则∠BCD=¿ 度． 变式5．（2022·江苏镇江中考真题）一副三角板如图放置，∠A=45°，∠E=30°，DE∥AC，则 ∠1=¿ 变式6（2023·福建厦门·厦门市第十一中学校考二模）一副三角板如图方式摆放，点D在直线EF上，且

成相关任务。 选一副对联贴在室读书角，下列最恰当的一项是（ ） ．宾至如归，稍安勿躁 B．宝剑锋从磨砺出，梅花香自苦寒来 ．室雅何须大，书香不在多 D．藏古今学术，聚天地精华 9．学校开展以“喜迎二十大，逐梦新时代”为主题的系列活动，来彰显新时代青少年志存高远、自强不 息的精神风貌，请你参与并完成以下任务。 【展才艺秀自强】 小强打算为“歌颂祖国”活动创写一副对联，他已经完成上联，请你帮他补全下联。 的语文实践活动，请你参与并完成下列任务。 “我就只读书，正午习字，晚上对课。”这是鲁迅先生回忆中的在三味书屋读书时的情景。其实对课就是 对对子，拟对联。你也来学习写对联吧，请用下面的四个词语组成一副对联。 花香 室雅 不在多 何须大 上联： 下联： 11．中国是一个有着五千年历史的文明古国，自强不息一向是中国人引以为傲的精神品质。我班拟于9 月 日下午第三节课开展“君子以自强不息”主题班会，请你参加并完成以下任务。 班会后，李明决定将学到的自强不息的故事以对联的形式表述出来。请你从以下词语中筛选出与该主题 相关的词条，并运用对联知识，组合成一副对联，完整地书写下来。 以苦为乐绢囊萤火车胤宋濂以民为子 以夜继朝手抄奇书大禹导流通渠 上联： 下联 12．（2023·江苏常州·统考中考真题）今年举行的常州市第十六届运动会点燃了市民热情。请你参与完成

(1)如图（2），“五角星”形，求 ？ 分析： 图中 是“”型图，于是 ，所以 = ； (2)如图（3），“七角星”形，求 ； (3)如图（4），“八角星”形，可以求得 = ； 模型3、三角板模型 【模型解读】由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 例1．（2023·山西吕梁·联考模拟预测）如图： 和 是两块直角三角尺，两直角三角尺的 相交于点E，则 的大小为（ ） ． B． ． D． 例3（2023·陕西咸阳·校考一模）如图，将一副三角尺按图中所示位置摆放，点在 的延长线上，点、F 分别为直角顶点，且 ， ，若 ，则 的度数是（ ） ．15° B．20° ．25° D．30° 例3．（2023·江苏盐城·统考二模）一副三角板如图所示摆放，其中含 角的直角三角板的直角顶点在另 一个三角板的斜边上，若 ，则 的度数是（ 的度数是（ ） ． B． ． D． 例4．（2023 春·陕西渭南·七年级统考期中）如图， ，一副直角三角板 和 如图摆放， ， ，若 ，则下列结论：① ；② ；③ ； ④ 平分 ，正确的有 ．（填序号） 例5．（2023 春·湖南衡阳·七年级统考期末）一副三角板如图1 摆放， ， ， ，点 在 上，点 在 上，且 平分 ，现将三角板 绕点 以每秒 的速度顺

， 分别平分 和 ，直接写出 与 ， 的关系 模型3 三角板拼接模型 由一副三角板拼凑出的几个图形我们称他们为三角板模型。 图①中：∠=30°，∠=60°，图②中：∠=∠=45°， 当题中含三角板时，先根据度数或隐含条件判断三角形的形状，标注其中的特殊角度（90°、30°、45°、 60°），再根据题干解题。一副三角板可以拼接出的角度为三角板所含角度的和差，且均为15°的整数倍。 常见角度拼接（证明特别简单，故略过）： 例1．（2023 春·贵州遵义·八年级校联考期中）把一副直角三角尺按如图所示的方式摆放在一起，其中 ， ， ， ，则 ． 例2．（23-24 七年级下·四川成都·期末）将一副直角三角板如图摆放，点落在 边上， ，则 的度数为（ ） ． B． ． D． 例3．（2023 春·江苏无锡·七年级统考期末）有一副直角三角板 、 ，其中 ， ， ．如图，将三角板 的顶点E 与直线 交于点M，则 为定值；④若 的一边与 的某一边平行，则符合条件的点E 的位置有3 个．正确的有 ．（填序号） 例4．（23-24 七年级下·贵州黔南·期末）如图1，将一副三角板放在直线 上，两个直角顶点重合在一 起，交直线 于点，其中 ， ． (1)如图2，将图1 中的三角板 绕点按逆时针方向旋转，在旋转过程中， 与 的数量关系 是___________；(2)将图1

C. 读数时看角的另一条边指向的刻度 D. 分清读内圈刻 度还是外圈刻度 14. 一副三角尺可以直接画出的角度有（ ）。 A. 30° B. 45° C. 60° D. 90° E. 120° 15. 下列角度中，可以用一副三角尺拼出来的有（ ）。 A. 75° B. 105° C. 135° D. 150° 把一个角的两条边延长，这个角的大小会变大。（ ） 24. 所有的直角都一样大。（ ） 25. 用量角器量角时，必须从0° 刻度线开始。（ ） 26. 用一副三角尺可以画出110° 的角。（ ） 27. 大于90° 的角叫做钝角。（ ） 28. 平角是一条直线。（ ） 29. 周角只有一条边。（ AOB=45°；再用30°三角尺的一条边紧贴OB，顶点紧贴O 点，在45°角内部画30°角的一边OC ∠ ，则 AOC=45°-30°=15° （错误）。正确方法（无法直接画65° “ ）：需说明一副三角尺无法直 接画出65° ” 角，需用量角器。 34. （图略）步骤：画射线AB；用量角器以A 为顶点，AB 为一边画 ∠A=50°得射线AC；用量角器以B 为顶点，BA ∠ 为一边画 B=70°

，b，4，某 同学将刻度尺如图2 放置，使刻度尺上的数字0 对齐数轴上的点，发现点B 对应刻度 18m，点对齐刻度54m．则数轴上点B 所对应的数b 为( ) ．3 B． ． D． 2．一副三角板 、 ，如图1 放置，( =30°、 45°)，将三角板 绕点 逆时针旋转一定角度，如图2 所示，且0°＜ ＜90°，则下列结论中正确的个数有 ( ) ① 的角度恒为105°； ②在旋转过程中，若 ②若点P 在点B 的右侧，点P，，B 中，有一个点恰好是其它两个点的“联盟点”，直接 写出此时点P 表示的数为 ． 12．如图，将一副三角板放到一起可以擦除怎样的数学火花呢？福山区某学校两个数学兴 趣小组对一副三角板进行了以下两种方式的摆放组合．已知一副三角板重合的顶点记为点， 作射线E 平分∠，射线F 平分∠BD，来研究一下45°三角板不动，30°三角板绕重合的顶点 旋转时，∠EF 的度数如何变化．