广东省广州市六校2021-2022学年高二上学期期中考试数学试题(1)

高二数学（期中）试卷 1 / 4 2021-2022 学年第一学期期中联考高二数学试卷 考试时间：共120 分钟 注意事项： 1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、考号、 座位号、学校、班级等考生信息准确无误地填写在答题卡上，同时用2B 铅笔将考号信息点涂黑。使用条形 码的须将条形码粘贴到答题卡条形码框内。 2．回答第Ⅰ卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用 橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号，写在本试卷上无效。 3．回答第Ⅱ卷时，将答案写在答题卡相应题号的区域内，写在本试卷上无效。 4．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。 第Ⅰ卷 一、 单项选择题：本大题共8 小题，每小题5 分，共40 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是 最符合题意的。 1. 设全集 ，集合 ， ，则 A. B. C. D. 2. 不等式 的解集为 A. B. C. D. 3. 已知直线 ： ， ： ， 则“ ”是“ 平行于 ”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 如图，平行四边形 中， 分别是 的中点，若 ， ，则 A. B. C. D. 5. 在长方体 中， ， ，则异面直线 与 所成角的余 弦值为 A. B. C. D. 高二数学（期中）试卷 2 / 4 6. 已知两点 ， 到直线的距离分别为 ，，则满足条件的直线共有 A. 条 B. 条 C. 条 D. 条 7. 已知圆 ： 和圆 ： ． 、 分别是圆 、 上的 动点， 为 轴上的动点，则 的最小值为 ． A. B. C. D. 8. 如图， 在正方体 中，，分别为 ， 的中点，点 是底面 内一点，且 平面 ，则 的最大值是 A. B. C. D. 二、多项选择题：本大题共4 小题，每小题5 分，共20 分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目 要求。全部选对的得5 分，有选错的得0 分，部分选对的得2 分。 9. 已知函数 在一个周期内的图象如图所示， 其中图象最高 点、最低点的横坐标分别为 、 ，图象在 轴上的截距为 则下列结论正确的是 A. 的最小正周期为 B. 的最大值为 C. 在区间 上单调递增 D. 为偶函数 10. 设奇函数 在 上单调递增，且 ，则下列选项中属于不等式 的解 集的有 A. B. C. D. 11. 某次数学考试的一道多项选择题，要求是：“在每小题给出的四个选项中，全部选对的得 分，部分选 对的得分，有选错的得分．”已知某选择题的正确答案是 ，且甲、乙、丙、丁四位同学都不会 做，下列表述正确的是 A. 甲同学仅随机选一个选项，能得 分的概率是 B. 乙同学仅随机选两个选项，能得分的概率是 高二数学（期中）试卷 3 / 4 C. 丙同学随机至少选择一个选项，能得分的概率是 D. 丁同学随机至少选择两个选项，能得分的概率是 12. 已知正方体 棱长为，如图， 为 上的动点， 平面 下面说法正确的 是 A. 直线 与平面 所成角的正弦值范围为 B. 点 与点 重合时，平面 截正方体所得的截面，其面积越大， 周长就越大 C. 点 为 的中点时， 若平面 经过点 ， 则平面 截正方体所 得截面图形是等腰梯形 D. 己知 为 中点，当 的和最小时， 为 的中点 第Ⅱ卷 主观题（本大题2 题，共90 分） 三、填空题（本大题共4 小题，共20.0 分） 13. 若 ，则 ______． 14. 已知实数 ， 满足条件 ，则 的最大值______． 15. 直线 被圆 截得的弦长最小值是___________． 16. 如图，已知平面四边形 中， 是边长为 的 正三角形， ，以 为棱折成直二面角 ，若折叠后 ， ， ， 四点在同一球面 上，则该球的体积为______． 四、解答题（本大题共6 小题，共70.0 分） 17. 已知 ，，分别为 内角 ， ， 的对边，且 ． 求角 ； 若 ， ，求 的面积． 高二数学（期中）试卷 4 / 4 18. 某中学含初高中 个年级随机选取了 名男生，将他们的身高作为样本进行统计，得到如图所示的 频率分布直方图． 求 的值及样本中男生身高在 单位： 的人数； 假设同一组中的每个数据可用该组区间的中点值代替，通过样本 估计该校全体男生的平均身高； 根据频率分布直方图估计该校男生身高的 分位数． 19. 在 中，已知 是 边上一点，边 ， 所在直线的方程分别为 ， ． Ⅰ若 ，求直线 的方程； Ⅱ若 ，求直线 在 轴上的截距． 20. 把正方形 以边 所在直线为轴旋转 到正方形 ，其中 ， ， 分别为 ， ， 的中点． 求证： 平面 ； 求证： 平面 ； 求平面 与平面 夹角的大小． 21. 已知以点 为圆心的圆经过点 和 ，且圆心 在 直线 上． 求圆 的方程； 设点 在圆 上，求 的面积． 22. 如图，圆 ，点 为直线 上一动点，过点 引圆 的两条切线，切点分别 为 、 ． 若 求切线所在直线方程； 求 的最小值； 若两条切线 ， 与 轴分别交于 、 两点，求 的最小值． 高二数学（期中）参考答案 1 / 9 2021-2022 学年第一学期期中联考高二数学（答案和解析） 1.【答案】 【解析】解： ， ， ， 又 全集 ， ．故选： ． 2.【答案】 解：不等式 可转化成 ， 解得 ．故选： ． 3.【答案】 【解答】解：由直线 与直线 平行得 ， 得 或 ， 经验证，当 时，直线 与 重合，舍去， 所以“ ”是“ 平行于 ”的充要条件．故选C． 4.【答案】 【解析】解： 平行四边形 中， 分别是 的中点， ， ， 5.【答案】 解：如图： 在长方体 的面 的一侧再补填一个完全一样的长方体 ， 连接 ， ，易知 ， 所以异面直线 与 所成的角即为 与 所成的角 ， 因为 ， ， 所以 ， ， ， 在 中， ， 所以异面直线 与 所成角的余弦值为 ． 6.【答案】 解：由点 ， ，易得 ，以点 为圆心，半径 为的圆， 与以点 为圆心，半径为 的圆外切， 故满足条件的直线即两个圆的公切线，显然，两个圆的公切线共有 条， 高二数学（期中）参考答案 2 / 9 7.【答案】 解：如图所示， 圆 关于 轴的对称圆的圆心坐标 ，半径为 ， 圆 的圆心坐标 ，半径为 ， 的最小值为圆 与圆 的圆心距减去两个圆的半径和， ． 8.【答案】 解：设 的中点与 的中点分别为 、 ，连 ，由 ， ， 平面 ，可知平面 平面 ， 因为 平面 ， 所以 在线段 上， 当 最小时， 最大， 此时 为 的中点， 所以 的最大值 ， 9.【答案】 由图知， 的最小正周期 ，则 由 ，得 由 ，得 ，则 ，所以 ． 当 时， ，则 单调递增． 因为 ， 则 不是偶函数，选BC． 10.【答案】 解：因为 为奇函数且 ， 所以 ， 因为 在 上单调递增，故 在 上单调递增， 所以 ， 当 时，由 ，可得 ， 当 时，由 ，可得 ， 高二数学（期中）参考答案 3 / 9 故不等式 的解集为 ． 11.【答案】 解： A.甲同学仅随机选一个选项，有 、 、 、 四种情况，能得 分的有 或 ，有 种，所以能得 分 的概率是 ，故选项A 正确； B.乙同学仅随机选两个选项有 ， ， ， ， ， 共 种，能得 分的情况为 只有 种 情况，所以能得 分的概率是 ，故选项B 正确； C.丙同学随机至少选择一个选项， 选一个选项，有 、 、 、 共 种情况； 选两个选项有 ， ， ， ， ， 共 种； 选三个选项有 ， ， ， 共 种， 选四个选项有 共 种，所以共有 种情况， 能得分有 、 、 共 种情况，所以能得分的概率是 ，故选项C 正确； D.丁同学随机至少选择两个选项，选两个选项有 ， ， ， ， ， 共 种；选三个选项 有 ， ， ， 共 种，选四个选项有 共 种，所以共有 种情况， 能得分有 共 种情况，所以能得分的概率是 ，故选项D 错误． 12.【答案】 解：对于 选项，以点 为坐标原点， 、 、 所在直线分别为 、、轴建立空间直角坐标系 ， 则点 、 、设点 ， 平面 ， 则 为平面 的一个法向量，且 ， ， ， 所以，直线 与平面 所成角的正弦值范围为 ，故A 选项正确； 对于 选项，当 与 重合时，连接 、 、 、 ， 在正方体 中， 平面 ， 平面 ， ， 高二数学（期中）参考答案 4 / 9 四边形 是正方形，则 ， ， 平面 ， 平面 ， 平面 ， ， 同理可证： ， ， 平面 ， 平面 ， 易知 是边长为 的等边三角形，其面积为 ， 周长为 ． 设 、 、 、 、 、 分别为棱 、 、 、 、 、 的中点， 易知六边形 是边长为 的正六边形，且平面 平面 ， 正六边形 的周长为 ，面积为 ， 则 的面积小于正六边形 的面积，它们的周长相等， 选项错误； 对于 选项，设平面 交棱 于点 ，点 ， ， 平面 ， 平面 ， ， 即 ，得 ， ， 所以，点 为棱 的中点，同理可知，点 为棱 的中点， 则 ， ，而 ， ， 且 ， 由空间中两点间的距离公式可得 ， ， ， 所以，四边形 为等腰梯形， 选项正确； 对于 选项，将矩形 与矩形 延展为一个平面，如下图所示： 若 最短，则 、 、 三点共线， ， 高二数学（期中）参考答案 5 / 9 ， ， 所以，点 不是棱 的中点， 选项错误． 13.【答案】 【解析】解： ， ， ， ． 14.【答案】 解：由题意作出如下图形： 令 ，则 可看作圆 上的动点 到原点的连 线的斜率，而相切时的斜率为最大或最小值， 当直线与圆相切时， 在直角三角形 中， ， 15.【答案】 解：因为直线 经过定点 ，定点 在圆内， 所以圆心 到直线 的最大距离为 ， 所以，所求弦长的最小值为 ． 故答案为： ． 16.【答案】 【解析】解：平面四边形 中， ， ，以 为 棱折成直二面角 ，若折叠后 ， ， ， 四点在同一球面上， 为 的中点，底面三角 形 的外心，直二面角 ，所以 的外心就是 ， ， ， 四点在同一球面上的 球的球心， 球的半径为： ； 所以球的体积为： ． 故答案为： ． 高二数学（期中）参考答案 6 / 9 17.【答案】解： ， 由正弦定理可得： ， ， ，即 ， ， ； ， ， ， 由余弦定理 ， 可得： ， ， 解得： ， 负值舍去， ． 18.【答案】 根据题意， 解得 ．所以样本中学生身高在 内单位： 的人数为 设样本中男生身高的平均值为 ，则 ．估计该校男生的平均身高为 由 ，根据直方图，因为 所以样本中的 分位数落在 内， 设 分位数为 ，则 ，解得 ． 所以估计该校男生身高的 分位数为 19.【答案】解：Ⅰ联立方程 ，解得 ， ， 故点 ，又 ，所以 ， 因为 ，所以 ， 又 为 边上的一点，所以直线 的方程为 ，即 ； Ⅱ因为 ，所以点 为 的中点， 设点 ， ， 则有 ， ， 点 在直线 上， 点 在直线 上， 且 ， 高二数学（期中）参考答案 7 / 9 所以有 ， 解得 ， ， ， ，故点 ， ， 所以直线 的方程为 ，即 ， 令 ，解得 ， 故直线 在 轴上的截距为 ． 20.【答案】解： 设 的中点为 ，连接 ， 是 的中点 且 是 的中点 且 ， 且 四边形 是平行四边形， 平面 ， 平面 ， 平面 为等腰直角三角形， ，且 是 的中点 旋转过程中，平面 平面 且交线为 平面 ， 平面 ， ， 设 ， 易求得在 中， ， ， 平面 分别以 ， ， 为 ， ， 轴建立空间直角坐标系 如图， 设 ，则 ， ， ， ， 平面 ， 高二数学（期中）参考答案 8 / 9 面 的法向量为 ， 设平面 的法向量为 ， ， ， ， ， ， 不妨设 ，可得 二面角 是锐角， 所求角的大小 21.【答案】解： 依题意所求圆的圆心 为 的垂直平分线和直线 的交点， 中点为 ，斜率为 ， 垂直平分线方程为 ， 即 ． 联立 ，解得 即圆心 ， 分 半径 ， 分 所求圆 的方程为 ． 或为 分 点 在圆 上， 或 舍去， 分 ，点 到直线 的距离为 ． 所以 的面积为 分 22.【答案】解： 由题意得，切线的斜率存在，设切线 ，即 ， 所以圆心 到切线的距离 ，解得 或 ． 所以切线所在直线方程为 或 连接 ， 交于点 ，设 ， 所以 ． 在 中， ． 又 ，则 ， 所以 ，即 ． 高二数学（期中）参考答案 9 / 9 由题知，切线的斜率存在， 设切线 ，即 ． 设圆心 到切线的距离为 ， 所以 ，化简得 则 ， ． 在切线 中， 令 ，解得 ， 所以 ， 即 ， 所以 ，此时 故 的最小值为 ．