河北省秦皇岛市2021-2022学年高一上学期期末考试数学试题

秦皇岛市高一2021~2022 年期末统一考试 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号、座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑. 如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答 题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：人教A 版必修第一册第一章至第五章5.3. 一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共40 分.在每小题给出的四个选项中，只 有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合   0,1,2,3 A  ，   2 B x x    Z ，则A B  （） A. N B. Z C.   0,1,2,3 D.   0,   【1 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用并集的定义求解. 【详解】解：因为集合   0,1,2,3 A  ，   2 B x x    Z ， 所以A B  N . 故选：A 2. 命题“ x Z  ， 2 1 x 是4 的倍数”的否定为（） A. x Z  ， 2 1 x 是4 的倍数 B. x Z  ， 2 1 x 不是4 的倍数 C. x Z  ， 2 1 x 不是4 的倍数 D. x Z  ， 2 1 x 不是4 的倍数 【2 题答案】 【答案】B 【解析】 【分析】根据特称量词命题的否定是全称量词命题即可求解． 【详解】因为特称量词命题的否定是全称量词命题， 所以命题“ x Z  ， 2 1 x 是4 的倍数”的否定为“ x Z  ， 2 1 x 不是4 的倍数”． 故选：B 3. 已知函数  f x 的图象是一条连续不断的曲线，且有如下对应函数值表： x 1 2 4 5 6  f x 123.136 15.552 10. 88 -52.488 -232.064 在以下区间中，  f x 一定有零点的是（） A. （1，2） B. （2，4） C. （4，5） D. （5，6） 【3 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由表格数据，结合零点存在定理判断零点所在区间. 【详解】∵ (1) 0 (2) 0 (4) 0 (5) 0 (6) 0 f f f f f      ， ， ， ， ∴ (1) (2) 0 f f  ， (2) (4) 0 f f  ， (4) (5) 0 f f  ， (5) (6) 0 f f  , 又函数  f x 的图象是一条连续不断的曲线， 由函数零点存在定理可得  f x 在区间  4,5 上一定有零点． 故选：C. 4. 如图所示的时钟显示的时刻为4:30 ，此时时针与分针的夹角为  0      ．若一个半径 为1的扇形的圆心角为，则该扇形的面积为（） A. 2  B. 4  C. 8  D. 16  【4 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】求出的值，利用扇形的面积公式可求得扇形的面积. 【详解】由图可知， 1 2 8 4      ，所以该扇形的面积 2 1 2 4 8 1 S      ． 故选：C. 5. “是钝角”是“是第二象限角”的（） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【5 题答案】 【答案】A 【解析】 【分析】根据钝角和第二象限角的定义，结合充分性、必要性的定义进行判断即可. 【详解】因为是钝角，所以90 180      ，因此是第二象限角， 当是第二象限角时，例如451 是第二象限角，但是显然90 180      不成立， 所以“是钝角”是“是第二象限角”的充分不必要条件， 故选：A 6. 已知函数  2 1 x x x f k   在  2,5 上具有单调性，则k 的取值范围是（） A.   2,5 B.   4,10 C.     ,4 10,    D.     , 2 2,   U 【6 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】由函数  2 1 x x x f k   ，求得对称轴的方程为 2 k x  ，结合题意，得到 2 2 k  或 5 2 k  ，即可求解. 【详解】由题意，函数  2 1 x x x f k   ，可得对称轴的方程为 2 k x  ， 要使得函数  f x 在  2,5 上具有单调性， 所以 2 2 k  或 5 2 k  ，解得 4 k 或 10 k  ． 故选：C. 7. 尽管目前人类还无法精准预报地震，但科学家通过研究，已经对地震有所了解，例如，地震 释放出的能量E（单位：焦耳）与地震里氏震级M 之间的关系式为 lg 4.8 1.5 E M   ．2011年 3 月11日，日本东北部海域发生里氏9.0 级地震，它所释放出来的能量是2017 年8 月8 日我国 四川九寨沟县发生里氏7.0 级地震的（） A. 32 倍 B. 64 倍 C. 1000 倍 D. 1024 倍 【7 题答案】 【答案】C 【解析】 【分析】设里氏9.0 级和7.0 级地震释放出的能量分别为 1 E 和 2 E , 可得出 1 2 lg 4.8 1.5 9.0 lg 4.8 1.5 7.0 E E          ，利用对数的运算性质可求得 1 2 E E 的值，即可得解. 【详解】设里氏9.0 级和7.0 级地震释放出的能量分别为 1 E 和 2 E , 由已知可得 1 2 lg 4.8 1.5 9.0 lg 4.8 1.5 7.0 E E          ， 则    1 2 2 lg lg lg 4.8 1.5 9.0 4.8 1.5 7.0 3 l E E E E         ，故 3 1 2 10 1000 E E   ． 故选：C. 8. 已知偶函数  f x 的定义域为R ，当   0, x 时， 1 a x f x x    ，若   1 1 2 f   ，则   1 1 f x  的解集为（） A. 1 3 , 2 2       B. 1 , 2        C. 3 , 2        D. 1 3 , , 2 2                【8 题答案】 【答案】D 【解析】 【分析】先由条件求出参数a ，得到  f x 在  0,   上的单调性，结合 1 1 2 f       和函数为偶 函数进行求解即可. 【详解】因为  f x 为偶函数，所以   1 1 1 1 1 1 2 a f f       ，解得 2 a .  2 3 1 1 1 x f x x x      在  0,   上单调递减，且 1 1 2 f       . 因为   1 1 1 2 f x f       ，所以 1 1 2 x   ，解得 3 2 x  或 1 2 x  . 故选：D 二、选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.在每小题给出的四个选项中，有 多个选项是符合题目要求的.全部选对得5 分，部分选对得2 分，有选错的得0 分. 9. 已知点   , 2 0 P m m m   是角终边上一点，则（） A. tan 2 =- B. 5 cos 5  C. sin cos 0   D. sin cos 0   【9 题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】根据给定条件，利用三角函数定义求出的正余弦及正切值即可计算判断作答. 【详解】因点   , 2 0 P m m m   是角终边上一点，则 2 2 | | ( 2 ) 5 | | r OP m m m     ， 于是得 2 tan 2 m m     ，A 正确； cos 5 m m  ，当 0 m  时， 5 cos 5  ，当 0 m  时， 5 cos 5  ，B 不正确； 又 2 sin 5 m m    ，则 2 2 sin cos 0 5 5 5 m m m m        ，C 正确，D 不正确. 故选：AC 10. 已知 0 a b   ，则（） A. 2 2 ac bc  B. 2 2 a ab b   C. 1 1 b a  D. a b ab  的取值 范围是  2, 【10 题答案】 【答案】BC 【解析】 【分析】根据不等式的性质与基本不等式依次判断各选项即可. 【详解】解：对于A 选项，当 0 c = 时， 2 2 ac bc  不成立，A 错误. 对于B 选项，因为 0 a b   ，所以 2 2 a ab b   ， 1 1 b a  ，故BC 正确； 对于D 选项，当 0 a  ， 0 b  时， 2 a b ab   ，当且仅当a b 时，等号成立，而a b  ，所 以 a b ab  的取值范围是  2,，故D 错误. 故选：BC 11. 函数  f x 的图象是折线段ABC ，如图所示，其中点A ，B ，C 的坐标分别为( ) 1,2 - ，   1,0 ，  3,2 ，以下说法正确的是（） A.  1, 1 1, 1,1 3 x x f x x x         B.   1 f x  的定义域为  1,3  C.   1 f x  为偶函数 D. 满足   1 f f x 的x 的取值集合为   1,1,3  【11 题答案】 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据图像以及题意即可求得  f x 的解析式，判断A 是否正确；根据函数  f x 图象特 点以及定义域即可判断B 是否正确；根据函数  f x 图象特点以及   1 f x  与  f x 之间的关系 即可判断C 是否正确；令  t f x  ，若   1 f f x ，即 1 f t ，由图像可知， 0 t 或 2 t ，即若   1 f f x ，则  0  f x 或  2 f x ，结合图象求出结果，即可判断D 是否正 确. 【详解】由图像可知，  1, 1 1 1,1 3 x x f x x x         ，故A 正确. 由于  1 f x  的图象，是将  f x 的图象向右平移1 个单位得到， 又  f x 的定义域为  1,3  ，所以  1 f x  的定义域为  0,4 ，故B 错误.   1 f x  是将  f x 的图象向左平移1 个单位长度得到， 由图像可知，  1 f x 的 图象关于y 轴对称，所以  1 f x  为偶函数，故C 正确. 令  t f x  ，若   1 f f x ，即 1 f t ，由图像可知， 0 t 或 2 t ，即若   1 f f x ， 则  0  f x 或  2 f x ， 当  0  f x 时， 1 x ，当  2 f x 时 1 x  或 3 x ， 故x 的取值集合为  1,1,3  ，所以D 正确. 故选：ACD. 12. 已知函数 函数  y f x a   有四个不同的零点 1 x ， 2 x ， 3 x ， 4 x ，且 1 2 3 4 x x x x < < < ，则（） A. a 的取值范围是  0,1 B. 2 1 x x  的取值范围是  0,1 C. 3 4 4 x x   D. 1 2 3 4 2 2 2 x x x x    【12 题答案】 【答案】AC 【解析】 【分析】结合  f x 的图象，由图可知0 1 a  ， 1 0 x  ， 2 0 1 x   ，由二次函数的对称性， 可得 3 4 4 x x  ，可得答案. 【详解】  y f x a   有四个不同的零点 1 x ， 2 x ， 3 x ， 4 x ，即方程  f x a 有四个不同的解．  f x 的图象如图所示，由图可知0 1 a  ， 1 0 x  ， 2 0 1 x   ，所以 2 1 0 x x   ， 即 2 1 x x  的取值范围是  0,， 由二次函数的对称性，可得 3 4 4 x x  ．因为 1 2 1 2 2 1 x x    ，所以 1 2 2 2 2 x x   ，故 1 2 3 4 2 2 1 2 x x x x    ． 故选：AC. 三、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共20 分.把答案填在答题卡中的横线上. 13. 写出一个能说明“若函数  f x 为奇函数，则  0 0 f ”是假命题的函数：  f x _________. 【13 题答案】 【答案】 1 x （答案不唯一） 【解析】 【分析】由题意，只需找一个奇函数，0 不在定义域中即可. 【详解】由题意，  f x 为奇函数且  0 0 f ，则  1 f x x  满足题意 故答案为： 1 x 14. 若 4 log 3 1 x ，则3 3 x x   __________． 【14 题答案】 【答案】 17 4 【解析】 【分析】 先求出x 的值,然后再运用对数的运算法则求解出3x 和3 x  的值,最后求解答案. 【详解】若 4 log 3 1 x ,则 3 4 1 log 4 log 3 x   ,所以 3 3 log 4 log 4 1 17 3 3 3 3 4 4 4 x x        . 故答案为: 17 4 【点睛】本题考查了对数的运算法则,熟练掌握对数的各运算法则是解题关键,并能灵活运用法则 来解题,并且要计算正确,本题较为基础. 15. 已知函数  1 2 x f x a b         的图象过原点，且无限接近直线 1 y ，但又不与该直线相交， 则   2 f  ______． 【15 题答案】 【答案】 3 4 ##0.75 【解析】 【分析】根据条件求出 1 b  ， 1 a  ，再代入即可求解. 【详解】因为  f x 的图象过原点，所以  0 1 0 0 2 f a b          ，即 0 a b  ．又因为  f x 的图象无限接近直线 1 y  ，但又不与该直线相交，所以 1 b ， 1 a  ， 所以  1 1 2 x f x         ， 所以   2 3 2 1 4 1 2 f          ． 故答案为： 3 4 16. 已知正数a，b 满足 2 2 2 a b a b ab    ，则 2  a b 的最小值为______． 【16 题答案】 【答案】 3 2 2 ## 3 2 2 【解析】 【分析】右边化简可得   2 1 1 1 1 5 2 2 2 2 2 2 a b b a a b ab a b a b a b a b                     ，利用基本不 等式，计算化简即可求得结果. 【详解】   2 1 1 1 1 5 9 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 a b b a a b a b ab a b a b a b a b a b                          ， 故  2 9 2 2 a b   ,则 3 2 2 2 a b   ，当且仅当 2 2 a b  时，等号成立． 故答案为： 3 2 2 四、解答题：本题共6 小题，共70 分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算 步骤. 17. 已知集合   2 6 0 A x x x     ，   3 3 0 B x x      ，   1 2 C x m x m     ． （1）求  RA B  ð ； （2）若A C  ，求m 的取值范围． 【17~18 题答案】 【答案】（1）    2,3 RA B   ð （2）  4, 【解析】 【分析】（1）先求得集合A，再由集合的补集运算和交集运算可求得答案； （2）根据条件建立不等式组，可求得所求的范围. 【小问1 详解】 因为   3 2 A x x    ，   0 3 B x x    ， 所以     , 3 2, RA    ð ，    2,3 RA B   ð ． 【小问2 详解】 因为A C  ，所以 1 3, 2 2, m m       解得 4 m  ．故m 的取值范围是  4,． 18. 已知函数  1 f x x x  . （1）判断  f x 在区间  0,   上的单调性，并用定义证明； （2）判断  f x 的奇偶性，并求  f x 在区间  2, 1   上的值域. 【18~19 题答案】 【答案】（1）函数  f x 在区间  0,   上单调递增，证明见解析 （2）函数  f x 为奇函数，  f x 在区间  2, 1   上的值域为 3 ,0 2        【解析】 【分析】（1）利用定义法证明函数单调性；（2）先得到定义域关于原点对称，结合    f x