若��� � � 或�� � � 则�至少有�个子集� �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … 当��� � � 或�� �时� ��� �� � � �� � � � � � 方程� ��� �� � � � � � � �有解� 集合��� � � � ��� �� � � � � � � � � 至少有�个元素� �至少有�个子集� 充分性得证� �分 … … … … … … … … 必要性� 若�至少有�个子集� 则��� �或�� � � � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … … … 若�至少有�个子集� 则��� � � � ��� �� � � � � � � � � 至少有�个元素� 方程� ��� �� � � �� � � �有解� ��� �� � � �� � � � � � 解得��� 解得��� �或�� � � 必要性得证� � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … 综上� �至少有�个子集的充要条件是��� �或�� � � � �分 … … … … … … … … … … … … … … … … … … � � � 解� � � � � � � � �� � � � � � �� � � � � � � 因为� �� � � � � �

0 2 x   ， 0 0 3 2 2 0 x x −  2．同时掷3 枚硬币，那么互为对立事件的是（ ） A．至少有1 枚正面和最多有1 枚正面 B．至多1 枚正面和恰有2 枚正面 C．至多1 枚正面和至少有2 枚正面 D．至少有2 枚正面和恰有1 枚正面 3.已知双曲线𝐶: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0)的离心率𝑒= 40)，[40,50]，得其频率分布直方图如图所 示． (1)估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的总 人数是多少； (2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机抽 取3人，求至少有2个初中生的概率； (3)国家规定： 初中学生平均每人每天课外阅读时间不小于半小时， 若该校初中学生课外阅读时间小于国家标准， 则 学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？

0 2 x   ， 0 0 3 2 2 0 x x −  2．同时掷3 枚硬币，那么互为对立事件的是（ ） A．至少有1 枚正面和最多有1 枚正面 B．最多1 枚正面和恰有2 枚正面 C．至多1 枚正面和至少有2 枚正面 D．至少有2 枚正面和恰有1 枚正面 3.已知双曲线𝐶: 𝑥2 𝑎2 − 𝑦2 𝑏2 = 1(𝑎> 0, 𝑏> 0)的离心率𝑒= 40)，[40,50]，得其频率分布直方图如图所示． (1)估计全校学生中课外阅读时间在[30,40)小时内的 总人数是多少； (2)从课外阅读时间不足10个小时的样本学生中随机 抽取3人，求至少有2个初中生的概率； (3)国家规定：初中学生平均每人每天课外阅读时间不 小于半小时，若该校初中学生课外阅读时间小于国家 标准，则学校应适当增加课外阅读时间.根据以上抽样 调查数据，该校是否需要增加初中学生课外阅读时间？

程中选三门作为选 考科（ ） 目,下列说法错误的是. A．若任意选择三门课程，选法总数为 3 7 A B．若物理和化学至少选一门，选法总数为 1 2 2 6 C C C．若物理和历史不能同时选，选法总数为 3 1 7 5 C C  D．若物理和化学至少选一门，且物理和历史不同时选，选法总数为 1 2 1 2 5 5 C C C  12．若 n a 为等差数列， 2 5 分） 全科试题免费下载公众号《高中僧课堂》 第3 页共4 页 13．某地病毒爆发，全省支援，需要从我市某医院选派5 名医生支援，5 名医生要分配到 3 个不同的病毒疫情严重的地方，要求每一个地方至少有一名医生.则有种不同的分配方 法. 14. 已知数列 n a 的通项公式为 2 5 4 n a n n    ，则 n a 的最小值为______ ，此时 n=___________

分）海洋的调节作用（比热容大，增温慢）（2 分）。（烈日清凉凉都要解释，至少有1 个解释其中之一）（4 选3） （3） （5 分） 优势： 纬度低，热量丰富（1 分） ；有高山积雪融水或河流经过， 灌溉便利（1 分）；位于山前冲积扇，土壤较为深厚肥沃（1 分）。 劣势：热带沙漠地区，降水不足（1 分）；昼夜温差过大（1 分）；土地沙漠化 严重（1 分）。 （优势和劣势都要有,至少有1 个，共写对5 个即得5 分）

则这两个圆的位置关系为 （ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内含 3.A 地的天气预报显示，A 地在今后的三天中，每一天有强浓雾的概率为30% ，现用随机模拟 的方法估计这三天中至少有两天有强浓雾的概率，先利用计算器产生0 9 −之间整数值的随机 数，并用0，1，2，3，4，5，6 表示没有强浓雾，用7，8，9 表示有强浓雾，再以每3 个随机 数作为一组，代表三天的天气情况，产生了如下20 978 191 925 273 842 812 479 569 683 231 357 394 027 506 588 730 113 537 779 则这三天中至少有两天有强浓雾的概率近似为( ) A．1 4 B．2 5 C．7 10 D．1 5 4.如图， 已知棱长为2 的正方体 1 1 1 1 ABCD A B C D − ，, 计新生通过考核选拔进入这三个社团成功与否相互独立．2015 年某新生入学，假设他通过考 核选拔进入该校的“书法” 、 “诗词” 、 “理学”三个社团的概率依次为m 、1 3 、n ，已知三个社 团他都能进入的概率为1 24 ，至少进入一个社团的概率为3 4 ，且m n > . （1）求m 与n 的值； （2）该校根据三个社团活动安排情况，对进入“书法”社的同学增加校本选修学分1 分，对 进入“诗词”社的同学增加校本选修学分2

做，下列表述正确的是 A. 甲同学仅随机选一个选项，能得 分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得分的概率是 高二数学（期中）试卷 3 / 4 C. 丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 12. 已知正方体 棱长为，如图， 为 上的动点， 平面 下面说法正确的 是 A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为 B. 点 与点 情况，所以能得 分的概率是 ，故选项B 正确； C.丙同学随机至少选择一个选项， 选一个选项，有 、 、 、 共 种情况； 选两个选项有 ， ， ， ， ， 共 种； 选三个选项有 ， ， ， 共 种， 选四个选项有 共 种，所以共有 种情况， 能得分有 、 、 共 种情况，所以能得分的概率是 ，故选项C 正确； D.丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有 ， ， ， ， ， 共 种；选三个选项

做，下列表述正确的是 A. 甲同学仅随机选一个选项，能得 分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得分的概率是 高二数学（期中）试卷 3 / 4 C. 丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 12. 已知正方体 棱长为，如图， 为 上的动点， 平面 下面说法正确的 是 A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为 B. 点 与点 情况，所以能得 分的概率是 ，故选项B 正确； C.丙同学随机至少选择一个选项， 选一个选项，有 、 、 、 共 种情况； 选两个选项有 ， ， ， ， ， 共 种； 选三个选项有 ， ， ， 共 种， 选四个选项有 共 种，所以共有 种情况， 能得分有 、 、 共 种情况，所以能得分的概率是 ，故选项C 正确； D.丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有 ， ， ， ， ， 共 种；选三个选项

方一长为L 的隧道，当列车 的任一部分处于隧道内时，列车速率都不允许超过v（v < 𝑣0）。已知列车加速和减速时加速度 的大小分别为ɑ 和2ɑ，则列车从减速开始至回到正常行驶速率𝑣0所用时间至少为（ ） A． 0 2 v v L l a v    B．   0 3 2 v v L l a v    C． 0 2 v v L l 减速的最长时间多少？ (2)若乙车司机看见甲开始刹车后反应了1s 也开始刹车，乙车匀减速的加速度至少多大？ (3)若为了避免因突然产生的加速度让乘客有明显不舒服的顿挫感，甲车司机刹车的加速度大小 按下图所示变化（10s 后加速度为0），方向与速度方向相反。甲开始刹车1s 后乙开始刹车， 乙车匀减速的加速度至少多大？

数学学科试题答案 CBACDB DCBDBC 1.【解答】解：从装有2 个白球、3 个黑球的袋中任取2 个小球， 对于A，至多取到1 个黑球是随机事件，不是随机变量，故A 错误； 对于B，至少取到1 个白球是随机事件，不是随机变量，故B 错误； 对于C，取到白球的个数是随机变量，故C 正确； 对于D，取到的球的个数是常量，故D 错误．故选：C． 2.【解答】解：∵P（ξ＝0）＝ ，P（ξ＝1）＝ ） ，∴P（105≤X＜120）＝P（90＜X≤105）＝ ， ∴P（X≥120）＝ ， ∴此次数学考试成绩优秀的人数约10000× ．故选：D． 6.【解答】解：由已知，不妨设A＝“这个问题至少被一个人正确解答” ，B＝“甲、乙两位同学都能正 确解答该问题” ，因为甲、乙两位同学各自独立正确解答该问题的概率分别是 和 ， 故P（A）＝1﹣（1﹣ ） （1﹣ ）＝ ，P（B）＝ ，易知P（AB）＝P（B）＝ 0.48 0.2304   ..............6 （2）甲、乙两班4 名同学成绩不及格的概率 4 0.4 0.0256  ，.............9 所以甲、乙两班参赛同学中至少有1 名同学成绩及格的概率1 0.0256 0.9744   .............12 4 19.【解答】解： （1）由题意可得4n﹣2n＝992，求得2n＝32，∴n＝5．.....